2019-2020学年高中数学 第1章 三角函数 1.1.2 弧度制课件 新人教A版必修4

第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.2弧度制学习目标核心素养1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系．2．理解“弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．(重点、难点)3．了解“角度制”与“弧度制”的区别与联系．(易错点)1.通过本节课的学习，了解引入弧度制的必要性，理解定义，熟练角度制与弧度制的转换，提升学生数学抽象的核心素养．2．在类比和数学运用过程中，更好形成弧度概念，建立角的集合与实数集的一一对应关系，培养了学生数学建模和数学运算的核心素养.自主预习探新知1．度量角的两种单位制(1)角度制①定义：用_____作为单位来度量角的单位制．②1度的角：周角的______．(2)弧度制①定义：以作为单位来度量角的单位制．②1弧度的角：长度等于的弧所对的圆心角．度1360弧度半径长2．弧度数的计算lr正数负数0思考：比值lr与所取的圆的半径大小是否有关？提示：一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．3．角度制与弧度制的换算(180π)°π1804．一些特殊角与弧度数的对应关系度0°30°45°120°135°150°360°弧度π3π2π3π260°90°180°270°0π6π42π33π45π62π5．扇形的弧长和面积公式设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则：(1)弧长公式：l＝．(2)扇形面积公式：S＝＝．αR12lR12αR21．下列说法中错误的是()A．1弧度的角是周角的1360B．弧度制是十进制，而角度制是六十进制C．1弧度的角大于1度的角D．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度A[A错误，1弧度的角是周角的12π.B、C、D都正确．]2．(1)7π5化为角度是________．(2)105°的弧度数是________．(1)252°(2)7π12[(1)7π5＝7π5×180π°＝252°；(2)105°＝105×π180rad＝7π12rad.]3．半径为2，圆心角为π6的扇形的面积是________．π3[由已知得S扇＝12×π6×22＝π3.]三[－274π＝－8π＋5π4，∵5π4是第三象限角，∴－274π也是第三象限角．]4．－274π是第________象限的角．合作探究提素养角度与弧度的互化与应用【例1】(1)①将112°30′化为弧度为________；②将－5π12rad化为角度为________．(2)设α1＝510°，α2＝－750°，β1＝4π5，β2＝－11π6.①将α1，α2用弧度表示出来，并指出它们各自终边所在的象限；②将β1，β2用角度表示出来，并在－360°～360°范围内找出与它们终边相同的所有的角．(1)①5π8rad②－75°[①因为1°＝π180rad，所以112°30′＝π180×112.5rad＝5π8rad.②因为1rad＝180π°，所以－5π12rad＝－5π12×180π°＝－75°.](2)[解]①∵1°＝π180rad，∴α1＝510°＝510×π180＝176π，α2＝－750°＝－750×π180＝－256π.∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第四象限．②β1＝4π5＝4π5×180π°＝144°.设θ1＝k·360°＋144°(k∈Z)．∵－360°≤θ1＜360°，∴－360°≤k·360°＋144°＜360°.∴k＝－1或k＝0.∴在－360°～360°范围内与β1终边相同的角是－216°.β2＝－11π6＝－11π6×180π°＝－330°.设θ2＝k·360°－330°(k∈Z)．∵－360°≤θ2＜360°，∴－360°≤k·360°－330°＜360°.∴k＝0或k＝1.∴在－360°～360°范围内与β2终边相同的角是30°.角度制与弧度制互化的关键与方法(1)关键：抓住互化公式πrad＝180°是关键；(2)方法：度数×π180＝弧度数；弧度数×180π°＝度数；(3)角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．1．(1)将－157°30′化成弧度为________；(2)将－11π5化为度是________．(1)－78πrad(2)－396°[(1)－157°30′＝－157.5°＝－3152×π180rad＝－78πrad.(2)－11π5＝－11π5×180π°＝－396°.]2．在[2π，4π]中，与72°角终边相同的角是________．(用弧度表示)125π[因为终边与72°角相同的角为θ＝72°＋k·360°(k∈Z)．当k＝1时，θ＝432°＝125π，所以在[2π，4π]中与72°角终边相同的角是125π.]用弧度数表示角【例2】(1)把－1480°写成2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中0≤α＜2π，并判断它是第几象限角？(2)用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．思路点拨：(1)把角度换成弧度→再转化为2kπ＋α（k∈Z）形式→利用终边相同的角判断出象限(2)写出终边为OA的锐角→写出终边落在AOy内范围→加kπ（k∈Z）表示角θ的集合[解](1)－1480°＝－1480×π180＝－74π9＝－10π＋16π9，其中0≤16π9＜2π，因为16π9是第四象限角，所以－1480°是第四象限角．(2)因为30°＝π6rad，210°＝7π6rad，这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB上的角为α＝kπ＋π6，k∈Z，而终边在y轴上的角为β＝kπ＋π2，k∈Z，从而终边落在阴影部分内的角的集合为θkπ＋π6θkπ＋π2，k∈Z.1．弧度制下与角α终边相同的角的表示．在弧度制下，与角α的终边相同的角可以表示为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即与角α终边相同的角可以表示成α加上2π的整数倍．2．根据已知图形写出区域角的集合的步骤．(1)仔细观察图形．(2)写出区域边界作为终边时角的表示．(3)用不等式表示区域范围内的角．提醒：角度制与弧度制不能混用.3．下列与9π4的终边相同的角的表达式中，正确的是()A．2kπ＋45°(k∈Z)B．k·360°＋9π4(k∈Z)C．k·360°－315°(k∈Z)D．kπ＋5π4(k∈Z)C[A，B中弧度与角度混用，不正确．94π＝2π＋π4，所以94π与π4终边相同．－315°＝－360°＋45°，所以－315°也与45°终边相同．故选C.]4．用弧度写出终边落在如图阴影部分(不包括边界)内的角的集合．[解]30°＝π6，150°＝5π6.终边落在题干图中阴影区域内角的集合(不包括边界)是βπ6＋kπ＜β＜5π6＋kπ，k∈Z.弧长公式与扇形面积公式的应用[探究问题]1．用公式|α|＝lr求圆心角时，应注意什么问题？提示：应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负．2．在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？提示：若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果易出错．【例3】(1)如图，以正方形ABCD中的点A为圆心，边长AB为半径作扇形EAB，若图中两块阴影部分的面积相等，则∠EAD的弧度数大小为________；(2)已知扇形OAB的周长是60cm，面积是20cm2，求扇形OAB的圆心角的弧度数．思路点拨：(1)先根据两块阴影部分的面积相等列方程，再解方程求∠EAD的弧度数．(2)先根据题意，列关于弧长和半径的方程组，再解方程组求弧长和半径，最后用弧度数公式求圆心角的弧度数．(1)2－π2[设AB＝1，∠EAD＝α，∵S扇形ADE＝S阴影BCD，由题意可得12×12×α＝12－π×124，∴解得α＝2－π2.](2)[解]设扇形的弧长为l，半径为r，则2r＋l＝60，12lr＝20，∴r＝15＋205，l＝4015＋205或r＝15－205，l＝4015－205，∴扇形的圆心角的弧度数为lr＝43－3205或43＋3205.1．(变条件)将本例(2)中的条件“60”改为“10”，“20”改为“4”，其他条件不变，求扇形圆心角的弧度数．[解]设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l，半径为r，依题意有l＋2r＝10，①12lr＝4.②由①得l＝10－2r，代入②得r2－5r＋4＝0，解得r1＝1，r2＝4.当r＝1时，l＝8(cm)，此时，θ＝8rad＞2πrad(舍去)．当r＝4时，l＝2(cm)，此时，θ＝24＝12rad.2．(变结论)将本例(2)中的条件“面积是20cm2”删掉，求扇形OAB的最大面积及此时弧长AB.[解]设弧长为l，半径为r，由已知l＋2r＝60，所以l＝60－2r，|α|＝lr＝60－2rr，从而S＝12|α|r2＝12·60－2rr·r2＝－r2＋30r＝－(r－15)2＋225，当r＝15时，S取最大值为225，这时圆心角α＝lr＝60－2rr＝2，可得弧长AB＝αr＝2×15＝30.1．弧度制下解决扇形相关问题的步骤：(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝12|α|r2和S＝12lr.(这里α必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．提醒：看清角的度量制，恰当选用公式．2．通过弧度制的引入，使弧长公式及扇形面积公式均有了弧度制的新形式，体现了核心素养下两种公式的比较及弧度的渗透．角度制下l＝nπr180，S＝nπr2360弧度制下l＝|α|r，S＝12|α|r2＝12lr1．角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系：每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．2．弧度制下涉及扇形问题的解题策略(1)明确弧度制下扇形的面积公式是S＝12lr＝12|α|r2(其中l是扇形的弧长，r是扇形的半径，α(0＜α＜2π)是扇形的圆心角)．(2)涉及扇形的周长、弧长、圆心角、面积等的计算，关键是先分析题目已知哪些量求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．注意：运用弧度制下的弧长公式及扇形面积公式的前提是α为弧度.当堂达标固双基1．下列说法正确的是()A．1弧度就是1度的圆心角所对的弧B．1弧度是长度为半径的弧C．1弧度是1度的弧与1度的角之和D．1弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小D[利用弧度的概念判断，易知D正确．]2．下列转化结果错误的是()A．60°化成弧度是π3B．－103π化成度是－600°C．－150°化成弧度是－76πD．π12化成度是15°C[对于A，60°＝60×π180＝π3；对于B，－103π＝－103×180°＝－600°；对于C，－150°＝－150×π180＝－56π；对于D，π12＝112×180°＝15°.故选C.]3．若把－570°写成2kπ＋α(k∈Z，0≤α＜2π)的形式，则α＝________．5π6[－570°＝－19π6＝－4π＋5π6.]4．求半径为πcm，圆心角为120°的扇形的弧长及面积．[解]因为r＝π，α＝120×π180＝2π3，所以l＝αr＝2π23cm，S＝12lr＝π33cm2.