2019-2020学年高中数学 第1章 解三角形章末总结归纳课件 新人教B版必修5

章末总结归纳正弦定理、余弦定理体现了三角形中的边角关系，能实现边角的互化，应用这两个定理可解决以下几类问题：已知条件应用定理一般解法一边和两角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求出b与c，在有解时只有一解．两边和夹角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三边c；由正弦定理求出一边所对的角；再由A＋B＋C＝180°求出另一角，在有解时只有一解．三边(a，b，c)余弦定理由余弦定理求出角A，B；再利用A＋B＋C＝180°，求出角C，在有解时只有一解．两边和其中一边的对角(如a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求出角B；由A＋B＋C＝180°，求出角C；再利用正弦定理或余弦定理求c，可有两解、一解或无解.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－14.(1)求sinC的值；(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，求b及c的长．【解】(1)∵cos2C＝1－2sin2C＝－14，0Cπ，∴sinC＝104.(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，由正弦定理asinA＝csinC，得c＝4.由cos2C＝2cos2C－1＝－14，及0Cπ，得cosC＝±64.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得b2±6b－12＝0(b0)，解得b＝6或26，∴b＝6，c＝4或b＝26，c＝4.1.欲判断三角形的形状特征，必须深入研究三角形的边与边的大小关系，还要研究角与角的大小关系．解这类问题的思想方法是：从条件出发，利用正弦定理(或余弦定理)进行代换转化，逐步将给出的式子化为纯粹的边与边的关系或角与角的关系，通过运算求出边或角的大小，或者确定边与边或角与角之间的等量关系，从而正确判定三角形的形状．2．判定三角形形状时的常用结论有：①在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB⇔cosA＜cosB；②在△ABC中，A＋B＋C＝π，A＋B＝π－C，A＋B2＝π2－C2，则cos(A＋B)＝－cosC，cosA＋B2＝sinC2，sin(A＋B)＝sinC，sinA＋B2＝cosC2；③在△ABC中，a2＋b2＜c2⇔cosC＜0⇔π2＜C＜π，a2＋b2＝c2⇔cosC＝0⇔C＝π2，a2＋b2＞c2⇔cosC＞0⇔0＜C＜π2.在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．【解】解法一：由正弦定理，得2sinB＝sinA＋sinC.∵B＝60°，∴A＋C＝120°，即A＝120°－C，代入上式，得2sin60°＝sin(120°－C)＋sinC，展开整理得32sinC＋12cosC＝1.∴sin(C＋30°)＝1，∴C＋30°＝90°，∴C＝60°，故A＝60°.∴△ABC为正三角形．解法二：由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB.∵B＝60°，b＝a＋c2，∴a＋c22＝a2＋c2－2accos60°.整理得(a－c)2＝0，∴a＝c，从而a＝b＝c.∴△ABC为正三角形.正弦定理、余弦定理是平面几何中的重要定理，应用极为广泛，它将三角形的边和角有机地联系了起来．正弦定理、余弦定理不但为求与三角形有关的量，如面积、内切圆半径、外接圆半径等提供了理论基础，而且是判断三角形的形状、证明三角形中有关等式的重要依据．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a.(1)求ba；(2)若c2＝b2＋3a2，求B.【解】(1)由正弦定理得，sin2AsinB＋sinBcos2A＝2sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝2sinA.故sinB＝2sinA，所以ba＝2.(2)由余弦定理和c2＝b2＋3a2，得cosB＝1＋3a2c.由(1)知b2＝2a2，故c2＝(2＋3)a2.可得cos2B＝12，又cosB0，故cosB＝22，所以B＝45°.1．(2018·内蒙古乌兰察布月考)在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos60°，∴ac＝a2＋c2－ac，即(a－c)2＝0，∴a＝c，又B＝60°，∴a＝b＝c，故△ABC为等边三角形．答案：B2．(2018·云南姚安月考)已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C＝3∶2∶1，那么，对应的三边之比a∶b∶c等于()A．3∶2∶1B．3∶2∶1C.3∶2∶1D．2∶3∶1解析：∵A∶B∶C＝3∶2∶1，∴令A＝3x，B＝2x，C＝x，∴3x＋2x＋x＝π，∴x＝π6，∴A＝π2，B＝π3，C＝π6，∴a∶b∶c＝1∶32∶12＝2∶3∶1.故选D.答案：D3．如图，在△ABC中，C＝π3，BC＝4，点D在边AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E为垂足，若DE＝22，则cosA＝________.解析：∵DE⊥AB，DE＝22，∴AD＝22sinA，∵AD＝BD，∴BD＝AD＝22sinA.在△BCD中，∠BDC＝A＋∠ABD＝2A.∴BDsinπ3＝BCsin2A，∴22sinA32＝4sin2A，化简整理得cosA＝64.答案：644．在如图所示的四边形ABCD中，∠BAD＝90°，∠BCD＝120°，∠BAC＝60°，AC＝2，记∠ABC＝θ.(1)用含θ的代数式表示DC；(2)求△BCD的面积S的最小值．解：(1)在△ADC中，∠ADC＝360°－90°－120°－θ＝150°－θ，由DCsin∠DAC＝ACsin∠ADC，得DC＝2×sin30°sin150°－θ＝1sin150°－θ.(2)在△ABC中，ACsinθ＝BCsin60°，∴BC＝3sinθ，∴S△BCD＝12DC·BC·sin120°＝34sinθsin150°－θ＝32sinθcosθ＋23sin2θ＝3sin2θ＋3－3cos2θ＝32sin2θ－60°＋3，∴当θ＝75°时，S△BCD有最小值6－33.5．(2017·山东卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝3，AB→·AC→＝－6，S△ABC＝3，求A和a.解：∵AB→·AC→＝－6，∴bccosA＝－6，∵S△ABC＝12bcsinA＝3，∴bcsinA＝6，∴tanA＝－1，∵A∈(0，π)，∴A＝3π4，∴bcsin3π4＝6，∴c＝22，∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝29，∴a＝29.