2019-2020学年高中数学 第1章 数列 1.2 数列的函数特性课件 北师大版必修5

第一章数列§1数列1.2数列的函数特性学习目标核心素养1.了解递增数列、递减数列、常数列的概念．2．掌握判断数列增减性的方法．(重点)3．利用数列的增减性求最大值、最小值．(难点、易混点)1.通过数列的函数性质的学习培养数学抽象的核心素养．2．借助数列单调性的研究培养学生的逻辑推理的素养.自主预习探新知数列的单调性阅读教材P6～P7“例3”以上部分，完成下列问题．(1)数列的函数特性数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表示方法，数列也不例外，有________、________和_______．列表法图像法解析法(2)数列的单调性名称定义判断方法递增数列从第2项起，每一项都____它前面的一项an＋1＞an递减数列从第2项起，每一项都____它前面的一项an＋1＜an常数列各项都_____an＋1＝an大于小于相等思考：(1)若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，那么数列an＝f(n)也单调递增吗，反之成立吗？[提示]若函数f(x)在[1，＋∞)上单调递增，则函数an＝f(n)也单调递增，但反之不成立，例如f(x)＝x－542，数列an＝f(n)单调递增，但f(x)＝x－542在[1，＋∞)上不是单调递增．(2)如何判断数列的单调性？[提示]比较数列中相邻的两项an与an＋1的大小来确定其单调性．A[an＋1－an＝[(n＋1)＋1]－(n＋1)＝1＞0，故an＋1＞an，所以an＝n＋1是递增数列．]1．数列an＝n＋1是()A．递增数列B．递减数列C．常数列D．不能确定(0，＋∞)[由题意知an＋1－an＝[k(n＋1)－2]－(kn－2)＝k＞0，即实数k的取值范围是(0，＋∞)．]2．若数列{an}为递增数列，其通项公式为an＝kn－2，则实数k的取值范围是________．3．下列数列：①1,2,22,23，…；②1,0,5,0.52,0.53，…；③7,7,7,7，…；④－2,2，－2,2，－2，….递增数列是________，递减数列是________，摆动数列是________，常数列是________．(填序号)[答案]①②④③合作探究提素养数列的图像【例1】在数列{an}中，an＝n2－8n.(1)画出{an}的图像；(2)根据图像写出数列{an}的增减性．[解](1)列表n123456789…an－7－12－15－16－15－12－709…描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列{an}的图像：(1，－7)，(2，－12)，(3，－15)，(4，－16)，(5，－15)，(6，－12)，(7，－7)，(8,0)，(9,9)，…图像如图所示．(2)数列{an}在[1,4]上是递减的，在[5，＋∞)上是递增的．画数列的图像的方法数列是一个特殊的函数，因此也可以用图像来表示，以位置序号n为横坐标，相应的项为纵坐标，即坐标为(n，an)描点画图，就可以得到数列的图像．因为它的定义域是正整数集N＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n})，所以其图像是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的，也可以是无限的．1．已知数列{an}的通项公式为an＝22n－9，画出它的图像，并判断增、减性．[解]图像如图所示，该数列在{1,2,3,4}上是递减的，在{5,6，…}上也是递减的．数列的单调性【例2】判断数列n3n＋1的增减性．[解]∵an＝n3n＋1，∴an＋1＝n＋13n＋1＋1＝n＋13n＋4.法一：(作差法)an＋1－an＝n＋13n＋4－n3n＋1＝n＋13n＋1－n3n＋43n＋43n＋1＝13n＋43n＋1，∵n∈N＋，∴an＋1－an0，即an＋1an，∴数列n3n＋1为递增数列．法二：(作商法)∵n∈N＋，∴an0.∵an＋1an＝n＋13n＋4n3n＋1＝n＋13n＋13n＋4n＝3n2＋4n＋13n2＋4n＝1＋13n2＋4n1，∴an＋1an，∴数列n3n＋1为递增数列．法三：(构造函数法)令ƒ(x)＝x3x＋1(x≥1)，则ƒ(x)＝133x＋1－13x＋1＝131－13x＋1，∴函数ƒ(x)在[1，＋∞)上是增函数，∴数列n3n＋1是递增数列．判断数列增减性的方法(1)作差比较法：①若an＋1－an＞0恒成立，则数列{an}是递增数列；②若an＋1－an＜0恒成立，则数列{an}是递减数列；③若an＋1－an＝0恒成立，则数列{an}是常数列．(2)作商比较法：①若an＞0，则当an＋1an＞1时，数列{an}是递增数列；当an＋1an＜1时，数列{an}是递减数列；当an＋1an＝1时，数列{an}是常数列．②若an＜0，则当an＋1an＜1时，数列{an}是递增数列；当an＋1an＞1，数列{an}是递减数列；当an＋1an＝1时，数列{an}是常数列．2．(1)若数列{an}是递减数列，则其通项公式可能是()A．an＝2nB．an＝n2C．an＝13nD．an＝log2n(2)若an＝n2＋bn是单调递增数列，则实数b的取值范围是________．(1)C(2)(－3，＋∞)[(1)由于函数f(x)＝13x是减函数，故数列an＝13n是递减数列，选C．(2)由题意知an＋1－an＝[(n＋1)2＋b(n＋1)]－(n2＋bn)＝2n＋1＋b＞0恒成立，即2n＋1＋b＞0，b＞－2n－1恒成立，而n∈N＋时，－2n－1的最大值为－3(n＝1时)，所以b＞－3，即b的取值范围为(－3，＋∞)．]数列单调性的应用[探究问题]1．(1)数列{an}中，an＝1＋1n，试判断{an}的增减性；(2)数列{an}中，an＝n＋1n，试判断{an}的增减性．[提示](1)因为函数y＝1＋1x在(0，＋∞)上单调递减，所以数列an＝1＋1n是递减数列．(2)由an＝n＋1n＝1＋1n，由(1)可知，an＝n＋1n是递减数列．2．已知无穷数列{an}的通项公式为an＝n－98n－99(n∈N＋)，试判断数列{an}的增减性；数列{an}有最大项还是有最小项？作出判断并求出来．[提示]an＝n－98n－99＝1＋99－98n－99，当n≤9时，an＜1，当n≥10时，an＞1，且随n的递增an递减，故数列{an}有最大项，其最大项为a10＝10－9810－99.【例3】在数列{an}中，an＝(n＋1)1011n(n∈N＋)．(1)求证：数列{an}先递增后递减；(2)求数列{an}的最大值．思路探究：法一：先考虑数列{an}的单调性，然后利用单调性求最值．法二：利用不等式组an－1≤an，an≥an＋1寻求最大值．[解]法一(单调性法)：(1)令anan－1＞1(n≥2)，即n＋1·1011nn·1011n－1＞1，整理得n＋1n＞1110，解得n＜10.令anan＋1＞1，即n＋1·1011nn＋2·1011n＋1＞1，整理得n＋1n＋2＞1011，解得n＞9.所以数列{an}从第1项到第9项递增，从第10项起递减，即数列{an}先增后减．(2)由(1)知a9＝a10＝1010119为最大值．法二：(不等关系法)(1)假设数列{an}中存在最大项．因为an＋1－an＝(n＋2)1011n＋1－(n＋1)1011n＝1011n·9－n11，当n＜9时，an＋1－an＞0，即an＋1＞an；当n＝9时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；当n＞9时，an＋1－an＜0，即an＋1＜an，故a1＜a2＜a3＜…＜a9＝a10＞a11＞a12＞…，所以数列{an}从第1项到第9项递增，从第10项起递减．(2)由(1)知a9＝a10＝1010119为最大值．1．(变条件)将例题中的“an＝(n＋1)1011n”换为“an＝－2n2＋9n＋3”如何求{an}中的最大项．[解]由an＝－2n2＋9n＋3＝－2n－942＋1058.∵n为正整数，∴当n＝2时，an取得最大值，a2＝－2×22＋9×2＋3＝13.即数列{an}的最大项为a2＝13.2．(变结论)在例3中，若n的取值范围是n∈N＋，且n≤10，求数列{an}的最小项．[解]由例3知数列{an}从第1项到第9项递增，从第10项起递减，所以a1最小，a1＝2011.数列中最大项与最小项的两种求法(1)若求最大项an，则an应满足an≥an＋1，an≥an－1，若求最小项an，则an应满足an≤an＋1，an≤an－1.(2)将数列看作一个特殊的函数，通过函数的最值来解决数列的最值问题，但此时应注意n∈N＋这一条件．1．判断一个数列的增减性，可利用数列图像变化趋势进行判断，也可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行判断，即通过判断一个数列{an}的任意相邻两项之间的大小关系来确定数列的增减性．2．有关数列的最大、最小项问题均可借助数列的增减性来解决，也常转化为函数的最值问题．当堂达标固双基1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)数列23，34，45，56，…的通项公式是an＝nn＋1.()(2)数列的图像是一群孤立的点．()(3)数列1,0,1,0，…与数列0,1,0,1，…是同一数列．()[答案](1)×(2)√(3)×A[因为an＋1－an－3＝0，即an＋1－an＝30，所以数列是递增数列．]2．已知an＋1－an－3＝0，则数列{an}是()A．递增数列B．递减数列C．摆动数列D．常数列C[由递增数列的知识，可知属于递增数列的是选项C、D；由无穷数列的知识，可知属于无穷数列的是选项A，B，C(用省略号)．故既是无穷数列又是递增数列的是选项C.]3．下列四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是()A．1，12，13，14，…B．－1,2，－3,4，…C．－1，－12，－14，－18，…D．1，2，3，…，n4．已知数列{an}中，an＝n2－kn(n∈N＋)且{an}递增，求实数k的取值范围．[解]因为an＋1＝(n＋1)2－k(n＋1)，an＝n2－kn，所以an＋1－an＝(n＋1)2－k(n＋1)－n2＋kn＝2n＋1－k.由于数列{an}递增，故应有an＋1－an0，即2n＋1－k0，n∈N＋恒成立，分离变量得k2n＋1，故需k3即可，所以k的取值范围为(－∞，3)．