2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 3 弧度制课件 北师大版必修4

第一章三角函数§3弧度制自主学习梳理知识课前基础梳理|学习目标|1．理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数．2．掌握弧度制下的弧长公式，会用弧度解决一些实际问题.1．度量角的单位制(1)角度制用度作为单位来度量角的单位制叫作角度制，规定1度的角等于__________.(2)弧度制在单位圆中，__________的弧所对的圆心角叫作1弧度的角，它的单位符号是_____，读作______．以______作为单位来度量角的单位制叫作弧度制．周角的1360单位长度rad弧度弧度(3)任意角的弧度数与实数的对应关系任一正角的弧度数都是一个______；任一负角的弧度数都是一个______；零角的弧度数是____.(4)角的弧度数的计算设r为圆的半径，l是圆心角α所对的弧长，则角α的弧度数的绝对值满足|α|＝__.正数负数0lr2．角度制与弧度制的换算(1)角度化弧度弧度化角度360°＝__rad2πrad＝__________180°＝__radπrad＝__________1°＝π180rad≈____________rad1rad＝180π°≈___________2ππ360°180°0.0174557.30°练一练(1)将下列弧度(角度)化为角度(弧度)15°＝________；－315°＝________；54π＝________；－78π＝________.答案：π12－74π225°－157.5°(2)一些特殊角的度数与弧度数的对应关系度0°1°____45°60°____120°___150°____270°____弧度______π6____π2__3π4__π__2π30°90°135°180°360°π180π4π32π35π63π203.扇形的弧长及面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则度量单位类别α为角度制α为弧度制扇形的弧长l＝____l＝____扇形的面积S＝____S＝____＝_____απR180αRαπR236012lR12αR2练一练(2)扇形AOB的周长为8cm，面积为3cm2，求：圆心角大小．解：设这个扇形的半径为R，弧长为l，圆心角为θ.由已知得2R＋l＝8，12lR＝3，解得R＝3，l＝2或R＝1，l＝6.由θ＝lR得θ＝23或θ＝6.1．引入弧度制后，角的集合与实数集之间有无关系？答：引入弧度制，使角的集合与实数集之间建立了一一对应关系，每一个角都有唯一一个实数与它对应．1弧度的角和1°的角大小不同.1弧度是等于半径长的弧所对的圆心角的大小，而1°的角是周角的1360.无论是以“弧度”还是以“度”为单位，角的大小都是一个与半径大小无关的定值．用“弧度”为单位表示角的大小时，“弧度”两字可以省略不写．2．弧度制与角度制之间有何关系？答：弧度制、角度制都是角的度量制，它们之间可以进行换算．用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但量度相同(都是0)；用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量度也不同．3．运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式应注意什么？答：由弧度制下的弧长公式及扇形面积公式可知，由α，r，l，S中的两个量可以求出另外的两个量，即由其二得其二．在运用公式时，应熟练地掌握这两个公式的变形运用：①l＝|α|·r，|α|＝lr，r＝l|α|；②|α|＝2Sr2.比值lr只反映弧所对圆心角的大小，不反映圆心角的方向，应注意|α|＝lr中的绝对值符号，否则会漏根．典例精析规律总结课堂互动探究把下列各角化为2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)的形式，指出它是第几象限角，并写出与它终边相同的角的集合．(1)－46π3；(2)－1485°；(3)－20.1角度制与弧度制的互化类型【解】(1)－46π3＝－8×2π＋2π3，它是第二象限角，终边相同的角的集合为ββ＝2kπ＋2π3，k∈Z.(2)－1485°＝－5×360°＋315°＝－5×2π＋7π4，它是第四象限角．终边相同的角的集合为ββ＝2kπ＋7π4，k∈Z.(3)－20＝－4×2π＋(8π－20)．而3π2＜8π－20≈5.13＜2π，所以－20是第四象限角，终边相同的角的集合为{β|β＝2kπ＋(8π－20)，k∈Z}．【方法总结】解决此类问题的关键是角度制与弧度制的互化关系：πrad＝180°，再由公式π180°＝这个角的弧度数这个角的度数得：(1)度数×π180＝弧度数；(2)弧度数×180π°＝度数．将角度制化为弧度制，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们转化为“度”表示，再利用1°＝π180rad化为弧度即可．(1)－630°化为弧度为()A．－7π2B．7π4C．－7π16D．－7π4答案：A(2)115π化成度．解：115π＝115×180°＝11×36°＝396°.2用弧度制表示角的集合类型如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包含边界)．【解】(1)如题图(1)，以OA为终边的角为π6＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为－2π3＋2kπ(k∈Z)．∴阴影部分内的角的集合为α－2π3＋2kπ＜α＜π6＋2kπ，k∈Z.(2)如题图(2)，以OA为终边的角为π3＋2kπ(k∈Z)；以OB为终边的角为2π3＋2kπ(k∈Z)；不妨设右边阴影部分所表示的集合为M1，左边阴影部分所表示的集合为M2，则M1＝α2kπ＜α＜π3＋2kπ，k∈Z，M2＝α2π3＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，∴阴影部分所表示的集合为M1∪M2＝α2kπ＜α＜π3＋2kπ或2π3＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z.【方法总结】1.根据已知图形写出区域角的集合的步骤：(1)仔细观察图形；(2)写出区间边界对应的角；(3)用不等式表示区域范围内的角．2．注意事项：用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，这一点容易出错．终边落在如图阴影部分的角的集合可表示为()A．α－3π4＜α＜3π4，k∈ZB．αα＜2kπ＋3π4，k∈ZC．αα＜2kπ－3π4，k∈ZD．α2kπ－3π4＜α＜2kπ＋3π4，k∈Z答案：D3弧长公式及扇形面积公式的应用类型一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数．【解】设扇形的半径为R，弧长为l，则2R＋l＝4，∴l＝4－2R，根据扇形面积公式S＝12lR，得1＝12(4－2R)·R，∴R＝1，∴l＝2，∴α＝lR＝21＝2，即扇形的圆心角为2rad.【方法总结】有关扇形的弧长l，圆心角α，面积S的题目，一般是知二求一的题目，解此类题目的关键在于灵活运用l＝|α|·r，S＝12lr＝12|α|r2两组公式，利用方程思想加以解决．如图，已知圆心角∠AOB＝2π3，半径OC与弦AB垂直，垂足为D，若CD＝a，求ACB︵的长及其与弦AB所围成的弓形ACB的面积．解：设圆的半径为r，ACB︵的长为l，则l＝2π3r，∵OA＝OB，OC与弦AB垂直，∴∠AOC＝π3，∴△AOC为等边三角形，∵AD⊥OC，∴OD＝CD，∴r＝2CD＝2a，∴l＝2π3·2a＝4aπ3，S扇形OACB＝12rl＝4a2π3，S△AOB＝12AB·OD＝12·23a·a＝3a2.∴S弓形ACB＝S扇形OACB－S△AOB＝4π3－3a2.用弧度表示顶点在原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在图中阴影部分的角的集合．【错解】图中以OB为终边的角为240°＝240×π180＝4π3，而120°＝2π3，则图中阴影部分的角的集合为α|4π3＋2kπ≤α≤2π3＋2kπ，k∈Z.【错因分析】错解中角的集合实际上是一个空集．当出现跨越x轴的非负半轴的区域时，需把第一个角写成负角或分两种情况作答．【正解】图中以OB为终边的240°角与－120°角的终边重合，而－120°＝－2π3，120°＝2π3，阴影部分位于－2π3与2π3之间，故阴影部分角的集合为α|2kπ－2π3≤α≤2kπ＋2π3，k∈Z.即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一角度与弧度的互化1．－300°化为弧度是()A．－4π3B．－5π3C．－7π4D．－7π6解析：－300°＝－360°＋60°＝－2π＋π3＝－5π3.答案：B2．－23π12化为角度应为()A．－345°B．－15°C．－315°D．－375°解析：－23π12＝－2312×180°＝－345°.答案：A知识点二扇形面积、弧长公式的应用3．已知扇形的半径为12，弧长为18，则扇形圆心角为___.解析：由弧长公式l＝αR得α＝lR＝1812＝32.答案：324．若扇形OAB的面积是1cm2，它的弧所对的圆心角为2rad，则它的弧长为________．解析：设扇形的半径为r，弧长为l，则S＝12lr＝12×l×lα＝12l2×12＝1.∴l＝2.答案：2cm5.如图所示，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求弓形ACB的面积．解：∵120°＝2π3，∴弧长l＝2π3×6＝4π，∴S扇形＝12×4π×6＝12π.又S△AOB＝12×63×3＝93，∴弓形ACB的面积为12π－93.