（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 第2讲 导数在研究函数中的应用 第3

第三章导数及其应用第3课时导数与函数的综合问题(高频考点)角度一利用最值(极值)判断零点个数已知函数f(x)＝－12ax2＋(1＋a)x－lnx(a∈R)．(1)当a＞0时，求函数f(x)的单调递减区间；(2)当a＝0时，设函数g(x)＝xf(x)－k(x＋2)＋2.若函数g(x)在区间[12，＋∞)上有两个零点，求实数k的取值范围．利用导数研究函数的零点(方程根)的问题【解】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f(x)的导数为f′(x)＝－ax＋1＋a－1x＝－（ax－1）（x－1）x(a＞0)，①当a∈(0，1)时，1a＞1.由f′(x)＜0，得x＞1a或a＜1.所以f(x)的单调递减区间为(0，1)，1a，＋∞；②当a＝1时，恒有f′(x)≤0，所以f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；③当a∈(1，＋∞)时，1a＜1.由f′(x)＜0,得x＞1或x＜1a.所以f(x)的单调递减区间为(0，1a)，(1，＋∞)．综上，当a∈(0，1)时，f(x)的单调递减区间为(0，1)，1a，＋∞；当a＝1时，f(x)的单调递减区间为(0，＋∞)；当a∈(1，＋∞)时，f(x)的单调递减区间为(0，1a)，(1，＋∞)．(2)g(x)＝x2－xlnx－k(x＋2)＋2在x∈[12，＋∞)上有两个零点，即关于x的方程k＝x2－xlnx＋2x＋2在x∈[12，＋∞)上有两个不相等的实数根．令函数h(x)＝x2－xlnx＋2x＋2，x∈[12，＋∞)，则h′(x)＝x2＋3x－2lnx－4（x＋2）2，令函数p(x)＝x2＋3x－2lnx－4，x∈[12，＋∞)．则p′(x)＝（2x－1）（x＋2）x在[12，＋∞)上有p′(x)≥0，故p(x)在[12，＋∞)上单调递增．因为p(1)＝0，所以当x∈[12，1)时，有p(x)＜0，即h′(x)＜0，所以h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，有p(x)＞0，即h′(x)＞0，所以h(x)单调递增．因为h12＝910＋ln25，h(1)＝1，所以k的取值范围为1，910＋ln25.角度二构造函数法研究零点问题设函数f(x)＝12x2－mlnx，g(x)＝x2－(m＋1)x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当m≥1时，讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数．【解】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝x－mx＝x2－mx，m≤0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，＋∞)上递增，m＞0时，f′(x)＝（x＋m）（x－m）x，当0＜x＜m时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，当x＞m时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增．综上m≤0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；m＞0时，函数f(x)的单调增区间是(m，＋∞)，单调减区间是(0，m)．(2)令F(x)＝f(x)－g(x)＝－12x2＋(m＋1)x－mlnx，x＞0，问题等价于求函数F(x)的零点个数，F′(x)＝－（x－1）（x－m）x，当m＝1时，F′(x)≤0，函数F(x)为减函数，注意到F(1)＝32＞0，F(4)＝－ln4＜0，所以F(x)有唯一零点；当m＞1时，0＜x＜1或x＞m时F′(x)＜0，1＜x＜m时F′(x)＞0，所以函数F(x)在(0，1)和(m，＋∞)上单调递减，在(1，m)上单调递增，注意到F(1)＝m＋12＞0，F(2m＋2)＝－mln(2m＋2)＜0，所以F(x)有唯一零点，综上，函数F(x)有唯一零点，即两函数图象只有一个交点．利用导数研究函数零点或方程根的方法(1)通过最值(极值)判断零点个数的方法借助导数研究函数的单调性、极值后，通过极值的正负，函数单调性判断函数图象走势，从而判断零点个数或者通过零点个数求参数范围．(2)数形结合法求解零点对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性，画出草图数形结合确定其中参数的范围．(3)构造函数法研究函数零点①根据条件构造某个函数，利用导数确定函数的单调区间及极值点，根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系，从而求解．②解决此类问题的关键是将函数零点、方程的根、曲线交点相互转化，突出导数的工具作用，体现转化与化归的思想方法．(2019·绍兴市高三教学质量调测)已知函数f(x)＝13x3－ax2＋3x＋b(a，b∈R)．(1)当a＝2，b＝0时，求f(x)在[0，3]上的值域；(2)对任意的b，函数g(x)＝|f(x)|－23的零点不超过4个，求a的取值范围．解：(1)由f(x)＝13x3－2x2＋3x，得f′(x)＝x2－4x＋3＝(x－1)(x－3)．当x∈(0，1)时，f′(x)＞0，故f(x)在(0，1)上单调递增；当x∈(1，3)时，f′(x)＜0，故f(x)在(1，3)上单调递减．又f(0)＝f(3)＝0，f(1)＝43，所以f(x)在[0，3]上的值域为[0，43]．(2)由题得f′(x)＝x2－2ax＋3，Δ＝4a2－12，①当Δ≤0，即a2≤3时，f′(x)≥0，f(x)在R上单调递增，满足题意．②当Δ＞0，即a2＞3时，方程f′(x)＝0有两根，设两根为x1，x2，且x1＜x2，x1＋x2＝2a，x1x2＝3.则f(x)在(－∞，x1)，(x2，＋∞)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减．由题意知|f(x1)－f(x2)|≤43，即|x31－x323－a(x21－x22)＋3(x1－x2)|≤43.化简得43(a2－3)32≤43，解得3＜a2≤4，综合①②，得a2≤4，即－2≤a≤2.(高频考点)角度一证明函数不等式(2019·温州市高考模拟)设函数f(x)＝ex－1x，证明：(1)当x＜0时，f(x)＜1；(2)对任意a＞0，当0＜|x|＜ln(1＋a)时，|f(x)－1|＜a.利用导数研究不等式问题【证明】(1)因为当x＜0时，f(x)＜1，等价于xf(x)＞x，即xf(x)－x＞0，设g(x)＝xf(x)－x＝ex－1－x，所以g′(x)＝ex－1＜0在(－∞，0)上恒成立，所以g(x)在(－∞，0)上单调递减，所以g(x)＞g(0)＝1－1－0＝0，所以xf(x)－x＞0恒成立，所以x＜0时，f(x)＜1.(2)要证明当0＜|x|＜ln(1＋a)时，|f(x)－1|＜a，即证0＜x＜ln(1＋a)时，f(x)－1＜a，即证ex－1x＜a＋1，即证ex－1＜(a＋1)x即证ex－1－(a＋1)x＜0，令h(x)＝ex－1－(a＋1)x，所以h′(x)＝ex－(a＋1)＜eln(a＋1)－(a＋1)＝0，所以h(x)单调递减，所以h(x)＜h(0)＝0，同理可证当x＜0时，结论成立．所以对任意a＞0，当0＜|x|＜ln(1＋a)时，|f(x)－1|＜a.角度二不等式恒成立问题(2019·温州市普通高中高三模考)设a∈R，函数f(x)＝ax3＋x22＋x＋1，g(x)＝ex(e是自然对数的底数)．(1)证明：存在一条定直线l与曲线C1：y＝f(x)和C2：y＝g(x)都相切；(2)若f(x)≤g(x)对x∈R恒成立，求a的值．【解】(1)证明：函数f(x)，g(x)的导数分别为f′(x)＝3ax2＋x＋1，g′(x)＝ex，注意到对任意a∈R，f(0)＝g(0)＝1，f′(0)＝g′(0)＝1，故存在定直线l：y＝x＋1与曲线C1：y＝f(x)和C2：y＝g(x)都相切．(2)设函数F(x)＝ax3＋x22＋x＋1e－x，则对任意x∈R，都有F(x)≤1，因为对任意a∈R，都有F(0)＝1，故x＝0为F(x)的极大值点，F′(x)＝(3ax2＋x＋1)e－x－ax3＋x22＋x＋1e－x＝－ax＋3a－12x2e－x，记h(x)＝－ax＋3a－12，则F′(x)＝h(x)(x2e－x)，注意到在x＝0的附近，恒有x2e－x0，故要使x＝0为F(x)的极大值点，必须h(0)＝0，即3a－12＝0，从而a＝16，又当a＝16时，F′(x)＝－16x3e－x，则当x∈(－∞，0)时，F′(x)0，当x∈(0，＋∞)时，F′(x)0，于是F(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，故F(x)max＝F(0)，综上所述，a＝16.(1)利用导数证明不等式的方法证明f(x)＜g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)＜0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)≤0，由减函数的定义可知，当x∈(a，b)时，有F(x)＜0，即证明f(x)＜g(x)．(2)利用导数解决不等式的恒成立问题的策略①首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围．②也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．1．若ex≥k＋x在R上恒成立，则实数k的取值范围为()A．k≤1B．k≥1C．k≤－1D．k≥－1解析：选A.由ex≥k＋x，得k≤ex－x.令f(x)＝ex－x，所以f′(x)＝ex－1.f′(x)＝0时，x＝0，f′(x)＜0时，x＜0，f′(x)＞0时，x＞0.所以f(x)在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．所以f(x)min＝f(0)＝1.所以k的取值范围为k≤1，故选A.2．(2018·高考浙江卷)已知函数f(x)＝x－lnx.(1)若f(x)在x＝x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)＋f(x2)8－8ln2；(2)若a≤3－4ln2，证明：对于任意k0，直线y＝kx＋a与曲线y＝f(x)有唯一公共点．证明：(1)函数f(x)的导函数f′(x)＝12x－1x，由f′(x1)＝f′(x2)得12x1－1x1＝12x2－1x2，因为x1≠x2，所以1x1＋1x2＝12.由基本不等式得12x1x2＝x1＋x2≥24x1x2，因为x1≠x2，所以x1x2256.由题意得f(x1)＋f(x2)＝x1－lnx1＋x2－lnx2＝12x1x2－ln(x1x2)．设g(x)＝12x－lnx，则g′(x)＝14x(x－4)，所以x(0，16)16(16，＋∞)g′(x)－0＋g(x)2－4ln2所以g(x)在[256，＋∞)上单调递增，故g(x1x2)g(256)＝8－8ln2，即f(x1)＋f(x2)8－8ln2.(2)令m＝e－(|a|＋k)，n＝|a|＋1k2＋1，则f(m)－km－a|a|＋k－k－a≥0，f(n)－kn－an1n－an－k≤n|a|＋1n－k0，所以，存在x0∈(m，n)使f(x0)＝kx0＋a，所以，对于任意的a∈R及k∈(0，＋∞)，直线y＝kx＋a与曲线y＝f(x)有公共点．由f(x)＝kx＋a得k＝x－lnx－ax.设h(x)＝x－lnx－ax，则h′(x)＝lnx－x2－1＋ax2＝－g（x）－1＋ax2，其中g(x)＝x2－lnx.由(1)可知g(x)≥g(16)，又a≤3－4ln2，故－g(x)－1＋a≤－g(16)－1＋a＝－3＋4ln2＋a≤0，所以h′(x)≤0，即函数h(x)在(0，＋∞)上单调递减，因此方程f(x)－kx－a＝0至多1个实根．综上，当a≤3－4ln2时，对于任意k0，直线y＝kx＋a与曲线y＝f(x)有唯一公共点．利用导数证明不等式成立问题的常用方法(1)直接将不等式转化成某个函数最值问题．(2)将待证不等式转化为两个函数的最值进行比较证明．(3)若所证函数不等式通过移项后构成新函数的最值易求，可直接通过移项构造函数证明．构造函数法证明不等式步骤如下：①作辅助函数h(x)，一般取不等号两端的函数之差或之商为辅助函数；②对h(x)求导，并确定h′(x)在区间上的符号；③判断h(x)的单调性；④求出h(x)在所给区间上的极值；⑤根据函数单调性或极值的符号证明所需证明的不等式．若所证不等式两边关于某