（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第8讲 直线与椭圆、抛物线的位置关系

第九章平面解析几何第8讲直线与椭圆、抛物线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C1与直线方程l联立消去y，整理得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.方程ax2＋bx＋c＝0的解l与C1的交点a＝0b＝0无解(含l是双曲线的渐近线)_________b≠0有一解(含l与抛物线的对称轴平行(重合)或与双曲线的渐近线平行)_________无公共点一个交点a≠0Δ＞0两个_______的解_________Δ＝0两个相等的解_________Δ＜0无实数解_______(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．不相等两个交点一个交点无交点2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2（x1＋x2）2－4x1x2＝1＋1k2|y1－y2|＝1＋1k2（y1＋y2）2－4y1y2.3．与抛物线焦点弦有关的常用结论(以右图为依据)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．(1)y1y2＝－p2，x1x2＝p24.(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ(θ为AB的倾斜角)．(3)1|AF|＋1|BF|为定值2p.(4)以AB为直径的圆与准线相切．(5)以AF或BF为直径的圆与y轴相切．已知直线x－y－1＝0与抛物线y＝ax2相切，则a等于()A．12B．13C．14D．4解析：选C.由x－y－1＝0，y＝ax2，消去y得ax2－x＋1＝0，所以a≠0，1－4a＝0，解得a＝14.(2019·舟山市普陀三中高三期中)已知直线y＝x－2，则直线被椭圆x24＋y2＝1截得的弦长是()A．25B．225C．425D．2解析：选C.设直线与椭圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立y＝x－2x2＋4y2＝4，化简得5x2－16x＋12＝0，所以x1＋x2＝165，x1x2＝125.所以|AB|＝（1＋1）[（x1＋x2）2－4x1x2]＝2×1652－4×125＝425.过点0，－12的直线l与抛物线y＝－x2交于A、B两点，O为坐标原点，则OA→·OB→的值为()A．－12B．－14C．－4D．无法确定解析：选B.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，直线l的方程为y＝kx－12，代入抛物线方程得2x2＋2kx－1＝0，由此得x1＋x2＝－k，x1x2＝－12，所以OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋kx1－12kx2－12＝(k2＋1)·x1x2－12k(x1＋x2)＋14＝－12(k2＋1)－12k·(－k)＋14＝－14.故选B.过点A(1，0)作倾斜角为π4的直线，与抛物线y2＝2x交于M、N两点，则|MN|＝________．解析：过A(1，0)且倾斜角为π4的直线方程为y＝x－1，代入y2＝2x得x2－4x＋1＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，有x1＋x2＝4，x1x2＝1，所以|MN|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1·（x1＋x2）2－4x1x2＝2·16－4＝26.答案：26在平面直角坐标系xOy中，椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的焦距为2c，以O为圆心、a为半径作⊙O.若过Pa2c，0作⊙O的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为________．解析：如图，设切线PA，PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故a2c＝2a，解得e＝ca＝22.答案：22(2019·浙江省名校协作体高三联考)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，经过椭圆C上一点P的直线l：y＝－24x＋322与椭圆C有且只有一个公共点，且点P的横坐标为2.直线与椭圆的位置关系(1)求椭圆C的标准方程；(2)若AB是椭圆的一条动弦，且|AB|＝52，O为坐标原点，求△AOB面积的最大值．【解】(1)因为P(2，2)在椭圆上，故4a2＋2b2＝1，同时联立b2x2＋a2y2＝a2b2y＝－24x＋322，得b2x2＋a2－24x＋3222＝a2b2，化简得b2＋18a2x2－32a2x＋92a2－a2b2＝0，由Δ＝0，可得a2＝12，b2＝3，故椭圆C的标准方程为x212＋y23＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，当直线AB斜率存在时，直线AB方程为y＝kx＋b1，联立x2＋4y2＝12y＝kx＋b1得(4k2＋1)x2＋8kb1x＋4(b21－3)＝0，故x1＋x2＝－8kb11＋4k2，x1x2＝4（b21－3）1＋4k2，由254＝|AB|2＝(1＋k2)(x2－x1)2＝(1＋k2)[(x2＋x1)2－4x1x2]，得b21＝3(1＋4k2)－25（1＋4k2）264（1＋k2），故原点O到直线AB的距离d＝|b1|1＋k2，所以S＝54·|b1|1＋k2，令u＝1＋4k21＋k2，则S2＝－6251024u2－19225u＝－6251024u－96252＋9.又因为u＝1＋4k21＋k2＝4－31＋k2∈[1，4)，当u＝9625时，S2max＝9，当斜率不存在时，△AOB的面积为5238，综上所述可得△AOB面积的最大值为3.判断直线与椭圆位置关系的步骤(1)联立直线方程与椭圆方程；(2)消元得出关于x(或y)的一元二次方程；(3)当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＜0时，直线与椭圆相离．(2019·舟山市普陀三中高三期中)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝63，它的一个顶点在抛物线x2＝42y的准线上．(1)求椭圆C的方程；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆C上两点，已知m＝x1a，y1b，n＝x2a，y2b，且m·n＝0.①求OA→·OB→的取值范围；②判断△OAB的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．解：(1)因为抛物线x2＝42y的准线为y＝－2，所以b＝2.由e＝63⇒a2－b2a2＝23⇒a＝6.所以椭圆C的方程为x26＋y22＝1.(2)①由m·n＝0得x1x2＝－3y1y2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)所在直线为l，当l斜率不存在时，则A(x1，y1)，B(x1，－y1)，所以x21＝3y21，又x216＋y212＝1，所以y21＝1.所以OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝2y21＝2.当l斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋m，联立y＝kx＋mx2＋3y2＝6得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3m2－6＝0，所以Δ＝36k2m2－12(3k2＋1)(m2－2)＝12(6k2－m2＋2)＞0，(ⅰ)且x1＋x2＝－6km3k2＋1，x1x2＝3m2－63k2＋1.由x1x2＝－3y1y2＝－3(kx1＋m)(kx2＋m)⇒(1＋3k2)x1x2＋3km(x1＋x2)＋3m2＝0，整理得1＋3k2＝m2.(ⅱ)所以OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝23x1x2＝2m2－41＋3k2＝2m2－4m2＝2－4m2，由(ⅰ)，(ⅱ)得m2＝1＋3k2≥1，所以0＜4m2≤4，所以－2≤OA→·OB→＜2.综上可得－2≤OA→·OB→≤2.②由①知，l斜率不存在时，S△OAB＝|x1y1|＝3y21＝3，l斜率存在时，S△OAB＝12|AB|d＝121＋k2|x1－x2|·|m|1＋k2＝3|m|2＋6k2－m21＋3k2，将m2＝1＋3k2代入整理得S△OAB＝3，所以△OAB的面积为定值3.(2019·瑞安四校联考)已知抛物线的方程为x2＝2py(p0)，其焦点为F，点O为坐标原点，过焦点F作斜率为k(k≠0)的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的两条切线，设两条切线交于点M.(1)求OA→·OB→；(2)设直线MF与抛物线交于C，D两点，且四边形ACBD的面积为323p2，求直线AB的斜率k.直线与抛物线的位置关系【解】(1)设直线AB的方程为y＝kx＋p2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x2＝2py，y＝kx＋p2，得x2－2pkx－p2＝0，则x1＋x2＝2pk，x1·x2＝－p2，所以OA→·OB→＝x1·x2＋y1·y2＝－34p2.(2)由x2＝2py，知y′＝xp，所以抛物线在A，B两点处的切线的斜率分别为x1p，x2p，所以直线AM的方程为y－y1＝x1p(x－x1)，直线BM的方程为y－y2＝x2p(x－x2)，则可得Mpk，－p2.所以kMF＝－1k，所以直线MF与AB相互垂直．由弦长公式知，|AB|＝k2＋1|x1－x2|＝k2＋1·4p2k2＋4p2＝2p(k2＋1)，用－1k代替k得，|CD|＝2p1k2＋1，四边形ACBD的面积S＝12·|AB|·|CD|＝2p2·2＋k2＋1k2＝323p2，解得k2＝3或k2＝13，即k＝±3或k＝±33.解决直线与抛物线位置关系的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝|x1|＋|x2|＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．[提醒]涉及弦的中点、斜率时，一般用“点差法”求解．(2019·嘉兴市高三上学期期末)已知抛物线C的方程为y2＝2px(p＞0)，抛物线的焦点到直线l：y＝2x＋2的距离为455.(1)求抛物线C的方程；(2)设点R(x0，2)在抛物线C上，过点Q(1，1)作直线交抛物线C于不同于R的两点A，B，若直线AR，BR分别交直线l于M，N两点，求|MN|最小时直线AB的方程．解：(1)抛物线的焦点为p2，0，d＝|p＋2|5＝455，得p＝2或－6(舍去)，所以抛物线C的方程为y2＝4x.(2)因为点R(x0，2)在抛物线C上，所以x0＝1，得R(1，2)．设直线AB为x＝m(y－1)＋1(m≠0)，A14y21，y1，B14y22，y2，由x＝m（y－1）＋1y2＝4x得y2－4my＋4m－4＝0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝4m－4，直线AR方程为y－2＝y1－214y21－1(x－1)＝4y1＋2(x－1)，由y－2＝4y1＋2（x－1）y＝2x＋2，得xM＝－2y1，同理xN＝－2y2，所以|MN|＝5|xM－xN|＝251y2－1y1＝25m2－m＋1|m－1|＝251＋mm2－2m＋1＝251＋1m－2＋1m，所以当m＝－1时，|MN|min＝15，此时直线AB的方程为x＋y－2＝0.如图，设椭圆x2a2＋y2＝1(a＞1)．(1)求直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段长(用a，k表示)；(2)若任意以点A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围．弦长问题【解】(1)设直线y＝kx＋1被椭圆截得的线段为AP，由y＝kx＋1x2a2＋y2＝1得(1＋a2k2)x2＋2a2kx＝0，故x1＝0，x2＝－2a2k1＋a2k2.因此|AP|＝1＋k2|x1－x2|＝2a2|k|1＋a2k2·1＋k2.(2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y轴左侧的椭圆上有两个不同的点P，Q，满足|AP|＝|AQ|.记直线AP，AQ的斜率分别为k1，k2，且k1，k2＞0，k1≠k2.由(1)知，|AP|＝2a2|k1|1＋k211＋a2k21，|AQ|＝2a2|k2|1＋k221＋a2k22，故2a2|