2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 课时作业8 函

课时作业8函数的极值与导数知识对点练知识点一函数极值的概念1.关于函数的极值，下列说法正确的是()A．导数为零的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．f(x)在定义域内最多只能有一个极大值一个极小值D．若f(x)在区间(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内不是单调函数答案D答案解析易知选项A，B，C均不正确．对于D，不妨设x0是f(x)在区间(a，b)内的极小值点，则在x0附近，当xx0时，f(x)f(x0)，当xx0时，f(x)f(x0)，故在x0附近函数f(x)不单调，即f(x)在区间(a，b)内不是单调函数，故选D.解析2．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，则函数y＝xf′(x)的图象可能是()答案C答案解析由题意可得f′(－2)＝0，而且当x∈(－∞，－2)时，f′(x)0，此时xf′(x)0，排除B、D；当x∈(－2，＋∞)时，f′(x)0，此时若x∈(－2,0)，xf′(x)0，若x∈(0，＋∞)，xf′(x)0，所以函数y＝xf′(x)的图象可能是C.解析知识点二求函数的极值3．设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝xf′(x)的图象的一部分如图所示，则()A．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)B．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)C．f(x)的极大值为f(－3)，极小值为f(3)D．f(x)的极大值为f(3)，极小值为f(－3)答案D答案解析由题图可知，当x∈(－∞，－3)时，xf′(x)＞0，即f′(x)＜0；当x∈(－3,0)时，xf′(x)＜0，即f′(x)＞0；当x∈(0,3)时，xf′(x)＞0，即f′(x)＞0；当x∈(3，＋∞)时，xf′(x)＜0，即f′(x)＜0.故函数f(x)在x＝－3处取得极小值，在x＝3处取得极大值．解析4．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、极小值分别为()A.427，0B．0，427C．－427，0D．0，－427答案A答案解析f′(x)＝3x2－2px－q，由f′(1)＝0，f(1)＝0，得3－2p－q＝0，1－p－q＝0，解得p＝2，q＝－1，∴f(x)＝x3－2x2＋x.由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0，得x＝13或x＝1，易得当x＝13时，f(x)取极大值427；当x＝1时，f(x)取极小值0.解析知识点三已知函数极值求参数5.设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．解(1)∵f(x)＝alnx＋bx2＋x，∴f′(x)＝ax＋2bx＋1.由题意可知f′(1)＝f′(2)＝0，∴a＋2b＋1＝0，a2＋4b＋1＝0，解方程组得a＝－23，b＝－16.答案(2)由(1)，知f(x)＝－23lnx－16x2＋x，f′(x)＝－23x－1－13x＋1.当x∈(0,1)时，f′(x)0，当x∈(1,2)时，f′(x)0，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)0.故在x＝1处函数f(x)取得极小值56.在x＝2处函数f(x)取得极大值43－23ln2.∴x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点．答案6．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，求f(2)的值．解f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由题意，得f1＝10，f′1＝0，即a2＋a＋b＋1＝10，2a＋b＋3＝0，解得a＝4，b＝－11或a＝－3，b＝3.答案当a＝4，b＝－11时，令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－113.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－∞，－113－113－113，11(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值答案显然函数f(x)在x＝1处取极小值，符合题意，此时f(2)＝18.当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，∴f(x)没有极值，不符合题意．综上可知f(2)＝18.答案课时综合练一、选择题1．已知函数y＝f(x)，x∈R有唯一的极值，且x＝1是f(x)的极小值点，则()A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≤0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≥0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≤0答案C答案解析由极小值点的定义，知极小值点左右两侧的导函数是左负右正，又函数f(x)，x∈R有唯一的极值，故当x∈(－∞，1)时，f′(x)≤0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)≥0.解析2．已知a为函数f(x)＝x3－12x的极小值点，则a＝()A．－4B．－2C．4D．2解析由题意得f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增，当x∈(－2,2)时，f′(x)0，函数f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)0，函数f(x)单调递增，所以a＝2.解析答案D答案3．函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则x21＋x22等于()A.23B.43C.83D.163答案C答案解析由图象可得f(x)＝0的根为0,1,2，故d＝0，f(x)＝x(x2＋bx＋c)，则1,2为x2＋bx＋c＝0的根，由根与系数的关系得b＝－3，c＝2，故f(x)＝x3－3x2＋2x，则f′(x)＝3x2－6x＋2，由图可得x1，x2为3x2－6x＋2＝0的根，则x1＋x2＝2，x1x2＝23，故x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝83.解析4．对任意的x∈R，函数f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在极值点的充要条件是()A．a＝0或a＝21B．0≤a≤21C．a0或a21D．0a21解析f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，因为f(x)在R上不存在极值，则Δ＝4a2－84a≤0，解得0≤a≤21.解析答案B答案5．函数y＝x3－2ax＋a在(0,1)内有极小值，则实数a的取值范围是()A．(0,3)B．(－∞，3)C．(0，＋∞)D.0，32答案D答案解析y′＝3x2－2a，因为函数在(0,1)内有极小值，所以y′＝3x2－2a＝0在(0,1)内必有实数解，记f(x)＝3x2－2a，如图，所以f0＝－2a＜0，f1＝3－2a＞0，解得0＜a＜32，故选D.解析二、填空题6．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋6，其导数f′(x)的图象如图所示，则函数的极小值是________．答案6答案解析依题意f′(x)＝3ax2＋2bx.由题图象可知，当x0时，f′(x)0，当0x2时，f′(x)0，故x＝0时函数f(x)取极小值f(0)＝6.解析7．已知函数f(x)＝13x3－12x2＋cx＋d有极值，则c的取值范围为________．解析∵f′(x)＝x2－x＋c且f(x)有极值，∴f′(x)＝0有不等的实数根，即Δ＝1－4c0，解得c14.解析答案c14答案8．已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是________．解析由题知，x0，f′(x)＝lnx＋1－2ax，由于函数f(x)有两个极值点，则f′(x)＝0有两个不等的正根，即函数y＝lnx＋1与y＝2ax的图象有两个不同的交点(x0)，则a0；设函数y＝lnx＋1上任一点(x0，1＋lnx0)处的切线为l，则kl＝y′＝1x0，当l过坐标原点时，1x0＝1＋lnx0x0⇒x0＝1，令2a＝1⇒a＝12，结合图象(略)知0a12.解析答案0，12答案三、解答题9．已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1处的极大值为4，极小值为0，试确定a，b，c的值．解f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．由题意，f′(x)＝0应有根x＝±1，故5a＝3b，于是f′(x)＝5ax2(x2－1)．答案(1)当a0，x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：由表可知：4＝f－1＝－a＋b＋c，0＝f1＝a－b＋c，又5a＝3b，解之得：a＝3，b＝5，c＝2.(2)当a0时，同理可得a＝－3，b＝－5，c＝2.答案10．已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．解因为f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1.所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x1＝－1，x2＝1.答案当x－1时，f′(x)0；当－1x1时，f′(x)0；当x1时，f′(x)0.所以由f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.作出f(x)的大致图象如图所示．答案因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合f(x)的图象可知，m的取值范围是(－3,1)．答案本课结束