2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 1.3.2 诱导公式五、六课件 新人教A版必修4

1．3三角函数的诱导公式第2课时诱导公式五、六第一章三角函数课前自主预习诱导公式五和六1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)角π2－α与角α的终边关于y轴对称．()(2)由诱导公式五、六，能够推导出tanπ2＋α与tanα的关系．()(3)sin3π2＋α＝－sinα.()√××2．做一做(1)已知sin5π2＋α＝15，那么cosα＝()A．－25B．－15C．15D．25解析根据诱导公式sinπ2＋α＝cosα，可得sin5π2＋α＝sin2π＋π2＋α＝sinπ2＋α＝cosα＝15.故正确答案为C.(2)(教材改编P26公式五)已知角α的终边经过点P0(－3，－4)，则cosπ2－α的值为()A．－45B．35C．45D．－35解析角α的终边经过点P0(－3，－4)，由三角函数的定义可得sinα＝－4－32＋－42＝－45，所以cosπ2－α＝sinα＝－45，故选A.(3)化简：sin3π2＋α＝________.－cosα解析sin3π2＋α＝sinπ＋π2＋α＝－sinπ2＋α＝－cosα.课堂互动探究探究1利用诱导公式五、六求值例1已知cosπ2＋α＝13，求值：sinπ2＋αcosπ2－αcosπ＋α＋sinπ－αcos3π2＋αsinπ＋α.解原式＝cosαsinα－cosα＋sinαsinα－sinα＝－sinα－sinα＝－2sinα.又cosπ2＋α＝13，所以－sinα＝13.所以原式＝－2sinα＝23.拓展提升诱导公式应用中需注意的问题诱导公式的应用，就是化归思想的应用，求值过程就是由未知角的三角函数向已知角的三角函数的转化过程．解题时要密切注意角之间的关系，特别是互余、互补关系，为应用诱导公式创造条件．【跟踪训练1】已知cos(π＋α)＝－12，求cosπ2＋α的值．解∵cos(π＋α)＝－cosα＝－12，∴cosα＝12，∴α为第一或第四象限角．①若α为第一象限角，则cosπ2＋α＝－sinα＝－1－cos2α＝－1－122＝－32；②若α为第四象限角，则cosπ2＋α＝－sinα＝1－cos2α＝1－122＝32.探究2化简三角函数式例2化简：sinπ2＋αcosπ2－αcosπ＋α＋sinπ－αcosπ2＋αsinπ＋α.解∵sinπ2＋α＝cosα，cosπ2－α＝sinα，cos(π＋α)＝－cosα，sin(π－α)＝sinα，cosπ2＋α＝－sinα，sin(π＋α)＝－sinα，∴原式＝cosα·sinα－cosα＋sinα·－sinα－sinα＝－sinα＋sinα＝0.拓展提升用诱导公式化简求值的方法(1)对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少．(2)对于kπ±α(k∈Z)和π2±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名．【跟踪训练2】(1)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＋sin290°的值等于________；(2)化简：tan3π－αsinπ－αsin3π2－α＋sin2π－αcosα－7π2sin3π2＋αcos2π＋α.912答案(2)见解析解析(1)因为sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，sin2x°＋sin2(90°－x°)＝sin2x°＋cos2x°＝1(1≤x≤44，x∈N)，所以原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin290°＋sin245°＝45＋222＝912.(2)tan(3π－α)＝－tanα，sin(π－α)＝sinα，sin3π2－α＝－cosα，sin(2π－α)＝－sinα，cosα－7π2＝cosα＋π2＝－sinα，sin3π2＋α＝－cosα，cos(2π＋α)＝cosα，所以原式＝－tanαsinα－cosα＋－sinα－sinα－cosαcosα＝1cos2α－sin2αcos2α＝1－sin2αcos2α＝cos2αcos2α＝1.探究3利用诱导公式证明三角恒等式例3求证：证明拓展提升三角恒等式的证明策略对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．证明1.诱导公式的记忆诱导公式一～六可归纳为k·π2±α(k∈Z)的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”．(1)“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．(2)“奇”“偶”是对诱导公式k·π2±α(k∈Z)中的整数k来讲的．(3)“象限”指k·π2±α(k∈Z)中，将α看成锐角时，k·π2±α(k∈Z)所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．2.诱导公式是三角变换的基本公式，其中角α可以是一个单角，也可以是一个复角，应用时要注意整体把握、灵活变通.课堂达标自测1．已知sin40°＝a，则cos50°等于()A．±aB．－aC．aD．1－a2解析cos50°＝cos(90°－40°)＝sin40°＝a.2．已知sinα＋π2＝13，α∈－π2，0，则tanα的值为()A．－22B．22C．－24D．24解析因为sinα＋π2＝cosα＝13.又α∈－π2，0，所以sinα＝－1－cos2α＝－223，则tanα＝－22.3．已知tan(3π＋α)＝2，则sinα－3π＋cosπ－α＋sinπ2－α－2cosπ2＋α－sin－α＋cosπ＋α＝_____.2解析由tan(3π＋α)＝2，得tanα＝2，所以原式＝－sinα＋－cosα＋cosα－2－sinαsinα－cosα＝sinαsinα－cosα＝tanαtanα－1＝22－1＝2.4．若sinπ2＋θ＝35，则cos2θ－sin2θ＝________.－725解析sinπ2＋θ＝cosθ＝35，从而sin2θ＝1－cos2θ＝1625，所以cos2θ－sin2θ＝－725.5．已知sinπ3－α＝12，求cosπ6＋α·sin2π3＋α的值．解cosπ6＋α·sin2π3＋α＝cosπ2－π3－α·sinπ－π3－α＝sinπ3－α·sinπ3－α＝12×12＝14.