2019-2020年高考数学学业水平测试一轮复习 专题十二 不等式 第41讲 不等关系与不等式课件

专题十二不等式第41讲不等关系与不等式1．两个实数比较大小的方法(1)作差法a－b0⇔aba－b＝0⇔aba－b0⇔ab(a，b∈R)；(2)作商法ab1⇔abab＝1⇔abab1⇔ab(a∈R，b0)．答案：(1)＝(2)＝2．不等式的基本性质性质性质内容特别提醒对称性ab⇔____⇔传递性ab，bc⇒____⇒可加性ab⇔________⇔a＞bc＞0⇒______可乘性a＞c＜0⇒______注意c的符号同向可加性a＞bc＞d⇒________⇒同向同正可乘性a＞b＞0c＞d＞0⇒______⇒可乘方性ab0⇒______(n∈N，n≥1)可开方性ab0⇒nanb(n∈N，n≥2)a，b同为正数答案：baaca＋cb＋cac＞bcac＜bca＋cb＋dacbdanbn3.不等式的一些常用性质(1)倒数的性质．①ab，ab0⇒1a____1b.②a0b⇒1a____1b.③ab0，0cd⇒ac____bd.④0axb或axb0⇒1b____1x____1a.(2)有关分数的性质．若ab0，m0，则①bab＋ma＋m；bab－ma－m(b－m0)．②aba＋mb＋m；aba－mb－m(b－m0)．答案：(1)1．比较两个数(式)的大小(1)设a＝22(sin17°＋cos17°)，b＝2cos213°－1，c＝32，则a，b，c的大小关系为()A．b＜a＜cB．b＜c＜aC．a＜b＜cD．c＜a＜b(2)若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为________．解析：(1)a＝22(sin17°＋cos17°)＝sin17°cos45°＋cos17°sin45°＝sin62°，b＝2cos213°－1＝cos26°＝sin64°，c＝32＝sin60°，故c＜a＜b.选D.(2)ab＝18161618＝181616×1162＝9816×1216＝98216，因为982∈(0，1)，所以982161.因为18160，16180，所以18161618，即ab.答案：(1)D(2)ab剖析：比较大小的常用方法：(1)作差法：一般步骤：①作差；②变形；③定号；④下结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法：一般步骤：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④下结论．(3)函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．2．不等式的性质对于实数a，b，c，下列结论中正确的是()A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b＞0，则1a＞1bC．若a＜b＜0，则ba＞abD．若a＞b，1a＞1b，则a＞0，b＜0解析：选项是不等式，可以利用不等式性质，结合特例逐项判断，得出正确结果．对于A，当c＝0时，有ac2＝bc2，故错；对于B，若a＞b＞0，则1a＜1b，故错误；对于c，若a＜b＜0，取a＝－2，b＝－1，可知ba＜ab，故错误；对于D，若a＞b，1a＞1b，则a＞0，b＜0成立，故选D.答案：D剖析：解决此类问题常用两种方法：一是直接使用不等式的性质逐个验证；二是利用特殊值法排除错误答案．利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件．3．不等式性质的应用(1)若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是()A.1a＜1bB．a|c|＞b|c|C．|a|＞bD.ab＞1(2)设ab1，c0，给出下列三个结论：①cacb；②acbc；③logb(a－c)loga(b－c)．其中所有的正确结论的序号是()A．①B．①②C．②③D．①②③解析：(1)根据题意，只有a，b同号的时候，选项A成立；对于B，只有c不为零时成立；对于C，由于|a|≥a，则根据不等式的传递性可知成立；对于D，当a＝0时，不成立，故选C.(2)由不等式性质及ab1知1a1b，又c0，所以cacb，①正确；构造函数y＝xc，因为c0，所以y＝xc在(0，＋∞)上是减函数，又ab1，所以acbc，知②正确；因为ab1，c0，所以a－cb－c1，所以logb(a－c)loga(a－c)loga(b－c)，知③正确．答案：(1)C(2)D剖析：(1)判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明．常用的推理判断是利用不等式的性质．(2)在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质等．1．已知a，b为非零实数，且ab，则下列不等式成立的是()A．a2b2B.1a1bC.1ab21a2bD.1a－b1a答案：C2．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是()A．－2≤a≤4B．－1≤a≤3C．－2≤a＜4D．－1＜a≤3答案：A3．若1a1b0，则下列结论不正确的是()A．a2b2B．abb2C．a＋b0D．|a|＋|b||a＋b|答案：D4．下列命题中，正确的是()A．若ab，cd，则acbdB．若acbc，则abC．若ac2bc2，则abD．若ab，cd，则a－cb－d答案：C5．设a＝ln22，b＝ln33，c＝ln55，则a，b，c三个数从大到小的排列顺序为()A．abcB．bacC．bcaD．cab解析：由题意得a0，b0，c0.因为ab＝3ln22ln3＝ln8ln91，所以ba.又ac＝5ln22ln5＝ln32ln251，所以ac.所以bac.答案：B6．已知a1，a2∈(0，1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()A．MNB．MNC．M＝ND．不确定解析：因为M－N＝a1a2－(a1＋a2－1)＝a1a2－a1－a2＋1＝a1(a2－1)－(a2－1)＝(a1－1)(a2－1)，又a1∈(0，1)，a2∈(0，1)，所以a1－10，a2－10，所以(a1－1)(a2－1)0，即M－N0.所以MN.答案：B7．若a∈R，且a2－a0，则a，a2，－a，－a2从小到大的排列顺序是________．解析：因为a2－a0，所以0a1，aa20，－a2－(－a)＝－(a2－a)0，所以－a2－a，所以－a－a20a2a.答案：－a－a2a2a8．分别解答下列两题：(1)已知x0，y0，且2x＋5y＝20，求xy的最大值．(2)已知ab0，cd0，k0，求证：ka－ckb－d.(1)解：因为x0，y0，且2x＋5y＝20，所以xy＝110(2x·5y)≤1102x＋5y22＝110×100＝10，当且仅当2x＝5y，即x＝5，y＝2时取等号，故xy的最大值为10.(2)证明：因为ab0，cd0，所以－c－d0，所以a－cb－d0，所以01a－c1b－d，因为k0，所以ka－ckb－d.9．甲乙两人同时从宿舍到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步；如果两人步行、跑步速度均相同，那么谁先到教室？解：设路程为s，跑步速度为v1，步行速度为v2，甲所用时间为t甲，乙所用时间为t乙，由题意知，t甲＝s2v1＋s2v2＝s（v1＋v2）2v1v2，s＝t乙2·v1＋t乙2·v2⇒t乙＝2sv1＋v2，所以t甲t乙＝（v1＋v2）24v1v2≥（2v1v2）24v1v2＝1.所以t甲≥t乙，当且仅当v1＝v2时“＝”成立．由实际情况知v1v2，所以t甲t乙．所以乙先到教室．