（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 第十章 计数原理与古典概率 第6讲 离散型随机变量及其分布

第十章计数原理与古典概率第6讲离散型随机变量及其分布列1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果的变化_______的变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示．(2)离散型随机变量：所有取值可以_________的随机变量．而变化一一列出2．离散型随机变量的分布列及其性质(1)概念：一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则下表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的___________，简称为X的_______，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．概率分布列分布列(2)离散型随机变量的分布列的性质①pi≥__(i＝1，2，…，n)；②∑ni＝1pi＝__．3．常见的离散型随机变量分布列(1)两点分布若随机变量X服从两点分布，则其分布列为X01P_______其中p＝__________称为成功概率．011－ppP(X＝1)(2)超几何分布一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝CkMCn－kN－MCnN，k＝0，1，2，…，m，即：X01…mPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数．()(2)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．()(3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．()√√√(4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．()(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．()(6)由下表给出的随机变量X的分布列服从两点分布．()X25P0.30.7√√×(教材习题改编)设随机变量X的分布列如下表所示，则p4的值是()X1234P121418p4A.1B．12C．14D．18解析：选D.由分布列的性质，得12＋14＋18＋p4＝1，所以p4＝18.设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝k15，k＝1，2，3，4，5，则P12X52＝________．解析：P12X52＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝115＋215＝15.答案：15在含有3件次品的10件产品中任取4件，则取到次品数X的分布列为________．解析：由题意知，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4，所以分布列为P(X＝k)＝Ck3·C4－k7C410，k＝0，1，2，3.答案：P(X＝k)＝Ck3·C4－k7C410，k＝0，1，2，3设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列．离散型随机变量的分布列的性质【解】由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，解得m＝0.3.(1)2X＋1的分布列为2X＋113579P0.20.10.10.30.3(2)|X－1|的分布列为|X－1|0123P0.10.30.30.3在本例条件下，求P(1X≤4)．解：由本例知，m＝0.3，P(1X≤4)＝P(X＝2)＋(X＝3)＋P(X＝4)＝0．1＋0.3＋0.3＝0.7.离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负值；(2)若X为随机变量，则2X＋1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．1．设随机变量X等可能地取1，2，3，…，n，若P(X＜4)＝0.3，则n的值为()A．3B．4C．10D．不确定解析：选C.“X＜4”的含义为X＝1，2，3，所以P(X＜4)＝3n＝0.3，所以n＝10.2．随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________．解析：因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以b＝13，所以P(|X|＝1)＝a＋c＝23.又a＝13－d，c＝13＋d，根据分布列的性质，得0≤13－d≤23，0≤13＋d≤23，所以－13≤d≤13.答案：23－13，13(高频考点)离散型随机变量的分布列是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度不大，多为容易题或中档题．主要命题角度有：(1)用频率代替概率的离散型随机变量的分布列；(2)古典概型的离散型随机变量的分布列；(3)与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法．(下一讲内容)离散型随机变量的分布列角度一用频率代替概率的离散型随机变量的分布列某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量(件)0123频数1595试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列．【解】(1)P(当天商店不进货)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X的可能取值为2，3.P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝520＝14；P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X的分布列为X23P1434角度二古典概型的离散型随机变量的分布列(2019·浙江省名校协作体高三联考)一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红色球4个，编号分别为1，2，3，4；白色球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同)．(1)求取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率；(2)在取出的3个小球中，小球编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列．【解】(1)“设取出的3个小球中，含有编号为4的小球”为事件A，P(A)＝C12C24＋C22C14C36＝45，所以取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率为45.(2)X的可能取值为3，4，5.P(X＝3)＝1C36＝120；P(X＝4)＝C12C23＋C22C13C36＝920；P(X＝5)＝C35C36＝12，所以随机变量X的分布列为X345P12092012离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义．(2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率．(3)画表格：按规范要求形式写出分布列．(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．[提醒]求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和．某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n位校友(n8且n∈N*)，其中女校友6位，组委会对这n位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n的最大值；(2)当n＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X，求X的分布列．解：(1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为C1n－6C16C2n＝12（n－6）n（n－1），则12（n－6）n（n－1）≥12，化简得n2－25n＋144≤0，解得9≤n≤16，故n的最大值为16.(2)由题意得，X的可能取值为0，1，2，则P(X＝0)＝C26C212＝522，P(X＝1)＝C16C16C212＝611，P(X＝2)＝C26C212＝522，X的分布列为X012P522611522一个袋中有大小相同的黑球和白球共10个．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列．超几何分布【解】(1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A，设袋中白球的个数为x，则P(A)＝1－C210－xC210＝79，得到x＝5.故白球有5个．(2)X服从超几何分布，其中N＝10，M＝5，n＝3，P(X＝k)＝Ck5C3－k5C310，k＝0，1，2，3.于是可得其分布列为X0123P112512512112在本例条件下，若从袋中任意摸出4个球，记得到白球的个数为X，求随机变量X的分布列．解：X服从超几何分布，其中N＝10，M＝5，n＝4，P(X＝k)＝Ck5C4－k5C410，k＝0，1，2，3，4，于是可得其分布列为X01234P1425211021521142超几何分布的特点(1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出．(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列．解：(1)由已知，有P(A)＝C22C23＋C23C23C48＝635.所以，事件A发生的概率为635.(2)随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.P(X＝k)＝Ck5C4－k3C48(k＝1，2，3，4)．所以，随机变量X的分布列为X1234P1143737114对于随机变量X的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X的取值范围以及取这些值的概率．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X取各个值的概率．易错防范(1)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的．(2)对于分布列易忽视其性质p1＋p2＋…＋pn＝1及pi≥0(i＝1，2，…，n)，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．