2019-2020学年高中数学 第1章 计数原理 5 5.2 二项式系数的性质课件 北师大版选修2-

第一章计数原理§5二项式定理5.2二项式系数的性质学习目标核心素养1.了解杨辉三角．2．掌握二项式系数的性质．(重点)3．会用赋值法求系数和．(难点)通过对二项式系数性质的学习，培养“逻辑推理”、“数学运算”的数学素养.自主预习探新知1．杨辉三角的特点(1)在同一行中每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数______.(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”的两个数的__，即Crn＋1＝__________.相等和Cr－1n＋Crn2．二项式系数的性质对称性在(a＋b)n展开式中，与首末两端“______”的两个二项式系数相等，即Cmn＝______增减性与最大值增减性：当kn＋12时，二项式系数是逐渐增大的；当kn＋12时，二项式系数是逐渐减小的.最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数Cn2n最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数Cn－12n，Cn+12n相等，且同时取得最大值等距离Cn－mn(1)C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝____.各二项式系数的和(2)C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝________2n2n－1思考1：二项式系数表与杨辉三角中对应行的数值都相同吗？[提示]不是．二项式系数表中第一行是两个数，而杨辉三角的第一行只有一个数．实际上二项式系数表中的第n行与杨辉三角中的第n＋1行对应数值相等．思考2：杨辉三角有什么作用？[提示]利用杨辉三角可以直观看出二项式系数的性质，当二项式的次数不大时，可借助它直接写出各项的二项式系数．思考3：令f(k)＝Ckn，k∈{0,1,2，…，n}，则直线k＝n2将函数f(k)的图像分成对称的两部分，即直线k＝n2是图像的对称轴，由此我们得到结论：当k＝n2时，Ckn最大，这个结论正确吗？[提示]不正确．当n是偶数时，Ckn最大；当n是奇数时，Cn－12n＝Cn+12n最大．1．(1－2x)15的展开式中的各项系数和是()A．1B．－1C．215D．315B[令x＝1即得各项系数和，所以各项系数和为－1.]2．在(a＋b)10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是()A．第8项B．第7项C．第9项D．第10项C[由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等．]3．(1－x)4的展开式中各项的二项式系数分别是()A．1,4,6,4,1B．1，－4,6，－4,1C．(－1)rCr4(r＝0,1,2,3)D．(－1)rCr4(r＝0,1,2,3,4)A[杨辉三角第4行的数字即为二项式系数．]4．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第______行中从左至右第14个与第15个数的比为2∶3.34[由已知C13nC14n＝23，即n！n－13！·13！×n－14！·14！n！＝23，化简得14n－13＝23，解得n＝34.]合作探究提素养与“杨辉三角”有关的问题【例1】如图，在“杨辉三角”中斜线AB的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为Sn，求S19的值．[解]由图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，……，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.S19＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C210＋C110)＋C211＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C210＋C211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C312＝2＋10×92＋220＝274.解决与杨辉三角有关问题的一般思路：1观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察；2找规律：通过观察找出每一行的数之间，行与行之间的数据的规律.1．如图所示，满足如下条件：①第n行首尾两数均为n；②表中的递推关系类似“杨辉三角”．则第10行的第2个数是________，第n行的第2个数是________．46n2－n＋22[由图表可知第10行的第2个数为：(1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，第n行的第2个数为：[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋1＝nn－12＋1＝n2－n＋22.]求展开式的系数的和【例2】设(1－2x)2018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2018x2018(x∈R)．(1)求a0的值；(2)求a1＋a2＋a3＋…＋a2018的值；(3)求a1＋a3＋a5＋…＋a2017的值．[解](1)在等式(1－2x)2018＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2018x2018中，令x＝0，得1＝a0.∴a0＝1.(2)在等式中，令x＝1，得1＝a0＋a1＋a2＋…＋a2018，∴a1＋a2＋…＋a2018＝0.(3)令x＝－1，x＝1，得32018＝a0－a1＋a2－a3＋…－a2017＋a2018，1＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a2017＋a2018，相减，得1－32018＝2(a1＋a3＋…＋a2017)．∴a1＋a3＋…＋a2017＝12(1－32018)．解决二项式系数和的思维流程2．若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|.[解](1)令x＝0，则a0＝－1.令x＝1，则a0＋a1＋…＋a7＝27＝128，①∴a1＋a2＋…＋a7＝129.(2)令x＝－1，则a0－a1＋…＋a6－a7＝(－4)7，②由①－②得，2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7，∴a1＋a3＋a5＋a7＝8256.(3)∵Tr＋1＝Cr7(3x)7－r(－1)r，∴a2k－10(k∈N＋)，a2k0(k∈N＋)．∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝－a0＋a1－a2＋a3－…－a6＋a7＝47＝16384.二项式系数性质的应用[探究问题]1．根据杨辉三角的特点，在杨辉三角同一行中与两个1等距离的项的系数相等，你可以得到二项式系数的什么性质？[提示]对称性，因为Cmn＝Cn－mn，也可以从f(r)＝Crn的图像中得到．2．计算CknCk－1n，并说明你得到的结论．[提示]CknCk－1n＝n－k＋1k.当kn＋12时，CknCk－1n1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当kn＋12时，二项式系数逐渐减小．3．二项式系数何时取得最大值？[提示]当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项Cn-12n，Cn+12n相等，且同时取得最大值．【例3】已知f(x)＝(3x2＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．[解]令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n.由题意知，4n－2n＝992.∴(2n)2－2n－992＝0，∴(2n＋31)(2n－32)＝0，∴2n＝－31(舍去)或2n＝32，∴n＝5.(1)由于n＝5为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3＝C25(x23)3(3x2)2＝90x6，T4＝C35(x23)2(3x2)3＝270x223.(2)展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr53r·x23(5＋2r)．假设Tr＋1项系数最大，则有Cr53r≥Cr－15·3r－1，Cr53r≥Cr＋15·3r＋1，∴5！5－r！r！×3≥5！6－r！r－1！，5！5－r！r！≥5！4－r！r＋1！×3，∴3r≥16－r，15－r≥3r＋1.∴72≤r≤92，∵r∈N＋，∴r＝4.∴展开式中系数最大的项为T5＝C45x23(3x2)4＝405x263.1．二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论．(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大．(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．展开式中系数的最大项的求法求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需要根据各项系数的正、负变化情况进行分析．如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法．设展开式中各项系数分别为A0，A1，A2，…，An，且第k＋1项最大，应用Ak≥Ak－1，Ak≥Ak＋1，解出k，即得出系数的最大项．3．(1＋2x)n的展开式中第6项和第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．[解]T6＝C5n(2x)5，T7＝C6n(2x)6，依题意有C5n25＝C6n·26⇒n＝8，∴(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C48·(2x)4＝1120x4.设第r＋1项系数最大，则有Cr8·2r≥Cr－18·2r－1Cr8·2r≥Cr＋18·2r＋1⇒5≤r≤6.∴r＝5或r＝6.∴系数最大的项为T6＝1792x5，T7＝1792x6.1．二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出．2．求展开式中的系数或展开式中的系数的和、差的关键是给字母赋值，赋值的选择则需根据所求的展开式系数和特征来确定．一般地对字母赋的值为0,1或－1，但在解决具体问题时要灵活掌握．3．注意以下两点：(1)区分开二项式系数与项的系数．(2)求解有关系数最大时的不等式组时，注意其中k∈{0,1,2，…，n}.当堂达标固双基1.观察图中的数所成的规律，则a所表示的数是()A．8B．6C．4D．2B[由题图知，下一行的数是其肩上两数的和，所以4＋a＝10，得a＝6.]2．(1＋x)2n＋1的展开式中，二项式系数最大的项所在项数是()A．n，n＋1B．n－1，nC．n＋1，n＋2D．n＋2，n＋3C[该展开式共2n＋2项，中间两项为第n＋1项与第n＋2项，所以第n＋1项与第n＋2项为二项式系数最大的项．]3．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n的值为________．5[(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C010＋C110＋…＋C1010＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.]4．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝________.1[(a－x)5展开式的通项为Tk＋1＝(－1)kCk5·a5－kxk，令k＝2，得a2＝(－1)2C25a3＝80，解得a＝2，即(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.]5．已知14＋2xn的展开式中前三项的二项式系数的和等于37，求展开式中二项式系数最大的项的系数．[解]由C0n＋C1n＋C2n＝37，得1＋n＋12n(n－1)＝37，解得n＝8(负值舍去)，则第5项的二项式系数最大，T5＝C48×144×(2x)4＝358x4，该项的系数为358.