2019-2020年高考数学学业水平测试一轮复习 专题十一 数列 第39讲 等比数列及其前n项和课件

专题十一数列第39讲等比数列及其前n项和1．等比数列的定义一般地，如果一个数列______________________，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示(q≠0)．答案：从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数公比q2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝________．答案：a1·qn－13．等比中项若________________，那么G叫做a与b的等比中项．答案：G2＝a·b(ab≠0)4．等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am·________(n，m∈N*)．(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则________．(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，1an，{a2n}，{an·bn}，anbn仍是等比数列．答案：(1)qn－m(2)ak·al＝am·an5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q.6．等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为________．答案：qn1．等比数列基本量的运算(1)已知{an}是各项均为正数的等比数列，a1＋a2＝1，a3＋a4＝4，则a5＋a6＋a7＋a8＝()A．80B．20C．32D.2553(2)设Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则an＝________．解析：(1)根据题意，由于{an}是各项均为正数的等比数列，a1＋a2＝1，a3＋a4＝4＝q2(a1＋a2)，所以q2＝4，q＞0，q＝2.则a5＋a6＋a7＋a8＝q4(a1＋a2＋a3＋a4)＝16(1＋4)＝80.(2)由3S1，2S2，S3成等差数列知，4S2＝3S1＋S3，可得a3＝3a2，所以公比q＝3，故等比数列通项an＝a1qn－1＝3n－1.答案：(1)A(2)3n－1剖析：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解．2．等比数列的判定与证明设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)．(1)求a2，a3的值；(2)求证：数列{Sn＋2}是等比数列．(1)解：因为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，所以当n＝1时，a1＝2×1＝2；当n＝2时，a1＋2a2＝(a1＋a2)＋4，所以a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2(a1＋a2＋a3)＋6，所以a3＝8.综上，a2＝4，a3＝8.(2)证明：a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝(n－1)Sn＋2n(n∈N*)，①所以当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n－2)Sn－1＋2(n－1)．②①－②得nan＝(n－1)Sn－(n－2)Sn－1＋2＝n(Sn－Sn－1)－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.所以－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，所以Sn＋2＝2(Sn－1＋2)．因为S1＋2＝4≠0，所以Sn－1＋2≠0，所以Sn＋2Sn－1＋2＝2，故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．剖析：(1)证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择题、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．(2)利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．3．等比数列的性质及应用(1)等比数列{an}前n项和为Sn，q＝3，则S4a4＝()A.409B.809C.4027D.8028(2)等比数列{an}共有奇数项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶＝－126，末项是192，则首项a1等于()A．1B．2C．3D．4解析：(1)因为等比数列{an}前n项和为Sn，q＝3，所以S4a4＝a1（1－q4）1－qa1q3＝1－q4q3（1－q）＝4027，故选C.(2)设等比数列{an}共有2k＋1(k∈N*)项，则a2k＋1＝192，则S奇＝a1＋a3＋…＋a2k－1＋a2k＋1＝1q(a2＋a4＋…＋a2k)＋a2k＋1＝1qS偶＋a2k＋1＝－126q＋192＝255，解得q＝－2，而S奇＝a1－a2k＋1q21－q2＝a1－192×（－2）21－（－2）2＝255，解得a1＝3.答案：(1)C(2)C1．已知等比数列{an}中，a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，则a8＝()A．64B．128C．256D．512答案：B2．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若a1＋a3＝5，q＝2，则S4等于()A．7B．13C．15D．31答案：C3．在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n等于()A．12B．13C．14D．15答案：C4．若正项数列{an}满足lgan＋1＝1＋lgan，且a2001＋a2002＋…＋a2010＝2016，则a2011＋a2012＋…＋a2020的值为()A．2015×1010B．2015×1011C．2016×1010D．2016×1011答案：C5．已知等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则S3a2＝()A．3B．4C.72D.132答案：C6．记Sn为数列{an}的前n项和，若S2＝3，an＋1＝Sn＋1(n∈N*)，则通项公式an＝______．解析：因为an＋1＝Sn＋1，所以a2＝S1＋1＝a1＋1，又S2＝a1＋a2＝3，所以a1＝1，a2＝2，由an＋1＝Sn＋1得an＝Sn－1＋1(n≥2)，两式相减得an＋1－an＝Sn－Sn－1＝an，即an＋1＝2an，而a2＝2a1，所以{an}是公比为2的等比数列，所以an＝2n－1.答案：2n－17．若数列{an}满足：2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝2n(n∈N*)，则数列{an}的前n项和Sn为________．解析：由2a1＋22a2＋23a3＋…＋2nan＝2n(n∈N*)得：2a1＋22a2＋23a3＋…＋2n－1an－1＝2(n－1)，(n≥2且n∈N*)，两式作差可得：2nan＝2，即：an＝12n－1(n≥2且n∈N*)．由已知等式可得，2a1＝2，解得：a1＝1，适合上式，所以an＝12n－1(n∈N*)．又an＋1an＝12n12n－1＝12，所以数列{an}是以1为首项，以12为公比的等比数列则：Sn＝1×1－12n1－12＝2－12n－1.答案：2－12n－18．已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和．若a2a3＝2a1，且a4与2a7的等差中项为54，则S5＝________．解析：由a2a3＝2a1得a1q3＝2，所以a4＝2，a4与2a7的等差中项为54，所以a4＋2a7＝52，所以a7＝14，因为a7＝a4q3，所以q＝12，所以a1＝16，所以S5＝a1（1－q5）1－q＝31.答案：319．已知等差数列{an}满足a1＝1，a3＋a5＝8.(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝13an＋an，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)由题得1＋2d＋1＋4d＝8，所以d＝1，所以an＝1＋n－1＝n(n∈N*)．(2)bn＝13an＋an＝13n＋n，所以Sn＝131－13n1－13＋n（n＋1）2＝n2＋n＋12－12·3n(n∈N*)．10．数列{bn}满足：bn＋1＝2bn＋2，bn＝an＋1－an，且a1＝2，a2＝4.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn.解：(1)由bn＋1＝2bn＋2，得bn＋1＋2＝2(bn＋2)，所以bn＋1＋2bn＋2＝2，又b1＋2＝a2－a1＋2＝4，所以数列{bn＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．所以bn＋2＝4·2n－1＝2n＋1，所以bn＝2n＋1－2.(2)由(1)知，an－an－1＝bn－1＝2n－2(n≥2)，所以an－1－an－2＝2n－1－2(n2)，…a2－a1＝22－2，所以an－2＝(22＋23＋…＋2n)－2(n－1)，所以an＝(2＋22＋23＋…＋2n)－2n＋2＝2（2n－1）2－1－2n＋2＝2n＋1－2n.所以Sn＝4（1－2n）1－2－n（2＋2n）2＝2n＋2－(n2＋n＋4)．