相似型的教学策略

1“相似型”的教学策略上海市民办梅陇中学李贞上海普陀区教育学院叶锦义华师范大学数学系黄荣金一、“相似型”教学策略的设计背景1、“相似型”教学策略的描述定义在初中数学中，有相当规模的一类知识单元具有如下特征：它们有相似的组织结构；它们各自具有相对独立的整体性；知识的呈现方式、知识的发生、发展轨迹基本相同。例如初中平面几何中的“平行线的判定”、“等腰三角形的判定”、“全等三角形的判定”、“平行四边形的判定”和“相似三角形的判定”等都是以相似的方式呈现知识：定义—判定—性质。我们称这类具有相似组织结构和呈现序列的知识组块为“相似型”知识。其中，“相似三角形的判定”与“全等三角形的判定”这两个“相似型”知识，它们的“相似度”最高。2、已往教学上的弊病已往，教师一般在进行其一类“相似型”教学时，很少考虑“相似型”知识之间的内在联系，往往是按部就班，依据教材的课时划分。今天教“判定定理1”，明天教“判定定理2”，后天教“判定定理3”……每个判定定理都是以固定的模式展开：“已知”、“求证”、“证明”，而且只是注重定理的本身展开，而不思考与其他相似知识的联系。证明后用较多的时间直接操练该定理的“应用”。这样教学的弊端是十分明显的。首先，学生对判定定理整体性认识一开始就被人为地割裂，缺乏对这类知识的整体性认识，不能从大局观上与原有知识建立有效的联系。也许从当堂课操练效果不错，对练习中单一使用本定理显示出“能掌握、能理解”。但当几条定理全部呈现后操练时，不少学生对定理运用的选择上存在障碍。这是这种“单一对象”的教学无法克服的弊病。其次，这种“单一对象”的教学不尊重学生和低估学生原有的认知基础。明明学生对这一类相似型知识有一种“似曾相识”的感觉，有一种内在的对两类“相似型”知识主动的认知欲望或冲动，但这种主动的欲望和冲动总是被拒绝的。因此学生往往处于被动地位。第三，这种“单一对象”的教学耗时多，效益低。3、“相似型”教学策略的研究价值由于“相似型”知识在初中数学中占有相当的比重，这部分内容的教学成功与否对整个数学教学成功与否具有重要的意义。由于“相似型”知识具有相似性，这种相似性在学生的知识建构中具有怎样的作用？如何把这种相似性与系统整体认识论、建构主义学习理论、数学学习的本质—化归恰当地整合起来，提高学生学习质量？我们认为对“相似型”教学的策略研究，是具有很高的实践与理论价值。于是我们设想从中选取一个具有代表性的课例作为我们研究的载体。我们想以此来说明我们可通过教师教学方式与策略的改变，促使学生学习方式和策略的改变，以达到学习质量提高的目的。4、为何以“相似三角形判定”作为研究载体相似三角形的判定是平面几何中直线图形中最后学习的内容，教材中安排在初三第一学期。教相似三角形判定前，学生已经接触了不少“相似型”知识，对“相似型”知识已经积累了一定的体验。很有可能一些学生意识到或初步感受到一种默会知识，即“相似型”知识学习方式的元认知：“相似型X”的概念及定义→由定义体现的“相似型X”的最基本的性2质或判定→“相似型X的判定定理。特别引人兴奋的是相似三角形的判定与全等三角形的判定的相似性高，因为全等三角形是相似三角形的特例（相似比等于1），也是人们的认识从特殊向一般发展的一个范例，因此，这是一个很理想的探究主题。于是我们选择了相似三角形的判定作为课例研究的载体。在这课例中，我们可用如下的框架表达我们的设计（如图1）5、“相似型“教学策略的理论依据在这个课例的设计中，我们以促进学生的主动学习、自主发展为出发点和归宿。因此以下列的理念或理论作为设计的支柱。整体放入，整体认识，整体把握。我们把相似三角形的三条判定定理作为一般三角形相似的判定方法整体学习的，使学生对相似三角形判定方法在较短时间内形成完整的认知结构，有利于学生面对选择时，作出正确、有效的判断，有利于领悟学习知识时所应考虑的方式与策略等默会知识。这种策略源自系统论的整体认识论。数学教学“需要从整体上把握，至少把一个单元的数学思想，核心意识，象一个胚胎那样置于中心地位，然后，教师和学生则向这个“数学胚胎”输送营养和活力，使数学学习健康进行?”[1]。因此，基于知识整体结构相似性考虑，运用整体认识论来设计的“相似型”知识教学是有利于结构化知识的构建及培养元认知“调控”的能力。充分尊重学生认知基础，找准新知识的固着点。现代建构主义的理论告诉我们，只有充分调动学生的认知准备，使学生将新知识与原有知识建立有效的实质性的联系，以学生的亲身体验主动构建新知识，这种学习才是有效的。我们在设计中始终以“全等三角形的判定”，“相似三角形的预备定理”作为固着点，以类比、化归为方法来构建相似三角形判定的新知识。同时，当我们构建起相似三角形判定的新知识结构时，反过来对原来全等三角形判定的知识作出适当的改变，使它纳入到新的相似三角形判定这一新的认知结构中去。在这课例中，知识的同化与顺应是非常清晰的。3图1凸现数学学习的本质，注重思想方法的领悟数学学习中经常体现化归的数学思想，学生已有一定的领悟。从某种意义上讲，数学就是一门化归的科学，数学学习的本质就是化归。在“相似三角形判定定理”的学习过程学生将看到三条判定定理的得出都是通过将其化归为预备定理得以实现的，这将势必感受到数符号表示类比类比类比类比（部分学生存有的“？”）顺应（放到课的最后）“相似型”A全等三角形“相似型”B全等三角形全等三角形判定（固着点．．．2）定理S．A．SA．S．AA．A．SS．S．S（固着点．．．1）预备定义相似三角形判定定理？AB/A1B1=AC/A1C1，Ａ＝Ａ１Ａ＝Ａ１，Ｂ＝Ｂ１AB/A1B1＝BC/B1C1＝CA/C1A1全等三角形的概念及定义相似三角型的概念及定义最基本的性质（由定义给出）最基本的性质（由定义给出）今天学什么？（创设问题情景）简记同化已学过的知识即将学习的知识化归4学学习的本质是化归。化归的思想不仅是数学的学科思想，而且是人们认识世界、分析问题、解决问题不可或缺的思想方法。同时，在具体构建新知识时，又用了类比推理的数学思想，这些数学思想的领悟是数学学习的主题目标之一。创设问题情境，使问题情境化、过程化、延伸化。教育心理学的理论启示我们，应该充分运用动机原理，使学生的学习具有内驱力，学习将会取得良好效果。要激起学生学习数学的内驱力的一种很有效的方法，就是创设问题情境，使学生引起认知冲突或置身于渴望求得新知解决问题的情境中，这时的学习是最为有效的。为此，我们设计了“网格中的两个三角形是否相似”的问题情境，学生用定义或预备定理难解决，激起新的判定方法的学习欲望。当学了三条判定定理后，就较容易地解决了问题，使他们体会到一种学习成功的愉悦。二、“相似三角形的判定”的教学研究（一）教学设计教学目标：1．掌握相似三角形的判定定理，并能初步运用这些知识解决有关问题。2．经历“观察－探索－猜测－证明”的学习过程，体验科学发现的一般规律，同时提高几何的图形语言、符号语言、文字语言表达能力。3。通过相似三角形的判定定理的探索过程，渗透类比、化归等数学思想。4。通过合作交流、自主评价改进学生的学习方式，提高学习质量，逐步形成正确的数学价值观。教学过程：教学环节教师活动学生活动板书复习提问你知道的有关相似三角形的知识有哪些？（1）相似三角形的定义及预备定理。（2）全等三角形与相似三角形的关系以及全等三角形的判定。A1ABCB1C1在△ABC和△A1B1C1中：111111CAACCBBCBAAB∠A=∠A1，∠B＝∠B1、，∠C＝∠C1全等三角形的判定A.S.A；A.A.S；S.A.S;S.S.S；H.L创设情景利用已有知识，能否解此题？如图，在边长为1个单位的方格纸上有△ABC和△BDE，猜测△ABC与△BDE是否相似。若相似，能证明吗？当运用已知知识（预备定理和定义）来证明这两个三角形相似面临困难时，产生寻求更为有效的、简便的判定方法需求？课题：相似三角形的判定5EABCD探求新知1．猜测根据全等三角形的判定（条件），利用相似三角形定义条件，选择尽可能少的条件判定两个三角形相似。小组讨论大胆猜测板书全等相似A．S．A两角对应相等A．A．AS．A．S两边对应成比例且夹角相等S．S．S三边对应成比例H．L2．证明以上猜想是否正确，必须证明，请学生选择他们希望首先证明的命题，逐一证明。小组讨论后，全班交流。（第一个命题的证明学生口述，教师板演，强调证明思路；第二、第三个命题证明学生口述）第一个判定定理证明全过程简单应用运用相似三角形的判定定理解“情境问题”独立思考，完成后全班交流比较学生的不同证法小结与自主评价提问：全等三角形是相似三角形的特例，那么，全等三角形的判定一定也是相似三角形判定的特例，若将全等三角形的判定纳入到相似三角形的判定中，全等三角形的判定用相似三角形的判定如何描述？反思和发表对本堂课的体验和收获布置作业必做题：练习册28.4（1）选做题：将课堂中的例题引申；（1）∠ABE为几度；（2）连结AE，△ABE是什么三角形？（3）将△BED沿BD翻折，再沿BC平移后，均∠1＋∠2＋∠3为几度？（运动过程，多媒体展示）EABCDABCD1236（二）课堂教学行为的变化在课堂教学实施过程中，我们特别关注以下几个环节。1、基于已有认知准备，学生通过类比猜测判定两三角形相似的条件。在学生已回顾了全等三角形的判定以及相似三角形的定义后教师鼓励学生利用已有的知识，大胆猜测判定两三角形相似的可能条件。请看以下片断。①师：刚才同学们已经回顾了相似三角形的一些性质，以及全等三角形的判定方法，结合这些知识，请你思考一下，在这些条件中，选择尽可能少的条件来判断两个三角形的相似，讨论后回答。（学生讨论，教师巡视并参与组内讨论）②生：∠A=∠A1，∠B＝∠B1（学生口述，教师板书）③师：还有吗？④生：AB/A1B1=AC/A1C1,且∠A=∠A1。（学生口述，教师板书）⑤师：还有吗？⑥生：AB/A1B1=AC/A1C1＝BC/B1C1；（板书）还有比较复杂的。⑦师：噢，没关系，你说说看。⑧生：∠A=∠A1，∠B＝∠B1，AB/A1B1=BC/B1C1（板书）⑨师：好，请坐。他们小组得到了四种，其他小组看一看。有什么意见吗⑩生：前面三种我们小组同意，最后一种我们不同意，前面已有两个角相等了，只要这两个角相等，就能判定这两个三角形相似的话，后面的例式AB/A1B1=BC/B1C1是多余的.在上述师生互动中，教学鼓励学生根据已有的知识及认识策略，通过学生的合作与讨论猜测三角形相似的判定条件（①—⑥），进一步在同伴的帮助下，明晰判定条件（⑧—⑩），经历构建知识的活动体验。2、学生自主探究，验证命题。学生意识到通过类比猜测所得到的命题不一定都成立,因此学生有强烈地愿望去证明这些他们亲自构建的命题是否正确。于是,组织小组讨论,不探究命题的证明。在这一过程中，充分体现学生的自主合作与交流，倾听与评价。下面这一片段展示了同学之间的互帮互学：①
请你说说你们的想法。②
生：已知：在△ABC与△A1B1C1，AB/A1B1=AC/A1C1＝BC/B1C1③
师：他要证的是“三边对应成比例，两三角形相似”④
生：在△ABC中取AD＝A1B1⑤
师：在哪条边上取？⑥
生：在AB上截取AD＝A1B1，在AC上截取AE＝AC/A1C1，连结DE，可以证出△ADE≌△A1B1C1⑦
师：很好，怎么证明这两个三角形全等？⑧
生：AD＝A1B1，AE＝A1C1，然后……（学生证不下去了）⑨
师：他的想法很好，但在证明两个三角形全等时，遇到了困难谁能帮助他，好你来说说。⑩
生：因为AD＝A1B1，AE＝A1C1，且A1B1/AB＝A1C1/AC，所以AD/AB＝AE/AC，所以DE∥BC，所以AD/AB＝DE/BC，又因为A1B1/AB＝B1C1/BC，所以DE＝B1C1，所以△ADE≌△A1B1C1，又因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以△ABC∽△A1B1C1。在上述片段中，先是一位同学上黑板报告他们小组讨论的结果：证明“三边对应成比例，两三角形相似”，可是讲到一半，这