2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 8 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质（1）

第一章三角函数§8函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像与性质(1)自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义．2．能借助计算器或计算机画出y＝Asin(ωx＋φ)的图像，观察参数A，ω，φ对函数图像变化的影响.1．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中参数A、φ、ω的作用参数作用AA决定了函数的______以及函数的_______和_______，通常称A为______φφ决定了____时的函数值，通常称φ为______，_______为相位ωω决定了函数的周期T＝2πω，通常称周期的倒数f＝____＝____为频率x＝0ωx＋φ1Tω2π值域最大值最小值振幅初相练一练(1)最大值为12，周期为2π3，初相是π6的函数表达式是()A．y＝12sinx3＋π6B．y＝2sinx2－π6C．y＝12sin3x＋π6D．y＝12sin3x－π6答案：C2．图像的变换(1)振幅变换要得到函数y＝Asinx(A＞0，A≠1)的图像，只要将函数y＝sinx的图像上所有点的纵坐标______(当A＞1时)或______(当0＜A＜1时)到原来的____倍(横坐标不变)即可得到．(2)相位变换要得到函数y＝sin(x＋φ)的图像，只要将函数y＝sinx的图像上所有点_____(当φ＞0时)或_____(当φ＜0时)平行移动____个单位长度即可得到．伸长缩短向左向右A|φ|(3)周期变换要得到函数y＝sinωx(x∈R)(其中ω＞0且ω≠1)的图像，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标_____(当ω＞1时)或_____(当0＜ω＜1时)到原来的____倍(纵坐标不变)即可得到．(4)平移变换：对于函数y＝sinx＋b的图像，可以看作是把y＝sinx的图像上所有点向上(当b＞0时)或向下(当b＜0时)平行移动____个单位长度得到的．1ω缩短伸长|b|练一练(2)函数y＝2sin2x＋π6的图像可以看成是把函数y＝2sin2x的图像做以下平移得到()A．左平移π12B．右平移π6C．左平移π6D．右平移π12答案：A1．函数y＝Asin(ωx＋φ)受哪些因素影响？答：在函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω决定“形变”，即A影响函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域，ω影响函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期．φ决定“位变”，即φ影响函数y＝Asin(ωx＋φ)的起始位置．其中A，ω，φ同时影响函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调性．2．五点法描图关键是什么？答：令ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π求出五个点的相应坐标．还要注意题目中给出的φ的范围，不在要求范围内的要通过周期性转化到要求范围内．典例精析规律总结课堂互动探究1五点做法图类型用五点法作函数y＝3sin12x－π4的简图，并指出这个函数的振幅、周期、频率和初相．【解】(1)列表：xπ23π25π27π29π212x－π40π2π3π22πy030－30(2)描点：在直角坐标系中描出点π2，0，3π2，3，5π2，0，7π2，－3，9π2，0.(3)连线：将所得五点用光滑的曲线连起来，如图所示．(4)这样就得到了函数y＝3sin12x－π4在一个周期内的图像，再将这部分图像向左、向右平移4kπ(k∈Z)个单位长度，得函数y＝3sin12x－π4的图像．此函数振幅为3，周期为4π，频率为14π，初相为－π4.【方法总结】五点法作图关键是列表，一般有下面两种列表方法：(1)让ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，再求出对应的x，这体现了整体换元的思想．(2)取ωx0＋φ＝0，得x0＝－φω，再把x0作为五点中第一个点的横坐标，依次递加一个周期的14，就可得到其余四个点的横坐标．用五点法作函数y＝2sin2x＋π3的简图，并指出这个函数的振幅、周期、频率和初相．解：(1)列表：列表时2x＋π3取值为0、π2、π、3π2、2π，再求出相应的x值和y值．x－π6π12π37π125π62x＋π30π2π3π22πy020－20(2)描点．(3)用平滑的曲线顺次连接各点所得图像如右图所示．利用这类函数的周期性，我们可以把上面所得到的简图向左、右扩展，得到y＝2sin2x＋π3，x∈R的简图(图略)．此函数的振幅为2，周期为π，频率为1π，初相为π3.2三角函数图像变换类型写出由y＝sinx的图像变化到y＝3sin12x－π4的图像的不同方法步骤．【解】解法一：先平移再伸缩，过程如下：①把y＝sinx的图像上所有的点向右平移π4个单位长度，得到y＝sinx－π4的图像；②把y＝sinx－π4的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin12x－π4的图像；③将y＝sin12x－π4的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin12x－π4的图像．解法二：先伸缩再平移，过程如下：①把y＝sinx的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin12x的图像；②把y＝sin12x的图像向右平移π2个单位长度，得到y＝sin12x－π2＝sin12x－π4的图像；③把y＝sin12x－π4的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin12x－π4的图像．【方法总结】1.由y＝sinx的图像，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像，其变化有两种途径：(1)y＝sinx――→相位变换y＝sin(x＋φ)――→周期变换y＝sin(ωx＋φ)――→振幅变换y＝Asin(ωx＋φ)．(2)y＝sinx――→周期变换y＝sinωx――→相位变换y＝sin(ωx＋φ)――→振幅变换y＝Asin(ωx＋φ)．两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位；(2)是先周期变换后相位变换，平移φω个单位，这是非常容易出错的地方，应特别注意．2．应注意区分哪个为原函数图像，哪个为变换后函数图像．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin2x＋2π3，则下面结论正确的是()A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C2D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2解析：易知曲线C1：y＝cosx＝sinx＋π2，把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得y＝sin2x＋π2的图像，再把得到的图像向左平移π12个单位长度，得到y＝sin2x＋π12＋π2＝sin2x＋2π3的图像，即得到曲线C2.答案：D3求函数的解析式类型如图所示的是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的图像，由图中条件，写出该函数的解析式．【解】解法一：(最值点法)由图像可得ω＝23，A＝2，将最高点坐标π4，2代入y＝2sin23x＋φ，得2sinπ6＋φ＝2.所以π6＋φ＝2kπ＋π2.所以φ＝2kπ＋π3(k∈Z)．又因为|φ|＜π，所以φ＝π3，所以此函数的解析式为y＝2sin23x＋π3.解法二：(起始点法)由图像求得ω＝23，x0＝－π2，φ＝－ωx0＝－23×－π2＝π3.又因为A＝2，所以此函数的解析式为y＝2sin23x＋π3.【方法总结】从图像可确定振幅和周期，即可确定A和ω，再取五点中的数据代入ωx＋φ＝0或π2，π，3π2，2π中，求得φ，从而确定函数解析式．已知函数f(x)＝Asinπ6x＋φA0，0φπ2的部分图像如图所示，P，Q分别为该图像的最高点和最低点，点P的坐标为(2，A)，点R坐标为(2，0)．若∠PRQ＝2π3，则函数y＝f(x)的最大值及φ的值分别是()A．3，π6B．3，π3C．23，π6D．23，π3解析：由题意得，T＝2ππ6＝12，∠QRx＝π6，∴Q到x轴的距离为T2tanπ6＝6×33＝23，即A＝23，又P(2，23)在f(x)的图像上，∴23sinπ6×2＋φ＝23，π3＋φ＝π2，φ＝π6.答案：C函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像如图所示，试确定其一个函数解析式．【错解】由图像知，A＝3.T＝5π6－－π6＝π，则ω＝2πT＝2.∴y＝3sin(2x＋φ)．又∵图像过点π3，0，∴3sin2×π3＋φ＝0，2π3＋φ＝0，φ＝－2π3.∴函数解析式为y＝3sin2x－2π3.【错因分析】把已知点坐标代入解析式求φ值时，应区分所带入的点对应“五点”中的哪一个点．错解中的π3，0对应“五点”中的第三个点．【正解】由图像知，A＝3，T＝5π6－－π6＝π，则ω＝2πT＝2.∴y＝3sin(2x＋φ)．又∵图像过点π3，0，∴3sin2×π3＋φ＝0，2π3＋φ＝π，φ＝π3.∴函数解析式为y＝3sin2x＋π3.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一函数y＝Asin(ωx＋φ)中A、ω、φ的意义1．函数y＝2sin12x＋π4的周期、振幅、初相分别是()A.π4，2，π4B．4π，－2，－π4C．4π，2，π4D．2π，2，π4解析：由y＝2sin12x＋π4知，周期T＝2π12＝4π，振幅A＝2，初相φ0＝π4.答案：C知识点二图像变换2．将函数y＝sin2x＋π4的图像向右平移π8个单位，所得图像对应的函数是()A．奇函数B．偶函数C．非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数解析：由题意得y＝sin2x－π8＋π4＝sin2x，是奇函数．答案：A3．为了得到函数y＝sin2x＋π3的图像，只要将y＝sinx(x∈R)图像上的所有点()A．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变D．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变答案：A知识点三求函数的解析式4．函数y＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，3π2＜φ＜2π的最小值是－3，周期为π3，且它的图像经过点0，－32，则这个函数的解析式是________．解析：由已知得A＝3，T＝π3＝2πω，故ω＝6.∴y＝3sin(6x＋φ)．把0，－32代入，得3sinφ＝－32，sinφ＝－12.又32π＜φ＜2π，∴φ＝11π6.∴y＝3sin6x＋11π6.答案：y＝3sin6x＋11π65．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的一段图像如图所示，求该函数的解析式．解：由函数图像易知T4＝π6，∴2πω＝2π3.∴ω＝3.∴y＝Asin(3x＋φ)＝Asin3x＋φ3.其图像可由y＝Asin3x的图像向左平移π12个单位得到，∴φ3＝π12.