2019-2020学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.2.1 常数函数与幂函数的导数 1.2.2

第一章导数及其应用1.2导数的运算1.2.1常数函数与幂函数的导数1.2.2导数公式表及数学软件的应用学习目标核心素养1．能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x，y＝x的导数．(难点)2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．(重点、易混点)通过学习常用函数的导数及基本初等函数的导数公式，提升学生的数学运算素养.自主预习探新知一、几个常用函数的导数原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝__f(x)＝xf′(x)＝__f(x)＝x2f′(x)＝___f(x)＝1xf′(x)＝______f(x)＝xf′(x)＝12x012x－1x2二、基本初等函数的导数公式原函数导函数y＝cy′＝___y＝xn(n∈N＋)y′＝_______，n为正整数y＝xμ(x＞0，μ≠0且μ∈Q)y′＝______，μ为有理数y＝ax(a＞0，a≠1)y′＝_________y＝exy′＝___0nxn－1μxμ－1axlnaexy＝logax(a＞0，a≠1，x＞0)y′＝_______y＝lnxy′＝___y＝sinxy′＝_______y＝cosxy′＝________1xlna1xcosx－sinx1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若y＝x3＋2，则y′＝3x2＋2.()(2)若y＝1x，则y′＝1x2.()(3)若y＝e，则y′＝0.()[解析](1)由y＝x3＋2，∴y′＝3x2.(2)由y＝1x，∴y′＝－1x2.(3)由y＝e，∴y′＝0.[答案](1)×(2)×(3)√2．给出下列命题：①y＝ln2，则y′＝12；②y＝1x2，则y′＝－2x3；③y＝2x，则y′＝2xln2；④y＝log2x，则y′＝1xln2.其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．4[解析]对于①，y′＝0，故①错；显然②③④正确，故选C.[答案]C3．若函数f(x)＝10x，则f′(1)等于()A.110B．10C．10ln10D.110ln10[解析]∵f′(x)＝10xln10，∴f′(1)＝10ln10.[答案]C合作探究提素养利用导数公式求函数的导数【例1】求下列函数的导数：(1)y＝x12；(2)y＝1x4；(3)y＝5x3；(4)y＝3x；(5)y＝log5x.[思路探究]首先观察函数解析式是否符合求导形式，若不符合可先将函数解析式化为基本初等函数的求导形式．[解](1)y′＝(x12)′＝12x11．(2)y′＝1x4′＝(x－4)′＝－4x－5＝－4x5.(3)y′＝(5x3)′＝(x35)′＝35x－25.(4)y′＝(3x)′＝3xln3.(5)y′＝(log5x)′＝1xln5.1．若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求解．2．对于不能直接利用公式的类型，一般遵循“先化简，再求导”的基本原则，避免不必要的运算失误．3．要特别注意“1x与lnx”，“ax与logax”，“sinx与cosx”的导数区别．1．若f(x)＝x3，g(x)＝log3x,则f′(x)－g′(x)＝__________.[解析]∵f′(x)＝3x2，g′(x)＝1xln3，∴f′(x)－g′(x)＝3x2－1xln3.[答案]3x2－1xln3利用公式求函数在某点处的导数【例2】质点的运动方程是s＝sint，(1)求质点在t＝π3时的速度；(2)求质点运动的加速度．[思路探究](1)先求s′(t)，再求s′π3.(2)加速度是速度v(t)对t的导数，故先求v(t)，再求导．[解](1)v(t)＝s′(t)＝cost，∴vπ3＝cosπ3＝12.即质点在t＝π3时的速度为12.(2)∵v(t)＝cost，∴加速度a(t)＝v′(t)＝(cost)′＝－sint.1．速度是路程对时间的导数，加速度是速度对时间的导数．2．求函数在某定点(点在函数曲线上)的导数的方法步骤是：(1)先求函数的导函数；(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值．2．(1)求函数f(x)＝13x在(1,1)处的导数；(2)求函数f(x)＝cosx在π4，22处的导数．[解](1)∵f′(x)＝13x′＝(x－13)′＝－13x－43＝－133x4，∴f′(1)＝－1331＝－13.(2)∵f′(x)＝－sinx，∴f′π4＝－sinπ4＝－22.导数公式的应用[探究问题]1．f(x)＝x，f(x)＝x2，f(x)＝x均可表示为y＝xα(α∈Q＋)的形式，其导数有何规律？提示：∵(x)′＝1·x1－1，(x2)′＝2·x2－1，(x)′＝x12′＝12x12－1，∴(xα)′＝α·xα－1．2．点P是曲线y＝ex上的任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．提示：如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近，则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为22.【例3】求过曲线f(x)＝cosx上一点Pπ3，12且与曲线在这点的切线垂直的直线方程．[思路探究]求导数f′x0→计算f′π3→所求直线斜率k＝－1f′π3→利用点斜式写出直线方程[解]因为f(x)＝cosx，所以f′(x)＝－sinx，则曲线f(x)＝cosx在点Pπ3，12的切线斜率为f′π3＝－sinπ3＝－32，所以所求直线的斜率为233，所求直线方程为y－12＝233x－π3，即y＝233x－239π＋12.若将上例中点P的坐标改为(π，－1)，求相应的直线方程．[解]∵f(x)＝cosx，∴f′(x)＝－sinx，则曲线f(x)＝cosx在点P(π，－1)处的切线斜率为f′(π)＝－sinπ＝0，所以所求直线的斜率不存在，所以所求直线方程为x＝π.求曲线方程或切线方程时，应注意1．切点是曲线与切线的公共点，切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程；2．曲线在切点处的导数就是切线的斜率；3．必须明确已知点是不是切点，如果不是，应先设出切点．当堂达标固双基1．已知f(x)＝xα(α∈Q＋)，若f′(1)＝14，则α等于()A.13B.12C.18D.14[解析]∵f(x)＝xα，∴f′(x)＝αxα－1，∴f′(1)＝α＝14.[答案]D2．给出下列结论：①若y＝1x3，则y′＝－3x4；②若y＝3x，则y′＝133x；③若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．0[解析]对于①，y′＝(x－3)′＝－3x4，正确；对于②，y′＝13x13－1＝13x－23，不正确；对于③，f′(x)＝3，故f′(1)＝3，正确．[答案]B3．已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.[解析]∵f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1．又f(1)＝a＋2，∴切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)．∵切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝3a＋1，解得a＝1．[答案]14．已知函数y＝kx是曲线y＝lnx的一条切线，则k＝__________.[解析]设切点为(x0，y0)，∵y′＝1x，∴k＝1x0，∴y＝1x0·x，又点(x0，y0)在曲线y＝lnx上，∴y0＝lnx0，∴lnx0＝x0x0，∴x0＝e，∴k＝1e.[答案]1e5．已知直线y＝kx是曲线y＝3x的切线，则k的值为________.[解析]设切点为(x0，y0)．因为y′＝3xln3，①所以k＝3x0ln3，所以y＝3x0ln3·x，又因为(x0，y0)在曲线y＝3x上，所以3x0ln3·x0＝3x0，②所以x0＝1ln3＝log3e.所以k＝eln3.[答案]eln3