2019-2020年高考数学学业水平测试一轮复习 专题七 基本初等函数Ⅱ（三角函数）第25讲 任意角

专题七基本初等函数Ⅱ（三角函数）第25讲任意角、弧度制及任意角的三角函数1．角的概念(1)任意角：①定义：角可以看成平面内______________绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的________；②分类：角按旋转方向分为________、________和________．(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．(3)象限角：使角的顶点与________重合，角的始边与________________重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．答案：(1)一条射线图形正角负角零角(3)原点x轴的非负半轴2．弧度制(1)定义：在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所对的圆心角为1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个________，零角的弧度数是________．(2)角度制和弧度制的互化：180°＝______rad，1°＝π180rad，1rad＝180π°.(3)扇形的弧长公式：l＝________，扇形的面积公式：S＝12lr＝12|α|·r2.答案：(1)正数负数0(2)π(3)|α|·r3．任意角的三角函数任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sinα＝________，cosα＝________，tanα＝yx(x≠0)．三个三角函数的初步性质如下表：三角函数定义域第一象限符号第二象限符号第三象限符号第四象限符号sinαR＋＋－－cosαR＋－－＋tanαα|α≠kπ＋π2，k∈Z＋－＋－答案：yx4.三角函数线如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1，0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.三角函数线有向线段_______为正弦线；有向线段_____为余弦线；有向线段_____为正切线答案：MPOMAT1．集合与角已知θ是第三象限角且cosθ20，问θ2是第几象限角？解：因为(2k＋1)πθ(2k＋1)π＋π2(k∈Z)，所以kπ＋π2θ2kπ＋3π4(k∈Z)，则θ2是第二或第四象限角．又因为cosθ20，则θ2是第二或第三象限角，所以θ2必为第二象限角．剖析：象限角的集合表示．2．弧度制的应用(1)把67°30′化成弧度；(2)把35πrad化成度．解：(1)67°30′＝6712°，所以67°30′＝π180rad×6712＝38πrad.(2)35πrad＝35×180°＝108°.剖析：角度制与弧度制的换算．抓住：360°＝2πrad，所以180°＝πrad.所以1°＝π180rad≈0.01745rad.1rad＝180π°≈57.30°＝57°18′.3．三角函数的概念(1)已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在()A．x轴上B．y轴上C．直线y＝x上D．直线y＝－x上(2)一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，则其圆心角弧度数为()A.π3B.2π3C.3D.2解析：(1)因为|cosα|＝1，所以角α的终边在x轴上.(2)设圆半径为R，由题意可知，圆内接正三角形的边长为3R，所以圆弧长为3R.所以该圆弧所对圆心角的弧度数为3RR＝3.答案：(1)A(2)C1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C2．角α终边过点(－1，2)，则cosα等于()A.55B.255C．－55D．－255答案：C3．若sinθ＞0，且sin2θ＞0，则角θ的终边所在象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限答案：A4．角α的终边上一点P的坐标为(sin2，－cos2)，则α的一个弧度数为()A．π＋2B.π2＋2C.3π2－2D．2－π2答案：D5．半径为3cm，圆心角为120°的扇形面积为________cm2.解析：由扇形面积公式可得S＝12lr＝12|α|r2＝12×2π3×9＝3π.答案：3π6．直径为20cm的圆中，求下列各圆心所对的弧长．(1)4π3；(2)165°.解：r＝10cm，(1)l＝α·r＝4π3×10＝40π3(cm)．(2)165°＝π180×165(rad)＝11π12rad，所以l＝11π12×10＝55π6(cm)．7．求证：若0≤α1≤α2≤π2时，则sinα1sinα2.证明：分别作α1，α2的正弦线x(终边不在x轴上)，sinα1＝M1P1，sinα2＝M2P2，因为0≤α1α2≤π2，所以M1P1M2P2，即sinα1sinα2.8．如图，已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积．解：设扇形的半径为r，弧长为l，则有2r＋l＝6，lr＝1，⇒r＝2，l＝2，所以扇形的面积S＝12rl＝2(cm2)．9．已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tanθ＝－x，求sinθ＋cosθ.解：因为θ的终边过点(x，－1)(x≠0)，所以tanθ＝－1x，又tanθ＝－x，所以－1x＝－x，即x＝±1.当x＝1时，sinθ＝－22，cosθ＝22，因此sinθ＋cosθ＝0；当x＝－1时，sinθ＝－22，cosθ＝－22，因此sinθ＋cosθ＝－2.故sinθ＋cosθ＝0或sinθ＋cosθ＝－2.