2019-2020学年高中数学 第1讲 坐标系 第1课时 平面直角坐标系课件 新人教A版选修4-4

第1课时平面直角坐标系1．平面直角坐标系在平面内，两条互相垂直的数轴构成了____________________，一条称为______，一条称为______，交点O称为__________，如图．平面直角坐标系x轴y轴坐标原点在平面直角坐标系中，有序实数对构成的集合与坐标平面内的点的集合具有一一对应的关系．有序实数对(x，y)与点P相对应，________称作点P的坐标，记作P(x，y)，其中x叫做点P的________，y叫做点P的________．(x，y)横坐标纵坐标2．坐标法坐标法是在坐标系的基础上，把几何问题转化为__________，通过代数运算研究几何图形性质的方法，是解析几何中最基本的研究方法．代数问题1．点P(2,3)关于y轴的对称点是()A．(2,3)B．(－2,3)C．(2，－3)D．(－2，－3)【答案】B【解析】关于y轴对称的点的纵坐标没有发生变化，横坐标为原来的相反数，故为(－2,3)．2.平面内三点A(2,2)，B(1,3)，C(7，x)满足BA→⊥AC→，则x的值为()A．3B．6C．7D．9【答案】C【解析】BA→＝(1，－1)，AC→＝(5，x－2)，BA→⊥AC→⇒BA→·AC→＝0⇒5－(x－2)＝0⇒x＝7．3.在直角坐标系中，点A(2，－3)关于直线x－y－1＝0对称的点是__________．【答案】(－2,1)【解析】设点A关于直线x－y－1＝0对称的点为B(x，y)，则线段AB的中点为Mx＋22，y－32，点M在直线x－y－1＝0上且直线AB与直线x－y－1＝0垂直，得y＋3x－2·1＝－1，x＋22－y－32－1＝0⇒x＝－2，y＝1.4．△ABC中，若BC的长度为4，中线AD的长度为3，则点A的轨迹方程是什么？【解析】以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴，点D为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图，则B(－2,0)，C(2,0)，D(0,0)．设点A(x，y)，则点A的轨迹是以点D为圆心，3为半径的圆，轨迹方程为x2＋y2＝9.又A，B，C三点构成三角形，故不能共线，所以轨迹方程为x2＋y2＝9(y≠0)．【例1】某河上有抛物线形拱桥，当水面距拱顶5m的时候，水面宽8m，一木船宽4m，高2m，问水面涨到与抛物线拱顶相距多少米时，木船开始不能通航？【解题探究】可考虑建立平面直角坐标系，求出所需抛物线的方程解决问题．关键是要选择合理的建系方式，使问题简单化．建立平面直角坐标系解决实际问题【解析】以水平面与拱桥的截面的交线为x轴，拱顶到水平面的垂线为y轴，该交线的中点为原点建立平面直角坐标系，如图，则A(－4,0)，B(4，0)，C(0,5)．设抛物线方程为y＝ax2＋c，把点A，C坐标代入得16a＋c＝0且c＝5，∴a＝－516．∴y＝－516x2＋5．当船沿拱桥的中心方向通过时，设D的横坐标为－2，代入得y＝－516·4＋5＝154，即拱到水平面的高为154m．又船高2m，故水面上涨的余地为154－2＝74，则水平面涨到与拱顶相距5－74＝134m时，船开始不能通航．本题利用坐标解决实际问题．也可以按照抛物线的标准位置，以点C为坐标原点建立平面直角坐标系，设方程为x2＝－2py(p＞0)，解决问题．1．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程．【解析】如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和点B，根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|．因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝2．这表明动点M与两定点C2，C1的距离的差是常数2.根据双曲线的定义，动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离较大，与C1的距离较小)，这里a＝1，c＝3，则b2＝8，设点M的坐标为(x，y)，其轨迹方程为x2－y28＝1(x＜0)．【例2】已知实数x，y满足方程2x＋y＝8，当2≤x≤3时，求yx的最大值和最小值．建立直角坐标系解决代数问题【解题探究】可利用yx的特殊形式，将其转化为动点和坐标原点连线的斜率的范围，作出图形，从而求出其最值．【解析】将yx变形为yx＝y－0x－0，设点P(x，y)，即通过原点的直线OP的斜率．由x，y满足方程2x＋y＝8(2≤x≤3)，如图，可知点P在线段AB上移动且A，B两点的坐标分别为A(2,4)，B(3,2)．又kOA＝4－02－0＝2，kOB＝2－03－0＝23，所以yx的最大值为2，最小值为23．本题是利用坐标解决代数问题，数形结合，既直观又简洁．2．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求x2＋y2的最大值和最小值．【解析】如图所示，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点C(2,0)为圆心，以3为半径的圆，圆与x轴交于B，C′两点，x2＋y2是圆上的点与原点的距离的平方．由OB＝2－3，OC′＝2＋3，则(x2＋y2)max＝|OC′|2＝7＋43，(x2＋y2)min＝|OB|2＝7－43．【例3】已知正三角形ABC的边长为a，在平面上求一点P，使PA2＋PB2＋PC2最小，并求出此最小值．【解题探究】利用几何图形不易找出点P的位置，可考虑利用坐标及两点间距离公式，求出线段的距离，将其转化为代数形式的求最值问题．建立直角坐标系解决平面几何问题【解析】以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，如下图，则A0，32a，B－a2，0，Ca2，0，设P点坐标为(x，y)，则PA2＋PB2＋PC2＝x2＋y－32a2＋x＋a22＋y2＋x－a22＋y2＝3x2＋3y2－3ay＋54a2＝3x2＋3y－36a2＋a2≥a2，当且仅当x＝0，y＝36a时，等号成立．∴所求最小值为a2，此时P点坐标为P0，36a，恰好是△ABC的中心．本题是关于平面几何的最值问题，用平面几何的方法不易解决，用坐标法转化为代数问题较为简单．3．在△ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，求证：△ABC为等腰三角形．【解析】作AO⊥BC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，以OA所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示．设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)．因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，所以b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)·(c－d)，即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)．又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即－b＝c，所以△ABC为等腰三角形．1．坐标法证明问题的基本步骤(1)根据题设条件，建立适当的坐标系；(2)根据题中所给的条件，写出已知点的坐标，设出未知点的坐标；(3)根据题设条件以及几何性质，列出未知点所满足的关系式；(4)通过计算来解决问题．2．建立坐标系的原则(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；(2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；(3)使图形上的特殊点尽可能多地落在坐标轴上．3．解决应用题的关键建系—设点(点与坐标的对应)—列式(方程与坐标的对应)—化简—说明．