2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 5 正弦函数的图像与性质 5.1 正弦函数的图像课

第一章三角函数§5正弦函数的图像与性质5.1正弦函数的图像自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．能用“五点法”画正弦函数在[0,2π]上的图像．2．理解正弦曲线的意义.1．正弦函数的图像叫作__________．2．“五点法”作图根据正弦曲线的基本形状，描出五个点______，_______，(π，0)，___________，________后，函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图像就基本确定了．这种画正弦曲线的方法为“五点法”．(0,0)π2，13π2，－1(2π，0)正弦曲线怎样用五点法作正弦函数的图像？答：观察正弦函数的图像可以看出，下面五个点在确定正弦函数图像形状时起着关键的作用．(0,0)，π2，1，(π，0)，3π2，－1，(2π，0)．这五点描出后，正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图像的形状就基本上确定了．因此，在精确度要求不太高时，我们常常先描出这五个点，然后用光滑的曲线将它们连接起来，就得到在相应区间内正弦函数的简图，这种方法叫作五点法．五点法是我们画正弦函数图像的基本方法，要切实掌握好，与五点法作图有关的问题曾出现在历届高考试题中．典例精析规律总结课堂互动探究用五点法作出函数y＝sinx＋π4的图像(在一个周期内)．1“五点法”作图类型【解】先列表，后描点画图.x＋π40π2π3π22πx－π4π43π45π47π4y010－10【方法总结】“五点法”作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分，分别找出图像的最高点、最低点及图像与x轴的交点等五个关键点，由这五个点大致确定图像的位置和形状．在[0,2π]内，用五点法作出函数y＝2sinx－1的图像．解：(1)列表：x0π2π3π22πsinx010－102sinx－1－11－1－3－1(2)描点：在平面直角坐标系中描出下列五个点：(0，－1)，π2，1，(π，－1)，3π2，－3，(2π，－1)．(3)连线：用光滑曲线将描出的五个点连接起来，得函数y＝2sinx－1，x∈[0,2π]的简图，如图所示．2利用正弦函数图像解不等式类型利用y＝sinx的图像，在[0,2π]内求满足sinx≥－12的x的范围．【解】列表：x0π2π3π22πsinx010－10描点，连线如图，同时作出直线y＝－12的图像．由图像可得sinx≥－12的范围0，7π6∪11π6，2π.【方法总结】由三角函数图像解简单的三角不等式，需要准确画出图像，求出直线与三角函数的交点横坐标，结合图像写出所求范围．画出正弦函数y＝sinx(x∈R)的简图，并根据图像写出－12≤y≤32时的x的集合．解：正弦函数y＝sinx的简图如下：取长度为一个周期的图像，由y＝sinx在x∈－π2，32π的图像可知－12≤y≤32即－12≤sinx≤32时，x的集合为2kπ－π6，2kπ＋π3∪2kπ＋2π3，2kπ＋7π6(k∈Z)．3正弦函数图像的应用类型函数f(x)＝sinx＋2|sinx|，x∈[0,2π]的图像与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，求k的取值范围．【解】y＝3sinx，0≤x≤π，－sinx，π＜x≤2π.作出图像分析(右图)．∵f(x)图像与直线y＝k有且仅有两个不同交点．∴1＜k＜3.【方法总结】数形结合是重要的数学思想，它能把抽象的数学式子转化成形象直观的图形．利用正弦函数图像可解决许多问题，例如特殊方程根的问题，通常可转化为函数图像交点个数问题．求方程lgx＝sinx的实数解的个数．解：作出y＝lgx，y＝sinx在同一坐标系内的图像，则方程根的个数即为两函数图像交点的个数．由图像知方程有三个实根．求下列函数的值域．y＝sin2x－sinx＋1，x∈π3，3π4.【错解】设t＝sinx，则t∈[－1,1]．∴y＝t2－t＋1＝t－122＋34，当t＝12时，ymin＝34；当t＝－1时，ymax＝3.【错因分析】错解忽略了函数的定义域．【正解】y＝sin2x－sinx＋1＝sinx－122＋34，又x∈π3，3π4，∴sinx∈22，1.设t＝sinx，则有y＝t－122＋34在22，1上递增，∴y∈3－22，1，即值域为3－22，1.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一正弦函数的图像1．对于正弦函数y＝sinx的图像，下列说法错误的是()A．向左、右无限延展B．与y＝－sinx的图像形状相同，只是位置不同C．与x轴有无数个交点D．关于y轴对称答案：D2．函数y＝sin|x|的图像是()解析：y＝sin|x|是偶函数，其图像关于y轴对称，当x≥0时，y＝sinx，结合图像知，应选B．答案：B3．函数y＝1＋sinx，x∈[0,2π]与直线y＝2的交点个数是()A．0B．1C．2D．3解析：∵x∈[0,2π]，∴当x＝π2时，y取得最大值2，∴函数y＝1＋sinx，x∈[0,2π]与直线y＝2只有一个交点．答案：B知识点二五点法作图4．用五点法作y＝2sin2x－π3的图像时，首先应描出的五点的横坐标可以是()A．0，π2，π，32π，2πB．π6，5π12，2π3，1112π，76πC．0，π，2π，3π，4πD．0，π6，π3，π2，2π3解析：令2x－π3分别等于0，π2，π，3π2，2π，得x＝π6，5π12，2π3，11π12，7π6.答案：B5．用五点法作出函数y＝12＋sinx，x∈[0,2π]的图像．解：列表如下：x0π2π3π22πsinx010－10y123212－1212在直角坐标系中描出这五个点，作出相应的函数图像，如图所示．