2019-2020学年高中数学 第1章 基本初等函数（Ⅱ） 1.3.3 已知三角函数值求角课件 新人

第一章基本初等函数(Ⅱ)1.3.3已知三角函数值求角自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|,掌握已知三角函数值求角的方法，会用已知的三角函数值求角，并会用符号arcsinx，arccosx，arctanx表示角.1．已知正弦值，求角对于正弦函数y＝sinx，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在上有唯一的x值和它对应，记作x＝___________－1≤y≤1，－π2≤x≤π2.－π2，π2arcsiny2．已知余弦值，求角对于余弦函数y＝cosx，如果已知函数值y(y∈[－1,1])，那么在上有唯一的x值和它对应，记作x＝(－1≤y≤1,0≤x≤π)．[0，π]arccosy3．已知正切值，求角如果正切函数y＝tanx(y∈R)，且x∈－π2，π2，那么对每一个正切值y，在开区间内有且只有一个角x，使tanx＝y，记作x＝y∈R，－π2＜x＜π2.－π2，π2arctany1．已知sinx＝－1，则角x等于()A．πB.kπ(k∈Z)C．2kπ－π2(k∈Z)D.(2k＋1)π(k∈Z)答案：C2．arccos－32＝________.解析：令arccos－32＝α，α∈[0，π]，∴cosα＝－32，∴α＝5π6.答案：5π63．已知tanα＝2，则α＝________.答案：kπ＋arctan2，k∈Z典例精析规律总结课堂互动探究已知正弦值求角类型1已知sinx＝32.(1)当x∈－π2，π2时，求x的取值集合；(2)当x∈[0,2π]时，求x的取值集合；(3)当x∈R时，求x的取值集合．【分析】由定义并结合具体步骤求解．【解】(1)∵y＝sinx在－π2，π2上是增函数，且sinπ3＝32，∴x＝π3，∴所求集合是π3.(2)∵sinx＝32＞0，∴x为第一或第二象限的角．且sinπ3＝sinπ－π3＝32.∴在[0,2π]上符合条件的角有x＝π3或x＝2π3，∴x的取值集合为π3，2π3.(3)当x∈R时，x的取值集合为xx＝2kπ＋π3，或x＝2kπ＋2π3，k∈Z.【知识点拨】给值求角，由于范围不同，所得的角可能不同，一定要注意范围条件的约束作用，对于sinx＝a(x∈R)，|a|≤1，这个方程的解可表示为x＝2kπ＋arcsina(k∈Z)或x＝2kπ＋π－arcsina(k∈Z)．下列说法中错误的是()A．arcsin－22＝－π4B．arcsin0＝0C．arcsin(－1)＝3π2D．arcsin1＝π2答案：C已知余弦值求角类型2已知cosα＝－13，α∈π，3π2，求角α.【解】令cosα0＝13，得α0＝arccos13，∵α在第三象限，∴α＝π＋α0＝π＋arccos13.【知识点拨】cosα＝a，|a|≤1，若α∈[0，π]，则α＝arccosa；若α∈[0,2π]，则α＝arccosa或α＝2π－arccosa；若α∈R，则α＝2kπ±arccosa，k∈Z.若π2xπ，且cosx＝－56，则x等于()A．arccos56B.－arccos56C．π－arccos56D.π＋arccos56解析：∵x∈π2，π，∴x＝arccos－56＝π－arccos56.答案：C已知正切值求角类型3已知tanα＝－2，若(1)α∈－π2，π2，(2)α∈[0,2π]，(3)α∈R，分别求角α.【分析】由反正切的定义及求解步骤求解．【解】(1)由正切函数在开区间－π2，π2上是增函数，可知符合tanα＝－2的角只有一个，即α＝arctan(－2)，且α∈－π2，0.(2)∵tanα＝－2＜0，所以α是第二或第四象限的角．又∵α∈[0,2π]，由正切函数在区间π2，π，3π2，2π上是增函数知，符合tanα＝－2的角有两个．∵tan(α＋π)＝tan(α＋2π)＝tanα＝－2，且arctan(－2)∈－π2，0，∴α＝π＋arctan(－2)或α＝2π＋arctan(－2)．(3)α＝kπ＋arctan(－2)(k∈Z)．【知识点拨】tanα＝a，若α∈－π2，π2，则α＝arctana；若α∈[0,2π]，则a0，α1＝arctana，α2＝π＋arctana，a0，α1＝π＋arctana，α2＝2π＋arctana.若tan2x＋π3＝33，则在区间[0,2π]上解的个数为()A．5B.4C．3D.2解析：∵tan2x＋π3＝33，∴2x＋π3＝kπ＋π6(k∈Z)，∴x＝kπ2－π12(k∈Z)．∵x∈[0,2π]，∴k＝1,2,3,4时，x分别为5π12，11π12，17π12，23π12，故选B.答案：B即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一已知函数值求角1．已知α是三角形的一个内角，且cosα＝12，则角α等于()A.π6B.π3C.5π6或π6D.2π3或π3答案：B2．满足tanx＝3的x的集合是()A.xx＝π3B.xx＝kπ＋π3，k∈ZC.xx＝2kπ＋π3，k∈ZD.xx＝kπ－π3，k∈Z答案：B3．若A是△ABC的一个内角，且sinA＋cosA＝15，则A＝()A．arcsin45B.arccos－15C.π2＋arcsin45D.π2＋arccos45解析：由sinA＋cosA＝15，得1＋2sinAcosA＝125，∴2sinAcosA＝－2425，∵A∈(0，π)，∴cosA，sinA0，∴sinA－cosA0，∴(sinA－cosA)2＝1＋2425＝4925，∴sinA－cosA＝75，∴sinA＝45，cosA＝－35，∴A为钝角，sinπ2＋arccos45＝cosarccos45＝45，故选D.答案：D知识点二角的表示4．下列命题中不正确的是()A．若cosx＝0，则x＝π2＋kπ，k∈ZB．若3tanx＝1，则x＝arctan13＋kπ，k∈ZC．若sinx＝－13，x在第三象限，则x＝π＋arcsin13＋2kπ，k∈ZD．若－1a0，则arcsina，arccosa均在区间－π2，0内解析：当－1a0时，arccosa∈π2，π，故D错．答案：D知识点三化简求值5．arctan33＋arcsin32＝________.解析：arctan33＋arcsin32＝π6＋π3＝π2.答案：π2