（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 第1讲 变化率与导数、导数的计算课件

第三章导数及其应用知识点考纲下载变化率与导数、导数的计算了解导数的概念与实际背景，理解导数的几何意义．会用基本初等函数的导数公式表和导数运算法则求函数的导数，并能求简单的复合函数的导数(限于形如f(ax＋b)的导数).导数在研究函数中的应用了解函数单调性和导数的关系，能用导数求函数的单调区间．理解函数极值的概念及函数在某点取到极值的条件，会用导数求函数的极大(小)值，会求闭区间上函数的最大(小)值.第三章导数及其应用第1讲变化率与导数、导数的计算1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝limΔx→0ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0f（x0＋Δx）－f（x0）Δx.(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的___________(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为__________________________．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝_________________________为f(x)的导函数．切线的斜率y－y0＝f′(x0)(x－x0)limΔx→0f（x＋Δx）－f（x）Δx2．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝__f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝_______f(x)＝sinxf′(x)＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝__________f(x)＝ax(a0且a≠1)f′(x)＝axlnaf(x)＝exf′(x)＝___f(x)＝logax(x0，a0且a≠1)f′(x)＝_______f(x)＝lnx(x0)f′(x)＝___0nxn－1sinxex1xlna1x3.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝___________________；(2)[f(x)·g(x)]′＝_______________________________；(3)f（x）g（x）′＝_______________________________(g(x)≠0)．4．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝___________，即y对x的导数等于_____的导数与_________的导数的乘积．f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)f′（x）g（x）－f（x）g′（x）[g（x）]2yu′·ux′y对uu对x判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．()(2)求f′(x0)时，可先求f(x0)再求f′(x0)．()(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．()(4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．()(5)函数f(x)＝sin(－x)的导数是f′(x)＝cosx．()××√××(教材习题改编)函数y＝xcosx－sinx的导数为()A．xsinxB．－xsinxC．xcosxD．－xcosx解析：选B.y′＝x′cosx＋x(cosx)′－(sinx)′＝cosx－xsinx－cosx＝－xsinx.(教材习题改编)函数y＝f(x)的图象如图，则导函数f′(x)的大致图象为()解析：选B.由导数的几何意义可知，f′(x)为常数，且f′(x)＜0.已知函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值等于________．解析：f′(x)＝3ax2＋6x，f′(－1)＝3a－6＝4，所以a＝103.答案：103(教材习题改编)函数y＝xlnx与x轴的交点为P，则曲线y＝xlnx在点P处的切线方程为________．解析：由y＝0得xlnx＝0，即x＝1，所以P点的坐标为(1，0)．又y′＝lnx＋1，所以曲线在点P处的切线斜率为y′|x＝1＝ln1＋1＝1.故切线方程为y＝x－1.答案：y＝x－1求下列函数的导数：(1)y＝(3x2－4x)(2x＋1)；(2)y＝x2sinx；(3)y＝3xex－2x＋e；(4)y＝ln(2x－5)．导数的计算【解】(1)因为y＝(3x2－4x)(2x＋1)＝6x3＋3x2－8x2－4x＝6x3－5x2－4x，所以y′＝18x2－10x－4.(2)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(3)y′＝(3xex)′－(2x)′＋e′＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′＝3xexln3＋3xex－2xln2＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2.(4)令u＝2x－5，y＝lnu，则y′＝(lnu)′u′＝12x－5·2＝22x－5.[提醒]求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．1．已知f(x)＝x(2017＋lnx)，若f′(x0)＝2018，则x0＝()A．e2B．1C．ln2D．e解析：选B.因为f(x)＝x(2017＋lnx)，所以f′(x)＝2017＋lnx＋1＝2018＋lnx，又f′(x0)＝2018，所以2018＋lnx0＝2018，所以x0＝1.2．求下列函数的导数：(1)y＝xnex；(2)y＝cosxsinx；(3)y＝exlnx；(4)y＝(1＋sinx)2.解：(1)y′＝nxn－1ex＋xnex＝xn－1ex(n＋x)．(2)y′＝－sin2x－cos2xsin2x＝－1sin2x.(3)y′＝exlnx＋ex·1x＝ex1x＋lnx.(4)y′＝2(1＋sinx)·(1＋sinx)′＝2(1＋sinx)·cosx.导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有选择题也有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，属中低档题．主要命题角度有：(1)求切线方程；(2)已知切线方程(或斜率)求切点坐标；(3)已知切线方程(或斜率)求参数值．导数的几何意义(高频考点)角度一求切线方程(1)(2017·高考全国卷Ⅰ)曲线y＝x2＋1x在点(1，2)处的切线方程为____________________．(2)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为________．【解析】(1)因为y′＝2x－1x2，所以在点(1，2)处的切线方程的斜率为y′|x＝1＝2×1－112＝1，所以切线方程为y－2＝x－1，即y＝x＋1.(2)因为点(0，－1)不在曲线f(x)＝xlnx上，所以设切点为(x0，y0)．又因为f′(x)＝1＋lnx，所以y0＝x0lnx0，y0＋1＝（1＋lnx0）x0，解得x0＝1，y0＝0.所以切点为(1，0)，所以f′(1)＝1＋ln1＝1.所以直线l的方程为y＝x－1.【答案】(1)y＝x＋1(2)y＝x－1角度二已知切线方程(或斜率)求切点坐标若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．【解析】设P(x0，y0)，因为y＝e－x，所以y′＝－e－x，所以点P处的切线斜率为k＝－e－x0＝－2，所以－x0＝ln2，所以x0＝－ln2，所以y0＝eln2＝2，所以点P的坐标为(－ln2，2)．【答案】(－ln2，2)角度三已知切线方程(或斜率)求参数值(1)(2019·宁波调研)直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1，3)，则2a＋b的值等于()A．2B．－1C．1D．－2(2)(2019·绍兴调研)若直线y＝ax是曲线y＝2lnx＋1的一条切线，则实数a＝________．【解析】(1)依题意知，y′＝3x2＋a，则13＋a＋b＝3，3×12＋a＝k，k＋1＝3，由此解得a＝－1，b＝3，k＝2，所以2a＋b＝1，选C.(2)依题意，设直线y＝ax与曲线y＝2lnx＋1的切点的横坐标为x0，则有y′|x＝x0＝2x0，于是有a＝2x0ax0＝2lnx0＋1，解得x0＝e，a＝2x0＝2e－12.【答案】(1)C(2)2e－12(1)求曲线切线方程的步骤①求出函数y＝f(x)在点x＝x0处的导数，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率；②由点斜式方程求得切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．(2)求曲线的切线方程需注意两点①当曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线垂直于x轴(此时导数不存在)时，切线方程为x＝x0；②当切点坐标不知道时，应首先设出切点坐标，再求解．1．(2019·杭州七校联考)曲线y＝e12x在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为()A．92e2B．4e2C．2e2D．e2解析：选D.因为y′＝12e12x，所以k＝12e12×4＝12e2，所以切线方程为y－e2＝12e2(x－4)，令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝2，所以所求面积为S＝12×2×|－e2|＝e2.2．已知函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex(其中e是自然对数的底数，a∈R)，若f(x)在(0，f(0))处的切线与直线x＋y－1＝0垂直，则a＝________．解析：f′(x)＝(x2＋ax－1)′ex＋(x2＋ax－1)(ex)′＝(2x＋a)ex＋(x2＋ax－1)ex＝[x2＋(a＋2)x＋(a－1)]ex，故f′(0)＝[02＋(a＋2)×0＋(a－1)]e0＝a－1.因为f(x)在(0，f(0))处的切线与直线x＋y－1＝0垂直，故f′(0)＝1，即a－1＝1，解得a＝2.答案：23．(2019·台州高三月考)已知曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)与直线x＝1交于点P，设曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则log2018x1＋log2018x2＋…＋log2018x2017的值为________．解析：f′(x)＝(n＋1)xn，k＝f′(1)＝n＋1，点P(1，1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0，得x＝1－1n＋1＝nn＋1，即xn＝nn＋1.所以x1·x2·…·x2017＝12×23×34×…×20162017×20172018＝12018.则log2018x1＋log2018x2＋…＋log2018x2017＝log2018(x1·x2·…·x2017)＝log201812018＝－1.答案：－1若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________．两条曲线的公切线【解析】设y＝kx＋b与y＝lnx＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1，lnx1＋2)和(x2，ln(x2＋1))．则切线分别为y－lnx1－2＝1x1(x－x1)，y－ln(x2＋1)＝1x2＋1(x－x2)，化简得y＝1x1x＋lnx1＋1，y＝1x2＋1x－x2x2＋1＋ln(x2＋1)，依题意，1x1＝1x2＋1，lnx1＋1＝－x2x2＋1＋ln（x2＋1），解得x1＝12，从而b＝lnx1＋1＝1－ln2.【答案】1－ln2求两条曲线的公切线的方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一条曲线相切，列出关系式求解．(2)利用公切线得出关系式．设公切线l在y＝f(x)上的切点P1(x1，y1)，在y＝g(x)上的切点P2(x2，y2)，则f′(x1)＝g′(x2)＝f（x1）－g（x2）x1－x2.1．已知函数f(x)＝x2－4x＋4，g(x)＝x－1，则f(x)和g(x)的公切线的条数为()A．三条B．二条C．一条D．0条解析：选A.设公切线与f(x)和g(x)分别相切于点(m，f(m))