2019-2020学年高中数学 第1章 基本初等函数（Ⅱ） 1.1.1 角的概念的推广课件 新人教B

第一章基本初等函数(Ⅱ)1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广自主学习梳理知识课前基础梳理|目标索引|1．结合实际问题，了解角的概念的推广及其实际意义．2．掌握象限角的概念．3．掌握终边相同的角的表示方法.1．角的概念(1)角的概念①角可以看成是绕着它的从一个位置到另一个位置所成的图形．②角的表示：如图∠AOB中，表示顶点，表示始边，表示终边．一条射线端点旋转OOAOB(2)在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向：顺时针方向和逆时针方向，习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做；按照顺时针方向旋转而成的角叫做；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做，旋转生成的角，又常叫做转角．引入正角、负角的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α－β可以化为，这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和．正角负角零角α＋(－β)2．终边相同的角设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．3．象限角平面内任意一个角都可以通过移动，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合，这时角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限角．第一象限角：{α|k·360°αk·360°＋90°，k∈Z}；第二象限角：{α|k·360°＋90°αk·360°＋180°，k∈Z}；第三象限角：{α|k·360°＋180°αk·360°＋270°，k∈Z}；第四象限角：{α|k·360°－90°αk·360°，k∈Z}．1．下列所给角中是第一象限角的是()A．91°B.－30°C．183°D.25°答案：D2．与405°角终边相同的是()A．k·360°－45°，k∈ZB．k·360°－405°，k∈ZC．k·360°＋45°，k∈ZD．k·180°＋45°，k∈Z解析：405°＝360°＋45°，∴与405°角终边相同的角是k·360°＋45°，k∈Z.故选C.答案：C3．角α的终边落在y＝x(x≤0)上的角的集合为________．答案：{α|α＝k·360°＋225°，k∈Z}典例精析规律总结课堂互动探究角的概念类型1已知α是锐角，则2α是()A．第一象限角B.第二象限角C．小于180°的正角D.第一或第二象限角【解析】若α是锐角，则0°α90°，所以0°2α180°，故选C.【答案】C【知识点拨】注意区分以下各角的不同：①锐角α：0°＜α＜90°；②小于90°的角α：α＜90°；③第一象限的角α：{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}．下列叙述正确的是()A．三角形的内角必是第一或第二象限角B．始边相同而终边不同的角一定不相等C．第四象限角一定是负角D．钝角比第三象限角小解析：90°角是三角形的内角，它不是第一或第二象限角，故A错；300°角是第四象限角，但不是负角，C错；－100°角是第三象限角，它比钝角小，D错，故选B.答案：B终边相同的角类型2如图所示．(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．【解】(1)终边落在OA上的角的集合为{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}，终边落在OB上的角的集合为{α|α＝k·360°－30°，k∈Z}．(2)终边落在阴影部分包括边界的角的集合为{α|k·360°≤α≤k·360°＋135°，k∈Z}．【知识点拨】1.终边相同的角与相等的角是两个不同的概念，两角相等，终边一定相同；但两角终边相同时，两角相差360°的整数倍．2．终边相同的角的表示中β＝α＋k·360°，k∈Z，k为整数这一条件不可少．与30°角终边相同的角的集合是()A．{α|α＝k·180°＋30°，k∈Z}B．{α|α＝k·90°＋30°，k∈Z}C．{α|α＝2k·360°＋30°，k∈Z}D．{α|α＝k·360°＋30°，k∈Z}答案：D象限角类型3在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角．(1)－120°；(2)640°；(3)－2046°24′.【分析】与已知角α终边相同的角为α＋k·360°(k∈Z)，然后调节k的值，使α＋k·360°在0°到360°的范围内．【解】(1)∵－120°＝－360°＋240°，∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角．(2)∵640°＝360°＋280°，∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角是280°，它是第四象限的角．(3)∵－2046°24′＝－6×360°＋113°36′，∴在0°到360°范围内与－2046°24′终边相同的角是113°36′，它是第二象限的角．【知识点拨】判断角α所在象限的常用方法是利用终边相同的角的关系，寻求在[0°，360°)范围内与角α终边相同的角，从而确定角α所在的象限．已知α与240°角的终边相同，则α2是第________象限角．解析：由α＝k·360°＋240°(k∈Z)，可得，α2＝k·180°＋120°(k∈Z)．若k为偶数，α2是第二象限角，若k为奇数，α2是第四象限角，综上，α2是第二或第四象限角．答案：二或四即学即练稳操胜券基础知识达标知识点一角的概念1．下列说法正确的是()A．钝角是第二象限角B．第二象限角比第一象限角大C．大于90°的角是钝角D．－165°是第二象限角答案：A知识点二象限角2．已知α为第二象限角，那么α2是()A．第一象限角B.第二象限角C．第一或第二象限角D.第一或第三象限角解析：α为第二象限角，∴k·360°＋90°αk·360°＋180°，k∈Z，∴k·180°＋45°α2k·180°＋90°，∴α2是第一或第三象限角，故选D.答案：D3．－1060°的终边落在()A．第一象限B.第二象限C．第三象限D.第四象限解析：－1060°＝－3×360°＋20°，20°是第一象限角，故选A.答案：A知识点三角的范围的表示4．如图，终边在阴影部分(包括边界)的角α的集合是________．答案：{α|k·180°－45°≤α≤k·180°＋45°，k∈Z}知识点四终边相同的角综合应用5．在角的集合{α|α＝k·90°＋45°，k∈Z}中，(1)有几种终边不相同的角？(2)有几个属于区间(－360°，360°)内的角？(3)写出其中是第三象限的角的一般表示法．解：(1)在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种，如图所示，(2)由－360°k·90°＋45°360°，得－92k72，又k∈Z，∴k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，∴在给定的角的集合中属于区间(－360°，360°)内的角共有8个．(3)其中是第三象限的角可表示成k·360°＋225°，k∈Z.