2019-2020学年高中数学 第1章 解三角形 1.2 应用举例 第二课时 三角形中的计算课件 新

1．2应用举例第二课时三角形中的计算自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．掌握三角形的面积公式．2．会用正、余弦定理计算三角形中的一些量.1．在△ABC中，边BC，CA，AB上的高分别记为ha，hb，hc，则ha＝bsinC＝___________；hb＝csinA＝___________；hc＝asinB＝___________.csinBasinCbsinA2．三角形的面积公式(1)S＝12aha(ha表示a边上的高)；(2)S＝12absinC＝___________＝___________；(3)S＝abc4R(R是三角形外接圆的半径)；(4)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆的半径)．12acsinB12bcsinA3.解决三角形中计算问题的关键是转化为求三角形中的边或角，再分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素．通常情况下，求线段的长转化为求三角形的边长，求角的大小转化为求三角形的角的大小．解三角形广泛应用于各种平面图形，如菱形、梯形、平行四边形、扇形及一些不规则图形，处理时，可通过添加适当的辅助线，将问题纳入到三角形中去解决．以三角形为载体借助正、余弦定理还可以解决三角函数的求值问题．1．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，若2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为32，则b等于()A．1＋3B.1＋32C.2＋32D．2＋3解析：由题可得S＝12acsin30°＝32，∴ac＝6.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos30°＝a2＋c2－3ac＝(a＋c)2－3ac－2ac＝4b2－63－12，∴b2＝23＋4＝(3＋1)2，∴b＝3＋1，故选A.答案：A2．(2018·全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为a2＋b2－c24，则C＝()A.π2B．π3C.π4D.π6解析：由题可知S△ABC＝12absinC＝a2＋b2－c24，∴a2＋b2－c2＝2absinC，由余弦定理a2＋b2－c2＝2abcosC，∴sinC＝cosC，∵C∈(0，π)，∴C＝π4，故选C.答案：C3．如图，在△ABC中，BC＝10，B＝60°，C＝45°，则点A到边BC的距离AD是________．解析：∵A＝180°－B－C＝75°，由正弦定理，得ABsin45°＝BCsin75°，∴AB＝BC·sin45°sin75°＝10×226＋24＝10(3－1)，∴AD＝AB·sin60°＝10(3－1)×32＝15－53.答案：15－53典例精析规律总结课堂互动探究在△ABC中，已知A＝30°，C＝45°，a＝2cm，求S△ABC.【分析】此题已知△ABC的两角及其中一角的对边，我们可以先利用解三角形的方法求出这个三角形的另外三个量，再来求其面积．【解】解法一：∵A＝30°，C＝45°，∴B＝105°，b＝asinBsinA＝2sin105°sin30°＝4sin(60°＋45°)＝4sin60°cos45°＋4cos60°sin45°＝(2＋6)(cm)，∴S△ABC＝12absinC＝12×2×(2＋6)sin45°＝(3＋1)(cm2)．解法二：由解法一知B＝105°，sin105°＝6＋24，∴S△ABC＝12×22×sin105°sin45°sin30°＝(3＋1)(cm2)．解法三：由已知和解法一知a＝2cm，b＝(2＋6)cm，c＝asinCsinA＝2sin45°sin30°＝22(cm)，令p＝a＋b＋c2，∴p＝2＋32＋62cm，∴S△ABC＝pp－ap－bp－c＝(3＋1)(cm2)．(2018·江西吉安月考)设△ABC的三内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b(sinB－sinC)＋(c－a)(sinA＋sinC)＝0.(1)求角A的大小；(2)若a＝3，sinC＝1＋32sinB，求△ABC的面积．解：(1)由b(sinB－sinC)＋(c－a)(sinA＋sinC)＝0，得b(b－c)＋(c－a)(a＋c)＝0，∴b2－bc＋c2－a2＝0，∴b2＋c2－a2＝bc，∴cosA＝b2＋c2－a22bc＝12，∵A∈(0，π)，∴A＝π3.(2)由sinC＝1＋32sinB,得c＝1＋32b，由(1)可知a2＝b2＋c2－bc，∴3＝b2＋1＋32b2－1＋32b2，∴b2＝2，∴S△ABC＝12bcsinA＝12×1＋32b2×32＝3＋34.(2017·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为a23sinA.(1)求sinBsinC；(2)若6cosBcosC＝1，a＝3，求△ABC的周长．【解】(1)由题设得12acsinB＝a23sinA，即12csinB＝a3sinA.由正弦定理得12sinCsinB＝sinA3sinA，故sinBsinC＝23.(2)由题设及(1)得cosBcosC－sinBsinC＝－12，即cos(B＋C)＝－12.所以B＋C＝2π3，故A＝π3.由题设得12bcsinA＝a23sinA，即bc＝8.由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝33.故△ABC的周长为3＋33.(2017·全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2B2.(1)求cosB；(2)若a＋c＝6，△ABC的面积为2，求b.解：(1)由题设及A＋B＋C＝π，得sinB＝8sin2B2，故sinB＝4(1－cosB)．上式两边平方，整理得17cos2B－32cosB＋15＝0，解得cosB＝1(舍去)，cosB＝1517.(2)由cosB＝1517得sinB＝817，故S△ABC＝12acsinB＝417ac.又S△ABC＝2，则ac＝172.由余弦定理及a＋c＝6得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)＝36－2×172×1＋1517＝4，所以b＝2.如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE＝1，EC＝7，EA＝2，∠ADC＝2π3，∠BEC＝π3.(1)求sin∠CED的值；(2)求BE的长．【解】如题图，设∠CED＝α.(1)在△CDE中，由余弦定理，得EC2＝CD2＋DE2－2CD·DE·cos∠EDC.于是由题设知，7＝CD2＋1＋CD，即CD2＋CD－6＝0，解得CD＝2或CD＝－3(舍去)．在△CDE中，由正弦定理，得ECsin∠EDC＝CDsinα.于是，sinα＝CD·sin2π3EC＝2·327＝217，即sin∠CED＝217.(2)由题设知，0απ3，于是由(1)知，cosα＝1－sin2α＝1－2149＝277.而∠AEB＝2π3－α，所以cos∠AEB＝cos2π3－α＝cos2π3cosα＋sin2π3sinα＝－12·277＋32·217＝714.∴在Rt△EAB中，cos∠AEB＝EABE＝2BE，∴BE＝2cos∠AEB＝47.(2017·浙江卷)已知△ABC，AB＝AC＝4，BC＝2.点D为AB延长线上一点，BD＝2，连接CD，则△BDC的面积是________，cos∠BDC＝________.解析：在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，由余弦定理得cos∠ABC＝AB2＋BC2－AC22AB·BC＝42＋22－422×4×2＝14，则sin∠ABC＝sin∠CBD＝154，所以S△BDC＝12BD·BCsin∠CBD＝152.因为BD＝BC＝2，所以∠CDB＝12∠ABC，则cos∠CDB＝cos∠ABC＋12＝104.答案：152104在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA－2cosCcosB＝2c－ab.(1)求sinCsinA的值；(2)若cosB＝14，△ABC的周长为5，求b的长．【分析】借助正弦定理实现边到角的转化及整体处理sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB是解好本题的关键．【解】(1)由正弦定理，设asinA＝bsinB＝csinC＝k，则2c－ab＝2ksinC－ksinAksinB＝2sinC－sinAsinB，所以cosA－2cosCcosB＝2sinC－sinAsinB.即(cosA－2cosC)sinB＝(2sinC－sinA)cosB.化简可得sin(A＋B)＝2sin(B＋C)，又A＋B＋C＝π，所以sinC＝2sinA.因此sinCsinA＝2.(2)由sinCsinA＝2，得c＝2a.由余弦定理及cosB＝14得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋4a2－4a2×14＝4a2.所以b＝2a.又a＋b＋c＝5，从而a＝1，因此b＝2.【知识点拨】此类问题常以三角形为载体，以正、余弦定理和三角公式为工具来综合考查，同时考查化归转化、方程思想和整体思想．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sinA－BsinA＋B＝b＋cc.(1)求角A的大小；(2)当a＝6时，求△ABC面积的最大值，并指出面积最大时△ABC的形状．解：(1)由sinA－BsinA＋B＝b＋cc，得sinA－BsinA＋B＝sinB＋sinCsinC.又sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sinC，∴sin(A－B)＝sinB＋sinC，∴sin(A－B)＝sinB＋sin(A＋B)，∴sinAcosB－cosAsinB＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，∴sinB＋2cosAsinB＝0.又sinB≠0，∴cosA＝－12.∵A∈(0，π)，∴A＝2π3.(2)S＝12bcsinA＝34bc＝342RsinB·2RsinC＝3R2sinB·sinC＝3R2sinB·sinπ3－B＝32R2sin2B＋π6－34R2，B∈0，π3.由正弦定理2R＝asinA＝6sin2π3＝43，∴R＝23.当2B＋π6＝π2，即B＝C＝π6时，Smax＝33，∴△ABC面积的最大值为33，此时△ABC为等腰三角形．即学即练稳操胜券基础知识达标1．(2018·云南沾益质检)钝角三角形ABC的面积是12，AB＝1，BC＝2，则AC＝()A．5B.5C．2D．1解析：由S＝12AB·BCsinB，得12＝12×1×2sinB，∴sinB＝22，∵B∈(0，π)，若B＝π4，∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2－2×1×2×22＝1，∴AC＝1，∴C＝π4，∴A＝π2，此时△ABC不是钝角三角形，若B＝3π4，∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝1＋2＋2＝5，∴AC＝5，故选B.答案：B2．(2019·河北邯郸月考)在△ABC中，三个角满足2A＝B＋C，且最大边与最小边分别是方程3x2－27x＋32＝0的两根，则△ABC的外接圆的面积是()A.196π3B．49π3C.147π25D.588π25解析：由2A＝B＋C，∴A＝π3，∴△ABC中的最大边与最小边是b，c，∴b，c是方程3x2－27x＋32＝0的两根，∴b＋c＝273＝9，bc＝323，∴a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc＝49，∴a＝7，∴R＝a2sinA＝733，∴S＝49π3，故选B.答案：B3．(2018·河南长葛质检)已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为S，且2S＝(a＋b)2－c2，则tanC等于()A.34B．43C．－43D．－34解析：由2S＝(a＋b)2－c2，得2·12absinC＝a2＋b2＋2ab－c2，∴absinC＝2abcosC＋2ab，∴sinC＝2cosC＋2，∴sin2C＝4cos2C＋8cosC＋4，∴5cos2C＋8cosC＋3＝0，∴cosC＝－35或cosC＝－1(舍去)，∴tanC＝－43，故选C.答案：C4．如图，