2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.7.1 定积分在几何中的应用 1.7.2

第一章导数及其应用1.7定积分的简单应用1.7.1定积分在几何中的应用1.7.2定积分在物理中的应用学习目标核心素养1.会用定积分求平面图形的面积．(重点、易混点)2.会求变速直线运动的路程和变力做功．(重点、难点)通过利用定积分求解曲边梯形的面积、变速直线运动的路程和变力做功的学习，培养学生的数学建模及直观想象、数学运算的核心素养.自主预习探新知1．定积分与平面图形面积的关系(1)已知函数f(x)在[a，b]上是连续函数，由直线y＝0，x＝a，x＝b与曲线y＝f(x)围成的曲边梯形的面积为S，填表：f(x)的符号平面图形的面积与定积分的关系f(x)≥0S＝____________f(x)＜0S＝____________abf(x)dx－abf(x)dx(2)一般地，如图所示，如果在公共的积分区间[a，b]上有f(x)＞g(x)，那么直线x＝a，x＝b与曲线y＝f(x)，y＝g(x)围成的平面图形的面积为S＝__________________.即曲边梯形的面积等于曲边梯形上、下两个边界所表示函数的差的定积分．ab[f(x)－g(x)]dx2．变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v＝v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即s＝.abv(t)dt思考：变速直线运动的路程和位移相同吗？[提示]不同．路程是标量，位移是矢量，两者是不同的概念．3．变力做功如果物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x＝a移动到x＝b(ab)，那么变力F(x)所做的功为_______________.W＝abF(x)dx1．曲线y＝x3与直线y＝x所围成的图形的面积等于()A.-11(x－x3)dxB.-11(x3－x)dxC．201(x－x3)dxD．2-10(x－x3)dxC[由题意知，由y＝x3及y＝x所围成的图形如图所示．显然S＝201(x－x3)dx.]2．一物体沿直线以v＝3t＋2(t单位：s，v单位：m/s)的速度运动，则该物体在3～6s间的运动路程为()A．46mB．46.5mC．87mD．47mB[s＝36(3t＋2)dt＝32t2＋2t|63＝(54＋12)－272＋6＝46.5(m)．]3．一物体在力F(x)＝4x－1(单位：N)的作用下，沿着与力F(x)相同的方向，从x＝1处运动到x＝3处(单位：m)，则力F(x)所作的功为________J.14[由题意可知，力F(x)所作的功W＝13F(x)dx＝13(4x－1)dx＝(2x2－x)31＝14J．]合作探究提素养利用定积分求平面图形的面积问题[探究问题]观察图形，完成下列探究问题：1．图中阴影部分的面积能否用定积分08[2x－(x－4)]dx表示？为什么？[提示]不能．由定积分的几何意义可知，当x∈[0,8]时，被积函数y＝2x－(x－4)表示的图形如图所示：2．若以x为积分变量，如何用定积分表示图形中阴影部分的面积？[提示]S＝2022xdx＋28[2x－(x－4)]dx.3．能否以y为积分变量，用定积分表示图形中阴影部分的面积？[提示]能．可表示为S＝-24y＋4－y22dy.【例1】(1)已知函数y＝x2与y＝kx(k0)的图象所围成的阴影部分(如图所示)的面积为43，则k＝________.(2)求由曲线y＝x，y＝2－x，y＝－13x所围成的图形的面积．(1)2[由y＝x2，y＝kx，解得x＝0，y＝0，或x＝k，y＝k2，故阴影部分的面积为0k(kx－x2)dx＝12kx2－13x3|k0＝12k3－13k3＝16k3＝43，解得k＝2.](2)[解]画出图形，如图所示．解方程组y＝x，x＋y＝2，y＝x，y＝－13x及x＋y＝2，y＝－13x，得交点坐标分别为(1,1)，(0,0)，(3，－1)，所以S＝01x－－13xdx＋13(2－x)－－13xdx＝01x＋13xdx＋132－x＋13xdx＝23x32＋16x2|10＋2x－12x2＋16x2|31＝23＋16＋2x－13x2|31＝56＋6－13×9－2＋13＝136.1.(变条件)把本例(1)的条件变为“如图所示，已知点A0，14，点P(x0，y0)(x0＞0)在曲线y＝x2上，若阴影部分的面积与△OAP的面积相等”，则x0＝________.[解]由题意知12×x0×14＝0x0x2dx，即18x0＝13x30，解得x0＝64或x0＝－64或x0＝0.∵x0＞0，∴x0＝64.2．(变条件)把本例(1)的条件变为“曲线y＝x2在点P(2,4)处的切线与曲线及x轴所围成的图形面积为S”，求S.[解]∵y′|x＝2＝4，故曲线在P点处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即y＝4x－4，故所求面积S＝01x2dx＋12(x2－4x＋4)dx＝13x3|10＋13x3－2x2＋4x|21＝23.3．(变条件)把本例(2)的条件改为“求由曲线y2＝x，y＝2－x所围成的图形的面积．”[解]由y2＝xx＋y＝2，得x＝1y＝1或x＝4y＝－2.∴阴影部分的面积S＝-21(2－y－y2)dy＝2y－y22－y33|1－2＝2－12－13－－4－2＋83＝92.求曲边梯形面积的一般步骤如下：求变速直线运动的路程【例2】有一动点P沿x轴运动，在时间t时的速度为v(t)＝8t－2t2(速度的正方向与x轴正方向一致)．求：(1)P从原点出发，当t＝6时，求点P移动的路程和离开原点的位移；(2)P从原点出发，经过时间t后又返回原点时的t值．[解](1)由v(t)＝8t－2t2≥0得0≤t≤4，即当0≤t≤4时，P点向x轴正方向运动，当t＞4时，P点向x轴负方向运动．故t＝6时，点P移动的路程s1＝04(8t－2t2)dt－46(8t－2t2)dt＝4t2－23t3|40－4t2－23t3|64＝1283.当t＝6时，点P的位移为06(8t－2t2)dt＝4t2－23t3|60＝0.(2)依题意0t(8t－2t2)dt＝0，即4t2－23t3＝0，解得t＝0或t＝6，t＝0对应于P点刚开始从原点出发的情况，t＝6是从原点出发，又返回原点所用的时间．做变速直线运动的物体，从时刻t＝a到时刻t＝b(a＜b)所经过的路程s和位移s′情况如下：(1)若v(t)≥0，则s＝abv(t)dt；s′＝abv(t)dt.即s＝s′.(2)若v(t)≤0，则s＝－abv(t)dt；s′＝abv(t)dt.即s＝－s′.(3)若在区间[a，c]上，v(t)≥0，在区间[c，b]上v(t)＜0，则s＝acv(t)dt－cbv(t)dt，s′＝abv(t)dt.所以求路程时要事先求得速度的正负区间．1．有一辆汽车以每小时36km的速度沿平直的公路行驶，在B处需要减速停车．设汽车以2m/s2的加速度刹车，问：从开始刹车到停车，汽车行驶了多远？[解]设从开始刹车到停车，汽车经过了ts.v0＝36km/h＝10m/s，v(t)＝v0－at＝10－2t.令v(t)＝0，解得t＝5.所以从开始刹车到停车，汽车行驶的路程为s＝05(10－2t)dt＝(10t－t2)|50＝25(m)．故从开始刹车到停车，汽车行驶了25m.求变力做功【例3】设有一个长为25cm的弹簧，若加以100N的力，则弹簧伸长到30cm，求使弹簧由25cm伸长到40cm所做的功．[解]设x表示弹簧伸长的长度，f(x)表示加在弹簧上的力，则f(x)＝kx(其中常数k为比例系数)．因为当f(x)＝100时，x＝5，所以k＝20.所以f(x)＝20x.弹簧由25cm伸长到40cm时，弹簧伸长的长度x从0cm变化到15cm，故所做的功W＝∫15020xdx＝10x2|150＝2250(N·cm)＝22.5(J)．求变力做功的方法步骤(1)要明确变力的函数式F(x)，确定物体在力的方向上的位移．(2)利用变力做功的公式W＝abF(x)dx计算．(3)注意必须将力与位移的单位换算为牛顿与米，功的单位才为焦耳．2．一物体在力F(x)＝2，0≤x≤2，2x－2，x＞2，(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x＝0处运动到x＝4(单位：m)处，则力F(x)做的功为()A．10JB．12JC．14JD．16JB[W＝022dx＋24(2x－2)dx＝2x|20＋(x2－2x)|42＝4＋(16－8－4＋4)＝12(J)．]1．对于简单图形的面积求解，我们可直接运用定积分的几何意义，此时：(1)确定积分上、下限，一般为两交点的横坐标．(2)确定被积函数，一般是上曲线与下曲线对应函数的差．这样所求的面积问题就转化为运用微积分基本定理计算定积分了．注意区别定积分与利用定积分计算曲线所围图形的面积：定积分可正、可负或为零；而平面图形的面积总是非负的．2．已知变速运动方程，求在某段时间内物体运动的位移或者经过的路程，就是求速度方程的定积分．解这类问题需注意三点：(1)分清运动过程中的变化情况；(2)如果速度方程是分段函数，那么要用分段的定积分表示；(3)明确是求位移还是求路程，求位移可以正负抵消，求路程不能正负抵消．3．利用定积分求变力做功问题，关键是求出变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间．求变力做功时，要注意单位，F(x)单位：N，x单位：m.当堂达标固双基1．在下面所给图形的面积S及相应表达式中，正确的有()A．①③B．②③C．①④D．③④④③D[①错误，S＝ab[f(x)－g(x)]dx；②错误，S＝0422xdx＋48(22x－2x＋8)dx；③④正确．]2．曲线y＝cosx0≤x≤32π与坐标轴所围图形的面积是()A．2B．3C.52D．43．一列车沿直线轨道前进，刹车后列车速度v(t)＝27－0.9t，则列车刹车后前进多少米才能停车()A．405B．540C．810D．945A[停车时v(t)＝0，由27－0.9t＝0，得t＝30，∴s＝∫300v(t)dt＝∫300(27－0.9t)dt＝(27t－0.45t2)|300＝405.]4．设a＞0，若曲线y＝x与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.5．一物体在变力F(x)＝36x2(N)的作用下沿坐标平面内x轴的正方向由x＝8m处运动到x＝18m处，求力F(x)在这一过程中所做的功．[解]由题意得力F(x)在这一过程中所做的功为F(x)在[8,18]上的定积分，从而W＝818F(x)dx＝－36x－1|188＝(－36·18－1)－(－36·8－1)＝(－2)－－92＝52(J)．从而可得力F(x)在这一过程中所做的功为52J.