（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 第十章 计数原理与古典概率 第7讲 n次独立重复试验与二项

第十章计数原理与古典概率第7讲n次独立重复试验与二项分布1．事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝_____________，则称事件A与事件B相互独立．(2)性质：①若事件A与B相互独立，则P(B|A)＝_______，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝_____________．②如果事件A与B相互独立，那么______，______，_______也相互独立．P(A)P(B)P(B)P(A)P(B)A与B－A－与BA－与B－2．独立重复试验与二项分布独立重复试验二项分布定义在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为_________成功概率独立重复试验二项分布计算公式用Ai(i＝1，2，…，n)表示第i次试验结果，则P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(X＝k)＝Cknpk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)相互独立事件就是互斥事件．()(2)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．()(3)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.()×××设随机变量X～B6，12，则P(X＝3)等于()A．516B．316C．58D．38解析：选A.因为X～B6，12，所以P(X＝3)＝C36123×1－123＝516.某人射击，一次击中目标的概率为0.6，经过3次射击，此人至少有两次击中目标的概率为________．解析：可看作3次独立重复试验，则P＝C23×0.62×0.4＋0.63＝81125.答案：81125(教材习题改编)国庆期间，甲去北京旅游的概率为13，乙去北京旅游的概率为14，假定二人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________．解析：记在国庆期间“甲去北京旅游”为事件A，“乙去北京旅游”为事件B，又P(A－B－)＝P(A－)·P(B－)＝[1－P(A)][1－P(B)]＝1－131－14＝12，甲、乙二人至少有一人去北京旅游的对立事件为甲、乙二人都不去北京旅游，故所求概率为1－P(A－B－)＝1－12＝12.答案：12(2019·丽水模拟)甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p，且乙投球2次均未命中的概率为116.(1)求乙投球的命中率p；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率．相互独立事件的概率【解】(1)设“甲投一次球命中”为事件A，“乙投一次球命中”为事件B.由题意得：P(B－)P(B－)＝116，于是P(B－)＝14或P(B－)＝－14(舍去)．故p＝1－P(B－)＝34.(2)法一：由题设知，P(A)＝12，P(A－)＝12.故甲投球2次，至少命中1次的概率为1－P(A－·A－)＝34.法二：由题设知，P(A)＝12，P(A－)＝12.故甲投球2次，至少命中1次的概率为C12P(A)P(A－)＋P(A)P(A)＝34.利用相互独立事件求复杂事件概率的解题思路(1)将待求复杂事件转化为几个彼此互斥简单事件的和．(2)将彼此互斥简单事件中的简单事件，转化为几个已知(易求)概率的相互独立事件的积事件．(3)代入概率的积、和公式求解．1．在高三的某次模拟考试中，对于数学选修4系列的考查中，甲同学选做《不等式选讲》的概率为13，乙同学选做《不等式选讲》的概率为14，假定二人的选择相互之间没有影响，那么这次模拟考试中甲、乙两个同学至少有1人选做《不等式选讲》的概率为________．解析：记高三的某次模拟考试中“甲同学不选做《不等式选讲》”为事件A，“乙同学不选做《不等式选讲》”为事件B，且A，B相互独立．依题意，P(A)＝1－13＝23，P(B)＝1－14＝34.又P(AB)＝P(A)·P(B)＝23×34＝12.甲、乙二人至少有一人选做《不等式选讲》的对立事件为甲、乙二人都不选做《不等式选讲》，所求概率为1－P(AB)＝1－12＝12.答案：122．(2017·高考天津卷节选)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．解：(1)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X＝0)＝1－12×1－13×1－14＝14，P(X＝1)＝12×1－13×1－14＋1－12×13×1－14＋1－12×1－13×14＝1124，P(X＝2)＝1－12×13×14＋12×1－13×14＋12×13×1－14＝14，P(X＝3)＝12×13×14＝124.所以，随机变量X的分布列为X0123P14112414124(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)＝14×1124＋1124×14＝1148.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.(1)(2019·浙江省名校协作体高三联考)箱中装有标号为1，2，3，4，5，6且大小相同的6个球，从箱中一次摸出两个球，记下号码并放回，如果两球号码之积是4的倍数，则获奖．现有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是________．独立重复试验与二项分布(2)一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．①设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列．②玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？【解】(1)由题意知，首先求出摸一次中奖的概率，从6个球中摸出2个，共有C26＝15种结果，两个球的号码之积是4的倍数，共有(1，4)，(3，4)，(2，4)，(2，6)，(4，5)，(4，6)，所以摸一次中奖的概率是615＝25，4个人摸奖，相当于发生4次试验，且每一次获奖的概率是25，所以有4人参与摸奖，恰好有3人获奖的概率是C34×253×35＝96625.故填96625.(2)①X可能的取值为10，20，100，－200.根据题意，有P(X＝10)＝C13×121×1－122＝38，P(X＝20)＝C23×122×1－121＝38，P(X＝100)＝C33×123×1－120＝18，P(X＝－200)＝C03×120×1－123＝18.所以X的分布列为X1020100－200P38381818②设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai(i＝1，2，3)，则P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝P(X＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为1－P(A1A2A3)＝1－183＝1－1512＝511512.因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(1)独立重复试验满足的条件独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)二项分布满足的条件①每次试验中，事件发生的概率是相同的．②各次试验中的事件是相互独立的．③每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生．④随机变量是这n次独立重复试验中事件发生的次数．1．设随机变量X服从二项分布X～B5，12，则函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点的概率是()A．56B．45C．3132D．12解析：选C.因为函数f(x)＝x2＋4x＋X存在零点，所以Δ＝16－4X≥0，所以X≤4.因为X服从X～B5，12，所以P(X≤4)＝1－P(X＝5)＝1－125＝3132.2．在某校教师趣味投篮比赛中，比赛规则是：每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖．已知教师甲投进每个球的概率都是23.(1)记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列；(2)求教师甲在一场比赛中获奖的概率．解：(1)X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.依条件可知，X～B(6，23)，P(X＝k)＝Ck6·(23)k·(13)6－k(k＝0，1，2，3，4，5，6)．所以X的分布列为X0123456P1729424320243160729802436424364729(2)设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，则P(A)＝C24·(13)2·(23)4＋C14·13·(23)5＋(23)6＝3281，即教师甲在一场比赛中获奖的概率为3281.相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P(AB)＝P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．二项分布的理解(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．(2)对于二项分布，如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是P(X＝k)＝Cknpkqn－k，其中k＝0，1，…，n，q＝1－p.易错防范(1)运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A，B相互独立时，公式才成立．(2)独立重复试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中某事件发生的概率相等．注意恰好与至多(少)的关系，灵活运用对立事件．(3)注意二项分布与超几何分布的联系与区别．有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体数量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理．