2019-2020学年高中数学 第1章 计数原理 2.2 组合 第一课时 组合与组合数公式课件 新人

第一章计数原理1．2排列与组合1．2.2组合第一课时组合与组合数公式梳理知识夯实基础自主学习导航1．理解组合的意义，能写出一些简单问题的组合．2．能够正确认识排列与组合的区别．3．掌握组合数公式，能用组合数公式及其性质进行计算、化简．‖知识梳理‖1．一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素__________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，即__________，用符号_____表示，其中Cmn＝__________________________＝____________.2．组合数的性质性质1：Cmn＝__________；性质2：Cmn＋1＝_____________.合成一组组合数nn－1n－2…n－m＋1m！Cmnn！m！n－m！Cn－mnCmn＋Cm－1n解剖难点探究提高重点难点突破组合的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“合成一组”，与元素的顺序无关．排列与组合的相同点是从n个不同元素中任取m个元素，不同点是组合是“不管元素的顺序合成一组”，而排列是要求元素按照一定的顺序排成一列．因此区分某一问题是组合还是排列，关键是看取出的元素有无顺序．组合数的两个性质，性质1反映了组合数的对称性，在mn2时，通常不直接计算Cmn，而改为Cn－mn；对于性质2，Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n要会正用、逆用、变形用．归纳透析触类旁通课堂互动探究题型一组合的概念及其应用判断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从集合A＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相加，得到的和共有多少个？(2)从集合A＝{－1,1,10,8,6,4}中任取两个数相除，得到的商共有多少个？(3)从a，b，c，d这四名同学中任取两名同学去参加某一活动，共有多少种不同的选法？(4)四个人互发电子邮件，共写了多少个电子邮件？【思路探索】根据排列、组合的概念解题，关键看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题．【解】(1)从集合A中取出两个数后，改变两个数的顺序，其和不变．因此此问题只与取出的元素有关，与元素的顺序无关，故是组合问题．(2)从集合A中取出两个数相除，若改变其分子、分母的位置，其结果就不同，因此其商的值与元素的顺序有关，是排列问题．(3)由于从4名同学中取出的两名同学参加的同一项活动，没有顺序，因此是组合问题．(4)四人互发电子邮件，由于发信人与收信人是有区别的，与顺序有关，是排列问题．[名师点拨]区分排列与组合的关键是看取出元素之后，在安排这些元素时，是否与顺序有关，“有序”则为排列，无序则为组合.判断下列问题是排列问题还是组合问题：(1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？(2)从2、3、5、7、11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？(3)某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？(4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的安排？解：(1)是组合问题，4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于5人中选择哪4个人，这与顺序无关．(2)是排列问题，例如选取3、5,3作分子，5作分母时为35，3作分母，5作分子时为53，这是不同的．(3)是组合问题，击中的4枪是相同的，不同的结果取决于第几枪击中．(4)是排列问题，例如选中甲、乙2人，甲去A乡镇和甲去B乡镇是不同的，所以与顺序有关．题型二有关组合数的计算问题计算下列各式的值：(1)C610－C37A33；(2)C38－n3n＋C3n21＋n.【思路探索】利用组合数公式进行计算．【解】(1)C610－C37A33＝C410－C37A33＝10×9×8×74×3×2×1－7×6×5＝210－210＝0.(2)由题意得38－n≤3n，3n≤21＋n，得192≤n≤212，又n∈N*，∴n＝10.故C38－n3n＋C3n21＋n＝C2830＋C3031＝C230＋C131＝30×292＋31＝466.[名师点拨]在使用组合数公式Cmn＝nn－1…n－m＋1m！＝n！m！n－m！时，涉及具体数字的可以用展开式计算，涉及字母的可用阶乘计算，在计算时注意m≤n，当mn2时，可用公式Cmn＝Cn－mn进行计算.(2019·重庆八中高二质检)若C2n＝21，则n！3！n－3！的值为()A．6B．7C．35D．20解析：因为C2n＝nn－12＝21，解得n＝7，所以n！3！n－3！＝7！3！4！＝35.答案：C题型三组合数的性质(1)化简C37＋C47＋C58＋C69＝________.(2)已知Cx－212＝C2x－412，则x的值为________．【思路探索】利用组合的性质求解．【解析】(1)∵C37＋C47＝C48.∴C37＋C47＋C58＋C69＝C48＋C58＋C69＝C59＋C69＝C610＝210.(2)由Cx－212＝C2x－412得x－2＝2x－4或x－2＝12－2x＋4，即x＝2或x＝6.又x∈N*，且0≤x－2≤12,0≤2x－4≤12，∴x＝2或x＝6符合题意．【答案】(1)210(2)2或6[名师点拨]组合数的性质Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n，其公式特点是等号右边两式的下标比左边少1，上标一个与左边的上标相等，另一个比左边的上标少1，它主要用于组合数的化简.求证：Cnm＋2＝Cnm＋2Cn－1m＋Cn－2m.证明：由组合数的性质Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n可知，右边＝(Cnm＋Cn－1m)＋(Cn－1m＋Cn－2m)＝Cnm＋1＋Cn－1m＋1＝Cnm＋2＝左边．右边＝左边，所以原式成立.即学即练稳操胜券课堂基础达标1．以下四个命题，属于组合问题的是()A．从3个不同的小球中，取出2个排成一列B．老师排桌次时将甲、乙安排为同桌C．在电视节目中，主持人从100名幸运观众中选出2名幸运之星D．从10位司机中选出两位开同一辆车往返甲、乙两地解析：从100名幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，属于组合问题．答案：C2．若Cx8＝C38，则x的值为()A．13B．5C．5或3D．8解析：由Cx8＝C38知x＝3或x＋3＝8，∴x＝3或x＝5.答案：C3．从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，则不同的选法共有()A．35种B．840种C．420种D．70种解析：不同的选法有C47＝35种，故选A.答案：A4．若A3m＝6C4m，则m＝()A．5B．6C．7D．8解析：由A3m＝6C4m可化为m(m－1)(m－2)＝6·mm－1m－2m－34！，化简得，m－34＝1，解得m＝7.答案：C5．解不等式1C4n－1C5n2C6n.解：依题意，n≥6且n∈N*，由1C4n－1C5n2C6n，得4！n－4！n！－5！n－5！n！2·6！n－6！n！，∴(n－4)(n－5)－5(n－5)2×6×5，即n2－14n－150，解得－1n15，结合n的取值范围，可得n＝6、7、8、9、10、11、12、13、14.