2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 第2课时 公式五和公式

第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式第2课时公式五和公式六学习目标核心素养1.了解公式五和公式六的推导方法．2．能够准确记忆公式五和公式六．(重点、易混点)3．灵活运用诱导公式进行三角函数式的化简、求值和证明．(难点)1.通过运用数形结合的思想，从单位圆的对称性出发，研究诱导公式，提升学生的数学抽象核心素养．2．通过诱导公式的应用，培养学生的数学运算核心素养.自主预习探新知1．公式五(1)角π2－α与角α的终边关于直线对称，如图所示．(2)公式：sinπ2－α＝，cosπ2－α＝．y＝xcosαsinα2．公式六(1)公式五与公式六中角的联系π2＋α＝．(2)公式：sinπ2＋α＝，cosπ2＋α＝．π－π2－αcosα－sinα[提示]sinπ2＋α＝sinπ－π2－α＝sinπ2－α＝cosα，cosπ2＋α＝cosπ－π2－α＝－cosπ2－α＝－sinα.思考：如何由公式四及公式五推导公式六？注意：公式六的坐标法推导方法设角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，而角π2－α的终边与单位圆交于点P′，则，因为π2－α与π2＋α关于轴对称，所以π2＋α的终边与单位圆交于点．∴sinπ2＋α＝＝cosα，cosπ2＋α＝＝－sinα.P′(y，x)y(－y，x)x－y1．化简：sin92π＋x＝()A．sinxB．cosxC．－sinxD．－cosxB[sin9π2＋x＝sinπ2＋x＝cosx．]2．若α∈π，3π2，则1－sin23π2－α＝()A．sinαB．－sinαC．cosαD．－cosαB[∵sin3π2－α＝－cosα，又∵α∈π，3π2，∴1－sin2（3π2－α）＝1－cos2α＝|sinα|＝－sinα.]3．计算：sin211°＋sin279°＝________．1[因为11°＋79°＝90°，所以sin79°＝cos11°，所以原式＝sin211°＋cos211°＝1.]4．化简sin3π2＋α＝________．－cosα[sin3π2＋α＝sinπ＋π2＋α＝－sinπ2＋α＝－cosα.]合作探究提素养利用诱导公式化简求值[探究问题]1．公式一～四与公式五～六的主要区别是什么？提示：公式一～四中函数名称不变，公式五～六中函数名称改变，在应用诱导公式中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”．即针对统一的诱导公式形式“k·90°±α(k∈Z)”或“k·π2±α(k∈Z)”中的k而言．2．解决给值求值问题的策略是什么？提示：(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．【例1】(1)已知cos31°＝m，则sin239°tan149°的值是()A．1－m2mB.1－m2C．－1－m2mD．－1－m2(2)已知sinπ3－α＝12，则cosπ6＋α的值为________．思路点拨：(1)239°＝180°＋59°149°＝180°－31°59°＋31°＝90°→选择公式化简求值(2)π3－α＋π6＋α＝π2→选择公式化简求值(1)B(2)12[(1)sin239°tan149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin59°(－tan31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝1－cos231°＝1－m2.(2)cosπ6＋α＝cosπ2－π3－α＝sinπ3－α＝12.]1．将例1(2)的条件中的“－”改为“＋”，求cos5π6＋α的值．[解]cos5π6＋α＝cosπ2＋π3＋α＝－sinπ3＋α＝－12.2．将例1(2)增加条件“α是第二象限角”，求sin7π6＋α的值．[解]因为α是第二象限角，所以－α是第三象限角，又sinπ3－α＝12，所以π3－α是第二象限角，所以cosπ3－α＝－32，所以sin7π6＋α＝sinπ＋π6＋α＝－sinπ6＋α＝－cosπ3－α＝32.诱导公式应用中解决给值求值的一般步骤(1)定关系：确定已知角与所求角之间的关系，一般常见的互余关系有：π3－α与π6＋α；π3＋α与π6－α；π4＋α与π4－α等．常见的互补关系有：π3＋α与2π3－α；π4＋α与3π4－α等．(2)定公式：依据确定的关系，选择要使用的诱导公式．(3)得结论：根据选择的诱导公式，得到已知值和所求值之间的关系，从而得到答案．利用诱导公式证明恒等式【例2】(1)求证：sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝2sinθ－3π2cosθ＋π2－11－2sin2（π＋θ）.(2)求证：cos（6π＋θ）sin（－2π－θ）tan（2π－θ）cos3π2＋θsin3π2＋θ＝－tanθ.[证明](1)右边＝－2sin3π2－θ·（－sinθ）－11－2sin2θ＝2sinπ＋π2－θsinθ－11－2sin2θ＝－2sinπ2－θsinθ－11－2sin2θ＝－2cosθsinθ－1cos2θ＋sin2θ－2sin2θ＝（sinθ＋cosθ）2sin2θ－cos2θ＝sinθ＋cosθsinθ－cosθ＝左边，所以原等式成立．(2)左边＝cosθsin（－θ）tan（－θ）cosπ2＋θsinπ2＋θ＝cosθsinθtanθ－sinθcosθ＝－tanθ＝右边，所以原等式成立．三角恒等式的证明策略(1)遵循的原则：在证明时一般从左边到右边，或从右边到左边，或左右归一，总之，应遵循化繁为简的原则．(2)常用的方法：定义法，化弦法，拆项拆角法，公式变形法，“1”的代换法．1．求证：cos5π2＋xsinx－5π2tan（6π－x）＝－1.[证明]因为cos5π2＋xsinx－5π2tan（6π－x）＝cos2π＋π2＋xsinx－π2－2πtan（－x）＝cosπ2＋x－sinx－π2tanx＝－sinxcosxtanx＝－1＝右边，所以原等式成立．诱导公式的综合应用【例3】已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求sin－α－32πcos32π－αcosπ2－αsinπ2＋α·tan2(π－α)的值．思路点拨：解方程并根据sinα的取值范围确定sinα的值→由同角三角函数关系式求cosα，tanα→用诱导公式化简→求值[解]方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－35，x2＝2，因为－1≤sinα≤1，所以sinα＝－35.又α是第三象限角，所以cosα＝－45，tanα＝sinαcosα＝34，所以sin－α－32πcos32π－αcosπ2－αsinπ2＋α·tan2(π－α)＝sinπ2－αcosπ2＋αsinαcosα·tan2α＝cosα（－sinα）sinαcosα·tan2α＝－tan2α＝－916.诱导公式综合应用要“三看”一看角：①化大为小；②看角与角之间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．二看函数名称：一般是弦切互化．三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．2．已知sin(π－α)－cos(π＋α)＝23π2＜α＜π，求下列各式的值：(1)sinα－cosα；(2)sin3π2－α＋cos3π2＋α.[解]由sin(π－α)－cos(π＋α)＝23，得sinα＋cosα＝23①，将①两边同时平方，得1＋2sinα·cosα＝29，故2sinα·cosα＝－79.又π2＜α＜π，∴sinα＞0，cosα＜0.(1)∵(sinα－cosα)2＝1－2sinα·cosα＝1－－79＝169，∴sinα－cosα＝43.(2)sin3π2－α＋cos3π2＋α＝cos3α－sin3α＝(cosα－sinα)(cos2α＋cosα·sinα＋sin2α)＝－43×1－718＝－2227.1．本节课的重点是诱导公式五、六及应用，难点是诱导公式的求值，化简中的综合应用．2．诱导公式的作用是将任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值，使用过程中的关键：一是符号问题，二是函数名称问题．首先要记住公式，并在解题的过程中去理解和掌握．3．对于给值求值问题要掌握一些常用的角的变换技巧如π6＋α＝π2－π3－α⇔π6＋α＋π3－α＝π2，π4＋α＋π4－α＝π2，2π3＋α＋π3－α＝π等．4．对于恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一、变更论证的方法．常用定义法、化弦法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法．当堂达标固双基1．下列与sinθ的值相等的是()A．sin(π＋θ)B．sinπ2－θC．cosπ2－θD．cosπ2＋θC[sin(π＋θ)＝－sinθ；sinπ2－θ＝cosθ；cosπ2－θ＝sinθ；cosπ2＋θ＝－sinθ.]2．sin95°＋cos175°的值为()A．sin5°B．cos5°C．0D．2sin5°C[sin95°＝cos5°，cos175°＝－cos5°，故sin95°＋cos175°＝0.]3．已知cosα＝15，且α为第四象限角，那么cosα＋π2＝________．265[因为cosα＝15，且α为第四象限角，所以sinα＝－1－cos2α＝－265，所以cosα＋π2＝－sinα＝265.]4．化简：sin－α－3π2·sin3π2－α·tan2（2π－α）cosπ2－α·cosπ2＋α·cos2（π－α）.[解]原式＝sin－α＋π2·－sinπ2－α·tan2（2π－α）cosπ2－α·cosπ2＋α·cos2（π－α）＝cosα·（－cosα）·tan2αsinα·（－sinα）·cos2α＝tan2αsin2α＝1cos2α.