2019-2020年高考数学学业水平测试一轮复习 专题二 函数的概念与基本初等函数Ⅰ第6讲 对数与对

专题二函数的概念与基本初等函数Ⅰ第6讲对数与对数函数1．对数的概念如果ax＝N(a0且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中________叫做对数的底数，________叫做真数．答案：aN2．对数的性质与运算法则(1)对数的运算法则如果a0且a≠1，M0，N0，那么：①loga(MN)＝______________；②logaMN＝______________；③logaMn＝______________(n∈R)；④logamMn＝nmlogaM(m，n∈R，且m≠0)．(2)对数的性质．①alogaN＝____；②logaaN＝____(a＞0且a≠1)．(3)对数的重要公式．①换底公式：logbN＝logaNlogab(a，b均大于零且不等于1)；②logab＝1logba，推广logab·logbc·logcd＝______．答案：(1)logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaM(2)NN(3)logad3．对数函数的图象与性质分类a＞10＜a＜1图象(1)定义域：______(2)值域：R(3)过定点______，即x＝____时，y＝____(4)当x＞1时，______当0＜x＜1时，______(5)当x＞1时，______当0＜x＜1时，______性质(6)在(0，＋∞)上是______(7)在(0，＋∞)上是______答案：(1)(0，＋∞)(3)(1，0)10(4)y＞0y＜0(5)y＜0y＞0(6)增函数(7)减函数4.反函数指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线______对称．答案：y＝x1．对数式的运算(1)log327＋lg25＋lg4－7log72＋log42＝_____．(2)log2.56.25＋lg0.001＋2lne－21＋log23＝_____．解析：(1)原式＝12log327＋(lg25＋lg4)－2＋12log44＝32＋2－2＋12＝2.(2)原式＝log2.56.25＋lg0.001＋lne－(2×2log23)＝2＋lg10－3＋1－6＝2－3＋1－6＝－6.答案：(1)2(2)－6剖析：在对数运算中，要熟练掌握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算．2．对数函数的图象及应用(1)已知lga＋lgb＝0，则函数f(x)＝ax与函数g(x)＝－logbx的图象可能是()(2)函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为________，单调递增区间为________．解析：(1)因为lga＋lgb＝0，所以ab＝1，因为g(x)＝－logbx的定义域是(0，＋∞)，故排除A.若a1，则0b1，此时f(x)＝ax是增函数，g(x)＝－logbx是增函数．故选B.(2)作出函数y＝log2x的图象，将其关于y轴对称得到函数y＝log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y＝log2|x＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．答案：(1)B(2)(－∞，－1)(－1，＋∞)剖析：应用对数型函数的图象可求解的问题：(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．3．对数函数的性质及应用(1)设a＝log32，b＝log52，c＝log23，则()A．acbB．bcaC．cbaD．cab(2)已知log7[log3(log2x)]＝0，那么x－12等于()A.13B.36C.24D.33解析：(1)因为3＜2＜3，1＜2＜5，3＞2，所以log33＜log32＜log33，log51＜log52＜log55，log23＞log22，所以12＜a＜1，0＜b＜12，c＞1，所以c＞a＞b.(2)由条件知，log3(log2x)＝1，所以log2x＝3，所以x＝8，所以x－12＝24.答案：(1)D(2)C剖析：在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解．在利用单调性时，一定要明确底数a的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件．1．若函数y＝logax(a0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是()答案：B2．设a＝log32，b＝ln2，c＝5－12，则()A．a＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜a＜bD．c＜b＜a答案：C3．函数y＝log0.5（4－x）的定义域是()A．[3，4)B．(－∞，3]C．[3，＋∞)D．(－∞，4]答案：A4．集合P＝（x，y）|y＝12x，Q＝{(x，y)|y＝log2x}则集合P∩Q的元素个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个解析：由题意，在同一坐标系中，画出函数y＝12x和y＝log2x的图象，如图所示，由图象看出，y＝12x和y＝log2x只有一个交点，所以P∩Q的元素个数为1.答案：B5．若函数f(x)＝logax(0＜a＜1)在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a＝________．解析：因为0＜a＜1，所以logaa＝3loga2a，2a＝a13，得a＝24.答案：246．已知函数f(x)＝loga(x－2)，若函数图象过点(11，2)，则f(5)的值为________.解析：因为函数f(x)＝loga(x－2)的图象过点(11，2)，所以loga9＝2，所以a＝3，所以f(x)＝log3(x－2)，所以f(5)＝log3(5－2)＝log33＝1.答案：17．已知3x＝4y＝6，则2x＋1y＝________．解析：因为3x＝4y＝6，所以log36＝x，log46＝y，所以2x＋1y＝2log36＋1log46＝2log63＋log64＝log636＝2.答案：28．已知函数f(x)＝－x＋4，x≤3log13x，x3，定义函数g(x)＝f(x)－k，若函数g(x)无零点，则实数k的取值范围为________．解析：函数f(x)＝－x＋4，x≤3，log13x，x3，可得x3时，f(x)＝log13x递减，可得f(x)－1；当x≤3时，f(x)＝－x＋4递减，可得f(x)≥1，即有f(x)的值域为(－∞，－1)∪[1，＋∞)，由函数g(x)＝f(x)－k，若函数g(x)无零点，则y＝f(x)的图象与y＝k无交点，则f(x)－k＝0无解，即f(x)＝k无解，所以k的范围是[－1，1)．答案：[－1，1)9．设a＞0，a≠1，函数y＝alg(x2－2x＋3)有最大值，求函数f(x)＝loga(3－2x－x2)的单调区间．解：设t＝lg(x2－2x＋3)＝lg[(x－1)2＋2]．当x∈R时，t有最小值lg2.又因为函数y＝alg(x2－2x＋3)有最大值，所以0＜a＜1.又因为f(x)＝loga(3－2x－x2)的定义域为{x|－3＜x＜1}，令u＝3－2x－x2，x∈(－3，1)，则y＝logau.因为y＝logau在定义域内是减函数，当x∈(－3，－1]时，u＝－(x＋1)2＋4是增函数，所以f(x)在(－3，－1]上是减函数，同理，f(x)在[－1，1)上是增函数．故f(x)的单调减区间为(－3，－1]，单调增区间为[－1，1)．