2019年湖南省普通高中学业水平考试数学试题(解析版)

第1页共12页2019年湖南省普通高中学业水平考试数学试题一、单选题1．已知集合{0,1,2}M，{}Nx，若{0,1,2,3}MN，则x的值为()A．3B．2C．1D．0【答案】A【解析】根据并集的概念求解．【详解】∵{0,1,2}M，{}Nx，{0,1,2,3}MN，∴3x．故选：A．【点睛】本题考查并集的概念，属于简单题．2．设1,(1)()2,(1)xfxxx，则(1)f的值为()A．0B．1C．2D．-1【答案】A【解析】选取解析式1()fxx代入可得结论．【详解】由题意1(1)11f．故选：B．【点睛】本题考查分段函数，分段函数求值关键是要判断自变量的范围，根据不同范围选取不同的表达式计算．3．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体是()A．圆柱B．三棱柱第2页共12页C．球D．四棱柱【答案】A【解析】由三视图可直接得出答案.【详解】由三视图可知该几何体是圆柱故选：A【点睛】本题考查的是三视图，较简单.4．函数2cos()yxxR的最小值是（）A．2B．1C．1D．2【答案】A【解析】根据余弦函数的性质，得到1cos1x，即可求得函数的最小值，得到答案.【详解】由题意，根据余弦函数的性质，可得1cos1x，当cos1x时，函数2cosyx取得最小值，最小值为2.故选：A.【点睛】本题主要考查了余弦函数的性质的应用，其中解答中熟记余弦函数的值域是解答的关键，着重考查了计算能力.5．已知(1,2)a，(,4)bx，且//ab，则实数x的值为（）A．2B．2C．8D．8【答案】B【解析】直接利用向量的平行的坐标运算，求出x的值即可.【详解】解：已知(1,2)a，(,4)bx，且//ab，则24x，所以2x.故选：B.【点睛】本题考查平面向量共线的坐标运算，考查计算能力.6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,400，800，为了了解教师的教第3页共12页学情况，该校采用分层抽样的方法，从这三个年级中抽取45名学生实行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为()A．15,5,25B．15,15,15C．10,5,30D．15,10,20【答案】D【解析】算出高一、高二、高三年级的学生人数的所占比例即可.【详解】因为高一、高二、高三年级的学生人数分别为600,400，800，所以高一、高二、高三年级的学生人数的所占比例分别为13，29，49所以从这三个年级中抽取45名学生实行座谈，则高一、高二、高三年级抽取的人数分别为15,10,20故选：D【点睛】本题考查的是分层抽样，较简单.7．某袋中有9个除颜色外其他都相同的球,其中有5个红球,4个白球,现从中任意取出1个,则取出的球恰好是白球的概率为()A．15B．14C．49D．59【答案】C【解析】样本点总数为9，取出的球恰好是白球含4个样本点，计算得到答案.【详解】从9个球中任意取出1个,样本点总数为9,取出的球恰好是白球含4个样本点,故所求概率为49,故选：C.【点睛】本题考查了古典概率的计算，属于简单题.8．已知点(,)xy在如图所示的平面区域（阴影部分）内运动，则zxy的最大值是()第4页共12页A．1B．2C．3D．5【答案】D【解析】由zxy可得yxz，表示的是斜率为1的直线，然后结合图形可得答案.【详解】由zxy可得yxz，表示的是斜率为1的直线，由图可得当直线yxz过点3,2时z最大，最大值为5故选：D【点睛】本题考查的是线性规划，考查了数形结合的思想，属于基础题.9．已知两点，则以线段为直径的圆的方程是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意，两点的中点为，其到点的距离为，故圆的方程为.点睛：本题主要考查中点坐标公式，考查圆的标准方程.圆的一般方程为，标准方程为，这两个方程都有三个系数要第5页共12页待定，故要有个条件才可以求出圆的方程.本题中第一个条件是利用两点求中点的坐标，得到圆心，再用两点间的距离公式得到半径，从而得到圆的方程.10．如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为（）A．3kmB．2kmC．1.5kmD．2km【答案】A【解析】在ABC中，由余弦定理可得222222cos1+121ABACBCACBCACB1132，所以3kmAB．故选A．【解题必备】当AB的长度不可直接测量时，求A，B之间的距离有以下三种类型．（1）如图1，A，B之间不可达也不可视，计算方法：测量AC，BC及角C，由余弦定理可得AB222cosACBCACBCC．（2）如图2，B，C与点A可视但不可达，计算方法：测量BC，角B，角C，则ABC，由正弦定理可得sinsinBCCABA．（3）如图3，C，D与点A，B均可视不可达，计算方法：测量,,,,.CDBDCACDBCDADC在ACD中由正弦定理求AC，在BCD中由正弦定理求BC，在ABC中由余弦定理求AB．第6页共12页图1图2图3二、填空题11．计算：22log1log4=【答案】2【解析】试题分析：22222log1log4log1log2022【考点】对数运算12．已知1，x，9成等比数列，则实数x=．【答案】±3【解析】解：∵1，x，9成等比数列，∴x2=9，解得x=±3．故答案为：±3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．13．经过点A（0，3），且与直线y=﹣x+2垂直的直线方程是．【答案】y=x+3【解析】试题分析：设与直线y=﹣x+2垂直的直线方程为y=x+m，把点A（0，3）代入解出m即可．解：设与直线y=﹣x+2垂直的直线方程为y=x+m，把点A（0，3）代入可得：3=0+m，解得m=3．∴要求的直线方程为：y=x+3．故答案为y=x+3．【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．14．某程序框图如图所示，若输入的x的值为2，则输出的y值为_________.第7页共12页【答案】2【解析】若输入的x的值为2，满足0x，则2y.【详解】若输入的x的值为2，满足0x，则2y，故输出的y值为2故答案为：2【点睛】本题考查的是程序框图，较简单.15．已知向量a与b的夹角为4，若2a||=，且4ab，则||b_______.【答案】4【解析】根据向量的数量积的运算公式，列出方程，即求解.【详解】由题意，向量a与b的夹角为4，若2a||=，则2cos2442ababb，解得4b.故答案为：4.【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算及应用，其中解答中熟记向量的数量积的运算公式，准确运算是解答的关键，着重考查了计算能力.三、解答题第8页共12页16．已知1cos,(0,)22.（1）求tan的值；（2）求sin()6的值.【答案】（1）3（2）1【解析】（1）根据同角三角函数基本关系求解即可；（2）根据两角和的正弦公式计算求解.【详解】（1）1cos,(0,)22Q，213sin1cos142，sintan3cos，注：也可直接由1cos,(0,)22得3，直接计算tan3.（2）3311sin()sincoscossin16662222.也可sin()sin()sin16362.【点睛】本题主要考查了三角函数的同角基本关系，两角和正弦公式，特殊角的三角函数值，属于容易题.17．某公司为了了解本公司职员的早餐费用情况，抽样调査了100位职员的早餐日平均费用（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图，图中标注a的数字模糊不清.（1）试根据频率分布直方图求a的值，并估计该公司职员早餐日平均费用的众数；（2）已知该公司有1000名职员，试估计该公司有多少职员早餐日平均费用多于8元？【答案】（1）0.15a；5；（2）200.【解析】（1）由题意结合频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1即可求得第9页共12页0.15a；利用众数的概念即可求得众数；（2）由频率分布直方图计算出职员早餐日平均费用不少于8元的频率，用样本频率乘以总人数即可得解.【详解】（1）因为频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，所以0.050.100.100.050.0521a，解得0.15a；该公司职员早餐日平均费用的众数为4652；（2）由频率分布直方图可知，职员早餐日平均费用不少于8元的频率为0.050.0520.2，又因为该公司有1000名职员，所以该公司职员早餐日平均费用不少于8元的有10000.2200（人）.【点睛】本题考查了频率分布直方图的性质与应用，考查了运算求解能力和数据处理能力，属于基础题.18．如图，在三棱锥ABCD中，AB平面BCD，BCBD，3BC，4BD，直线AD与平面BCD所成的角为45，点,EF分别是,ACAD的中点.（1）求证：//EF平面BCD；（2）求三棱锥ABCD的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）8.【解析】（1）由题意结合平面几何的知识可得//EFCD，由线面平行的判定即可得证；（2）由AB平面BCD可得ADB即为直线AD与平面BCD所成的角，进而可得AB，利用三棱锥的体积公式即可得解.【详解】（1）证明：点,EF分别是,ACAD的中点，第10页共12页//EFCD，又CD平面BCD，EF平面BCD，//EF平面BCD；（2）AB平面BCD，ADB即为直线AD与平面BCD所成的角，ABBD，45ADB，4ABBD，BCBD，1134622BCDSBCBD△，三棱锥ABCD的体积1164833BCDVSAB△.【点睛】本题考查了线面平行的判定及线面角、线面垂直的相关问题，考查了棱锥体积的求解，属于基础题.19．已知数列na满足：313a，141,nnaannN.（1）求1a，2a及通项na；（2）设nS是数列na的前n项和，则数列1S，2S，3S，…中哪一项最小？并求出这个最小值.【答案】（1）121a，217a，425nan；（2）6S最小，为66【解析】（1）直接计算得到12,aa，判断数列为等差数列，计算得到答案.（2）610a，730a，故6S最小，根据公式计算得到答案.【详解】（1）14nnaa，当3n时，324aa，217a，214aa，121a.14nnaa，故数列为首项是21，公差为4的等差数列，故425nan.（2）425nan，故610a，730a，故6S最小，6656214662S.【点睛】本题考查了等差数列通项公式，和的最值，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.20．已知函数()22xxfx()R.（1）当1时，求函数()fx的零点；（2）若函数()fx为偶函数，求实数的值；第11页共12页（3）若不等式1()42fx在[0,1]x上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）0；（2）1；（3）1,32.【解析】（1）由题意结合函数零点的概念，解方程即可得解；（2）由题意结合偶函数的性质可得(1)(22)0xx，即可得解；（3）由题意将条件转化为221222422xxxx在[0,1]x上恒成立，结合换元法与二次函数的性质分别求出21222xx的最大值，2242xx的最小值即可得解.【详解】（1）当1时，()22xxfx，令()220xxfx即22xx，由指数函数的性质可得xx，解得0x