（浙江专用）2021版新高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 7 第7讲 正弦定理与余弦定理

数学第四章三角函数、解三角形第7讲正弦定理与余弦定理01基础知识自主回顾02核心考点深度剖析04高效演练分层突破03方法素养助学培优1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC外接圆半径)a2＝____________________；b2＝____________________；c2＝____________________b2＋c2－2bccosAc2＋a2－2cacosBa2＋b2－2abcosC定理正弦定理余弦定理变形形式a＝_________，b＝__________，c＝_________；sinA＝_____，sinB＝_____，sinC＝_____；a∶b∶c＝______________________；a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝asinAcosA＝_____________；cosB＝_____________；cosC＝______________2RsinA2RsinB2RsinCa2Rb2Rc2RsinA∶sinB∶sinCb2＋c2－a22bcc2＋a2－b22caa2＋b2－c22ab2.三角形解的判断A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两解一解一解3.三角形中常用的面积公式(1)S＝12ah(h表示边a上的高)；(2)S＝12bcsinA＝____________＝12absinC；(3)S＝p（p－a）（p－b）（p－c），其中p＝12(a＋b＋c)．12acsinB[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在△ABC中，已知a，b和角B，能用正弦定理求角A；已知a，b和角C，能用余弦定理求边c.()(2)在三角形中，已知两角和一边或已知两边和一角都能解三角形．()(3)在△ABC中，sinAsinB的充分不必要条件是AB.()(4)在△ABC中，a2＋b2c2是△ABC为钝角三角形的充分不必要条件．()(5)在△ABC的角A，B，C，边长a，b，c中，已知任意三个可求其他三个．()√√×√×[教材衍化]1．(必修5P10A组T4改编)在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝()A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选C.因为在△ABC中，设AB＝c＝5，AC＝b＝3，BC＝a＝7，所以由余弦定理得cos∠BAC＝b2＋c2－a22bc＝9＋25－4930＝－12，因为∠BAC为△ABC的内角，所以∠BAC＝23π.2．(必修5P18练习T1改编)在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝23，则△ABC的面积等于________．解析：因为23sin60°＝4sinB，所以sinB＝1，所以B＝90°，所以AB＝2，所以S△ABC＝12×2×23＝23.答案：23[易错纠偏](1)利用正弦定理求角时解的个数弄错；(2)在△ABC中角与角的正弦关系弄错；(3)判断三角形形状时弄错．1．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是()A．有一解B．有两解C．无解D．有解但解的个数不确定解析：选C.由正弦定理得bsinB＝csinC，所以sinB＝bsinCc＝40×3220＝31.所以角B不存在，即满足条件的三角形不存在．2．在△ABC中，若sinA＝sinB，则A，B的关系为________；若sinAsinB，则A，B的关系为________．解析：sinA＝sinB⇔a＝b⇔A＝B；sinAsinB⇔ab⇔AB.答案：A＝BAB3．在△ABC中，acosA＝bcosB，则这个三角形的形状为________．解析：由正弦定理，得sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形．答案：等腰三角形或直角三角形利用正、余弦定理解三角形是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题．主要命题角度有：(1)由已知求边和角；(2)三角恒等变换与解三角形．利用正弦、余弦定理解三角形(高频考点)角度一由已知求边和角(1)(2020·金华市东阳二中高三调研)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若3bcosA＝ccosA＋acosC，则tanA的值是()A．－22B．－2C．22D．2(2)(2019·高考浙江卷)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________．【解析】(1)因为△ABC中，由余弦定理得ccosA＋acosC＝c×b2＋c2－a22bc＋a×a2＋b2－c22ab＝b.所以根据题意，3bcosA＝ccosA＋acosC＝b，两边约去b，得3cosA＝1，所以cosA＝130，所以A为锐角，且sinA＝1－cos2A＝223，因此，tanA＝sinAcosA＝22.(2)在Rt△ABC中，易得AC＝5，sinC＝ABAC＝45.在△BCD中，由正弦定理得BD＝BCsin∠BDC×sin∠BCD＝322×45＝1225，sin∠DBC＝sin[π－(∠BCD＋∠BDC)]＝sin(∠BCD＋∠BDC)＝sin∠BCDcos∠BDC＋cos∠BCDsin∠BDC＝45×22＋35×22＝7210.又∠ABD＋∠DBC＝π2，所以cos∠ABD＝sin∠DBC＝7210.【答案】(1)C(2)12257210角度二三角恒等变换与解三角形在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b＋c＝2acosB.(1)证明：A＝2B；(2)若cosB＝23，求cosC的值．【解】(1)证明：由正弦定理得sinB＋sinC＝2sinAcosB，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋B)＝sinB＋sinAcosB＋cosAsinB，于是sinB＝sin(A－B)．又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π，所以B＝π－(A－B)或B＝A－B，因此A＝π(舍去)或A＝2B，所以A＝2B.(2)由cosB＝23得sinB＝53，cos2B＝2cos2B－1＝－19，故cosA＝－19，sinA＝459，cosC＝－cos(A＋B)＝－cosAcosB＋sinAsinB＝2227.(变问法)本例条件不变，若△ABC的面积S＝a24，求角A的大小．解：由S＝a24，得12absinC＝a24，故有sinBsinC＝12sin2B＝sinBcosB，因为sinB≠0，所以sinC＝cosB，又B，C∈(0，π)，所以C＝π2±B.当B＋C＝π2时，A＝π2；当C－B＝π2时，A＝π4.综上，A＝π2或A＝π4.(1)正、余弦定理的选用解三角形时，如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．(2)三角形解的个数的判断已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．1．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝2，则C＝()A.π12B.π6C.π4D.π3解析：选B.因为sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，所以sin(A＋C)＋sinAsinC－sinAcosC＝0，所以sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝0，整理得sinC·(sinA＋cosA)＝0，因为sinC≠0，所以sinA＋cosA＝0，所以tanA＝－1，因为A∈(0，π)，所以A＝3π4，由正弦定理得sinC＝c·sinAa＝2×222＝12，又0Cπ4，所以C＝π6.故选B.2．(2020·绍兴市一中高三期末检测)△ABC中，D为线段BC的中点，AB＝2AC＝2，tan∠CAD＝sin∠BAC，则BC＝________．解析：由正弦定理可知sin∠CADsin∠BAD＝2，又tan∠CAD＝sin∠BAC，则sin∠CADcos∠CAD＝sin(∠CAD＋∠BAD)，利用三角恒等变形可化为cos∠BAC＝12，据余弦定理BC＝AC2＋AB2－2·AC·AB·cos∠BAC＝1＋4－2＝3.答案：3(1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．不确定(2)若a2＋b2－c2＝ab，且2cosAsinB＝sinC，那么△ABC一定是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形利用正弦、余弦定理判定三角形的形状【解析】(1)由正弦定理得sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，则sin(B＋C)＝sin2A，由三角形内角和，得sin(B＋C)＝sinA＝sin2A，即sinA＝1，所以∠A＝π2.即△ABC为直角三角形．(2)法一：利用边的关系来判断：由正弦定理得sinCsinB＝cb，由2cosAsinB＝sinC，有cosA＝sinC2sinB＝c2b.又由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc，所以c2b＝b2＋c2－a22bc，即c2＝b2＋c2－a2，所以a2＝b2，所以a＝b.又因为a2＋b2－c2＝ab.所以2b2－c2＝b2，所以b2＝c2，所以b＝c，所以a＝b＝c.所以△ABC为等边三角形．法二：利用角的关系来判断：因为A＋B＋C＝180°，所以sinC＝sin(A＋B)，又因为2cosAsinB＝sinC，所以2cosAsinB＝sinAcosB＋cosAsinB，所以sin(A－B)＝0.又因为A与B均为△ABC的内角，所以A＝B，又由a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝ab2ab＝12，又0°C180°，所以C＝60°，所以△ABC为等边三角形．【答案】(1)A(2)D判定三角形形状的两种常用途径[提醒]“角化边”后要注意用因式分解、配方等方法得出边的相应关系；“边化角”后要注意用三角恒等变换公式、三角形内角和定理及诱导公式推出角的关系．1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cb＜cosA，则△ABC为()A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．等边三角形解析：选A.已知cb＜cosA，由正弦定理，得sinCsinB＜cosA，即sinC＜sinBcosA，所以sin(A＋B)＜sinBcosA，即sinBcosA＋cosBsinA－sinBcosA＜0，所以cosBsinA＜0.又sinA＞0，于是有cosB＜0，B为钝角，所以△ABC是钝角三角形．2．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若asinB＋bsinA＝2c，则△ABC是()A．等边三角形B．锐角三角形C．等腰直角三角形D．钝角三角形解析：选C.因为asinB＋bsinA＝2c，所以由正弦定理可得sinAsinB＋sinBsinA＝2sinC，而sinAsinB＋sinBsinA≥2sinAsinB·sinBsinA＝2，当且仅当sinA＝sinB时取等号，所以2sinC≥2，即sinC≥1.又sinC≤1，故可得sinC＝1，所以∠C＝90°.又因为sinA＝sinB，可得A＝B，故三角形为等腰直角三角形，故选C.求解与三角形面积有关的问题是高考的热点，三种题型在高考中时有出现，其试题为中档题．主要命题角度有：(1)求三角形的面积；(2)已知三角形的面积解三角形；(3)求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题．与三角形面积有关的问题(高频考点)角度一求三角形的面积(1)(2020·台州市高考模拟)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a