可压缩气体的一元流动

第六章可压缩气体的一元流动重点可压缩气体的基本知识声速、马赫数一元定常气流的基本方程及特征气体在变截面喷管中的流动。空气动力学引言研究对象可压缩气体运动规律及其工程应用应用范围航空航天、汽车等，成为流体力学独立分支气体一元流动1.过流断面上的平均值变化规律（非空间场）2.气动力学的基本内容，许多问题可以简化为此类问题，发动机供气，汽轮机等。流体力学涉及液体和气体的运动行为0,const,VE例外:水击(水锤)问题，水下爆炸问题，必须考虑水的压缩性。对于气体在V70m/s(M0.3)仍可忽略其压缩性当气体运动速度与声速相当时(同一量级)，必然会引起压力、密度和温度的变化，必须考虑气体的压缩性。对于液体大部分可视为不可压流动即状态量p,u,ρ,T(速度大,摩擦大)比定容热容和比定压热容VpccVcpc定容比热容定压比热容两者的关系气体的状态方程),(TVpp),(TVEE),(TVSS热力学温度流体的内能熵SET热力学过程等温过程绝热过程等熵过程2112VVpp0dQkp常数或者kpv常数《工程热力学（4）》沈维道，P.1126.1声速和马赫数当气流速度比较大时，必须考虑压缩性效应。气体压缩性对流动性能的影响，是用气流速度接近声速的程度来决定的，这就涉及到声速和马赫数两个概念。6.1.1声速声速是微弱扰动波在弹性介质中的传播速度在移动前气体的质量为而移动后气体的质量为根据质量守恒可得消去，得(6.1.1)tAcdtAucd)d)(d(tAuctAcdd)d(d）（tAddddcu动量变化和所受到的合外力冲量消去得(6.1.2))0d(dddutActpAtAdρcpuddcpcddd(+d)ppApAdddcu)d1(ddpcddpc声速公式(弱扰动)：声速是反映流体压缩性大小的物理参数，声速c越小，流体的可压缩性越大。cpcddd等熵过程条件完全气体的状态方程式kpcRTpk为绝热指数1ddkpkc1ddkppkck《工程热力学（4）》沈维道，P.112R为气体常数(6.1.9)(6.1.10)kRTkppcddsmTTc1.202874.11.4k空气KkgJR1.287在式（6.1.9）的推导过程中，并未对介质提出特殊要求，故该式既适用于气体，也适用于液体，乃至适用于一切弹性连续介质。ddppkpRTddpc6.1.2马赫数定义流场中某一点的速度与该点的当地声速之比为马赫数(6.1.11)cuMa22uMakRT对于完全气体根据扰动源速度u的大小分为四种情况Ma＜1Ma=1Ma＞1小于声速等于声速大于声速Ma=0扰动源不动（1）扰动源不动。此时弱扰动沿各个方向以声速传播，其波面为同心圆球面。（2）扰动源的速度小于声速，uc，即Ma1。此时小扰动沿向各向转播，但速度不一。扰动源赶不上波面，即波面总是在扰动源前面。（3）扰动源速度等于声速，u=c，即Ma=1。此时扰动源和扰动波同时达到某一位置，扰动波面亦在同一点相切。（4）扰动源速度大于声速，uc,即Ma1。此时扰动源始终在波面前方，这时扰动与未扰动气体的分界面是一个圆锥面（亦称马赫锥），夹角称为马赫角。马赫锥的半顶角，即圆锥的母线与气流速度方向之间的夹角，称为马赫角，用表示。由上图可以容易地看出，马赫角与马赫数之间的关系为MaMaVc1sin马赫角从90°[这时相当于扰动源以声速v=c流动的情况]开始，随着马赫数的增大而逐渐减小。由于圆锥顶就是扰动源，所以当物体以超声速运动时，它所引起的扰动不能传到物体的前面。马赫锥外面的气体不受扰动的影响，微弱扰动波的影响仅在马赫锥内部，即微弱扰动波不能向马赫锥外传播。超声速飞行的弹丸在附着于它头部的波未到达观察者的耳朵以前听不到声音的缘故。MaVc1sin马赫数划分气体的流动状态Ma＜1Ma=1Ma＞1亚声速流声速流超声速流可压缩气体流动分类例：一飞机在A点上空H=2000m，以速度v=1836km/h（510m/s）飞行，空气温度t=15℃（288K），A点要过多长时间听到飞机声？解：340/ckRTms5101.5340vMc8.411arcsinMHctgvtlsctgctgvHt38.48.415102000αvlαHA6.2可压缩气体一元流动的基本方程式气体流动时，若过流断面上各参数均匀分布，其状态参数只是流程的函数，这种流动称为一元流动。气体沿管道、喷管或节流器的流动等都可近似认为是一元流动。下面来讨论一元定常流动的基本方程式。6.2.1可压缩气体总流的连续性方程式图6.2.1可压缩性气体在流管内的定常流动(6.2.2)222111AuAucuACAuuAlnlnln)ln(0dddAAuu1.连续性方程积分形式2.连续性方程微分形式6.2.2可压缩性气体的能量方程式由于气体的密度很小，所以质量力可以忽略不计。对于理想气体作定常流动，欧拉运动微分方程可写成沿流线的积分方程为xpxuuddddcup2d2zvvyvvxvvtvzpfzvvyvvxvvtvypfzvvyvvxvvtvxpfzzzyzxzzyzyyyxyyxzxyxxxx111完全气体的等熵流动(6.2.4)cpk11dd1kkpkpcppkcupkk212cup2d2cupkk212ppkpkk111cpupk2112定压比热：定容比热：于是有：Rkk1CpRk11CvvpCCRpvCkC《工程热力学（4）》沈维道，P.112e在热力学中称为内能，h在热力学中称为焓(6.2.7)111()111pvvpvpRTCCTCTekkCChTCpkkpep122uhconst22PuCTconst这就是等熵流动的能量方程Rkk1CpRk11Cv例题例6.2.1设有空气从储气罐经一个变截面管道流出，如图6.2.2所示。今测得罐内空气的温度为40oC，又测得管道某处的温度为15oC，求该处的气流速度u。（空气的等压比热Cp＝1003N•m/kg•K）解：这类问题称为气体从大容器的出流问题。假定大容器的气流速度为零。气体的出流可视为绝热过程，空气的等压比热，容器内温度为，速度为零，由能量方程得Km/kgN1003pC0T2C20uTCTpp)(2u0TTCp)15273()40273(10032m/s94.22315oC6.3一元气流的基本特性利用伯努利方程来讨论一元等熵流动特定的状态参数。6.3.1滞止状态和滞止参数图6.3.1气体的滞止状态对滞止状态截面和任一截面列能量方程有：这时焓升到最大值，即总焓，温度达最大值，总温(6.3.1)(6.3.2)202uhhconst0001pkhRTCTk21120uRTkkRTkk220T111T22pukuCTkRT22211)(211Makcuk202pPuCTCT又两边同除以CPT得：(6.3.4)(6.3.5)kkkkkTTppRTpRTppp)()()()()(00000012100)211()(kkkkMakTTpp1121100)211()(kkMakTT20112TkMaT6.3.2最大速度状态全部能量转化为动能，焓为零，速度达最大速度(6.3.6)022max1212RTkkuRTkku1212120000maxkckkRTpkku00max514.12ccu6.3.3临界状态和临界参数设想气体从滞止状态开始，经过一管道逐渐加速流动，最后达到。这中间必然有一流速恰好等于当地声速的截面，即，这种状态就称为临界状态，对应的气流参数叫临界参数，临界参数用下标“*”表示。00umaxuuc以临界参数表示的能量方程220*122(1)ppukCTCTCk20111TkMaTk2101(1)1kkpkMapk12101(1)1kkMakkkkkkTTppRTpRTppp)()()()()(000000*021cck21*0kTT1*0)21(kkkpp11*0)21(kkmax021uck20111TkMaTk2101(1)1kkpkMapk12101(1)1kkMak1Ma220*122(1)ppukCTCTCkmax11kuk2.滞止参数（驻点参数）设想某断面的流速以等熵过程减小到零，此断面的参数称为滞止参数u0=0——滞止点（驻点）00000,,,,pTch200121pkpukkk20121kukRTRTkk2220121ccukk202uhh性质：（1）在等熵流动中，滞止参数值不变；（2）在等熵流动中，速度增大，参数值降低；（3）气流中最大声速是滞止声速；（4）在有摩擦的绝热过程中，机械能转化为内能，总能量不变——T0，c0，h0不变，p0↓，ρ0↓，但p0/ρ0=RT0不变。如有能量交换，吸收能量T0↑，放出能量T0↓00ckRT3.滞止参数与马赫数的关系220111122TkukMaTkRT20121kukRTRTkk11200112kkkkpTkMapT1111200112kkTkMaT1122200112cTkMacT由例：容器中的压缩气体经过一收缩喷嘴射出，出口绝对压力p=100kPa，t=-30℃，u=250m/s，求容器中压强和温度解：喷口处312.5/ckRTms1.411.4122011.41110010.8152.422kkkppMakPap2500.8312.5uMac22011.4112733010.8274.11.122kTTMaKCtTpTp、、004.气体按不可压缩处理的极限空气k=1.4密度相对变化%1.2100取Ma=0.2取Ma=0.4%2.80一般取Ma=0.2t=15℃时，u≤Ma·c=0.2×340=68m/s1111200112kkTkMaT变截面的等熵流动1.气流参数与变截面的关系由连续性方程欧拉微分方程0ddudAuA0dpudu及2dpcduMacRTp常数kp得21dAduMaAu221dAMadpAkMap221dAMadAMa2211dAMadTAkMaT0ddudAuA0dpudu2dpcduMacRTp常数kp211dudAuAMa221dpkMadApMaA221dMadAMaA2211kMadTdATMaA2.讨论du与dp、dρ、dT异号流动参数Ma1Ma1渐缩管渐扩管渐缩管渐扩管流速u压强p密度ρ温度T增大减小减小减小减小增大增大增大减小增大增大增大增大减小减小减小一元等熵气流各参数沿程的变化趋势211dudAuAMa221dpkMadApMaA221dM