（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 第2讲 两直线的位置关系课件

第九章平面解析几何第2讲两直线的位置关系1．两直线的平行、垂直与其斜率的关系条件两直线的位置关系斜率的关系两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1，k2平行_______k1与k2都不存在垂直__________k1与k2一个为零、另一个不存在k1＝k2k1k2＝－12.两直线的交点3．三种距离点点距点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝________________________点线距点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝___________________线线距两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝____________________（x2－x1）2＋（y2－y1）2|Ax0＋By0＋C|A2＋B2|C1－C2|A2＋B24.几种常见的直线系方程(1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．(2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程：Bx－Ay＋λ＝0.(3)过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0)．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1＝k2⇒l1∥l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于－1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交．()(4)已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，若直线l1⊥l2，则A1A2＋B1B2＝0.()(5)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离．()××√√√(教材习题改编)直线l过点(－1，2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则直线l的方程是()A．3x＋2y－1＝0B．3x＋2y＋7＝0C．2x－3y＋5＝0D．2x－3y＋8＝0解析：选A.由题意知，直线l的斜率是－32，因此直线l的方程为y－2＝－32(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.已知点(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于()A．2B．2－2C．2－1D．2＋1解析：选C.由题意知|a－2＋3|2＝1，所以|a＋1|＝2，又a＞0，所以a＝2－1.(教材习题改编)已知直线l1：ax＋3y＋1＝0，l2：2x＋(a＋1)y＋1＝0互相平行，则实数a的值是________．解析：由直线l1与l2平行，可得a（a＋1）＝2×3，a·1≠2，解得a＝－3.答案：－3若三条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0和x＋by＝0相交于一点，则b＝________．解析：由2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0解得x＝－1，y＝－2.将其代入x＋by＝0，得b＝－12.答案：－12(1)(2019·金丽衢十二校高三联考)设两直线l1：(3＋m)x＋4y＝5－3m与l2：2x＋(5＋m)y＝8，则“l1∥l2”是“m＜－1”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程为________．两条直线平行与垂直【解析】(1)若l1∥l2，则(3＋m)(5＋m)＝4×2⇒m＝－1或－7，经检验，当m＝－1时，l1与l2重合，所以m＝－7，故是充分不必要条件，故选A.(2)由方程组x－2y＋4＝0，x＋y－2＝0，得x＝0，y＝2，即P(0，2)．因为l⊥l3，所以直线l的斜率k＝－43，所以直线l的方程为y－2＝－43x，即4x＋3y－6＝0.【答案】(1)A(2)4x＋3y－6＝0将本例(2)中条件“与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直”改为“与直线l3：3x－4y＋5＝0平行”，求此时直线l的方程．解：由方程组x－2y＋4＝0，x＋y－2＝0，得x＝0，y＝2，即P(0，2)．因为l∥l3，所以直线l的斜率k＝34，所以直线l的方程为y－2＝34x，即3x－4y＋8＝0.由一般式确定两直线位置关系的方法直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A21＋B21≠0)l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A22＋B22≠0)l1与l2垂直的充要条件A1A2＋B1B2＝0l1与l2平行的充分条件A1A2＝B1B2≠C1C2(A2B2C2≠0)l1与l2相交的充分条件A1A2≠B1B2(A2B2≠0)l1与l2重合的充分条件A1A2＝B1B2＝C1C2(A2B2C2≠0)已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解：(1)因为l1⊥l2，所以a(a－1)－b＝0.又因为直线l1过点(－3，－1)，所以－3a＋b＋4＝0.故a＝2，b＝2.(2)因为直线l2的斜率存在，l1∥l2，所以直线l1的斜率存在．所以ab＝1－a.①又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，所以l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即4b＝b.②联立①②可得a＝2，b＝－2或a＝23，b＝2.距离包括两点间、点到直线和两平行线间的距离．在高考中经常出现，试题难度不大．主要命题角度有：(1)求距离；(2)已知距离求参数值；(3)距离公式的综合应用．距离公式(高频考点)角度一求距离已知A、B两点分别在两条互相垂直的直线2x－y＝0和x＋ay＝0上，且线段AB的中点为P(0，10a)，则线段AB的长为________．【解析】依题意，a＝2，P(0，5)，设A(x，2x)、B(－2y，y)，故x－2y＝02x＋y＝10，则A(4，8)、B(－4，2)，所以|AB|＝（4＋4）2＋（8－2）2＝10.【答案】10角度二已知距离求参数值(1)已知点P(4，a)到直线4x－3y－1＝0的距离不大于3，则a的取值范围是()A．[－10，10]B．[－10，5]C．[－5，5]D．[0，10](2)若两平行直线3x－2y－1＝0，6x＋ay＋c＝0之间的距离为21313，则c的值是________．【解析】(1)由题意得，点P到直线的距离为|4×4－3·a－1|5＝|15－3a|5.又|15－3a|5≤3，即|15－3a|≤15，解得0≤a≤10，所以a的取值范围是[0，10]．(2)依题意知，63＝a－2≠c－1，解得a＝－4，c≠－2，即直线6x＋ay＋c＝0可化为3x－2y＋c2＝0，又两平行线之间的距离为21313，所以c2＋132＋（－2）2＝21313，因此c＝2或－6.【答案】(1)D(2)2或－6角度三距离公式的综合应用(1)P点在直线3x＋y－5＝0上，且P点到直线x－y－1＝0的距离为2，则P点的坐标为()A．(1，2)B．(2，1)C．(1，2)或(2，－1)D．(2，1)或(－1，2)(2)在△ABC中，A(1，1)，B(m，m)(1m4)，C(4，2)，则当△ABC的面积最大时，m＝________．【解析】(1)设P点坐标为(x，5－3x)，则P点到直线x－y－1＝0的距离d＝|x－（5－3x）－1|2＝|4x－6|2＝2，所以|2x－3|＝1，所以x＝1或x＝2.所以P点坐标为(1，2)或(2，－1)．(2)由两点间距离公式可得|AC|＝10，直线AC的方程为x－3y＋2＝0，所以点B到直线AC的距离d＝|m－3m＋2|10，所以△ABC的面积S＝12|AC|·d＝12|m－3m＋2|＝12|m－322－14|，又1m4，所以1m2，所以当m＝32，即m＝94时，S取得最大值．【答案】(1)C(2)94距离的求法(1)点到直线的距离可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式．(2)两平行直线间的距离①利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离；②利用两平行线间的距离公式．1．已知A(2，0)，B(0，2)，若点C在函数y＝x2的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为()A．4B．3C．2D．1解析：选A.设点C(t，t2)，直线AB的方程是x＋y－2＝0，|AB|＝22.由于△ABC的面积为2，则这个三角形中AB边上的高h满足方程12×22h＝2，即h＝2.由点到直线的距离公式得2＝|t＋t2－2|2，即|t＋t2－2|＝2，即t2＋t－2＝2或者t2＋t－2＝－2.因为这两个方程各有两个不相等的实数根，故这样的点C有4个．2．与直线l1：3x＋2y－6＝0和直线l2：6x＋4y－3＝0等距离的直线方程是________．解析：l2：6x＋4y－3＝0化为3x＋2y－32＝0，所以l1与l2平行，设与l1，l2等距离的直线l的方程为3x＋2y＋c＝0，则：|c＋6|＝|c＋32|，解得c＝－154，所以l的方程为12x＋8y－15＝0.答案：12x＋8y－15＝0已知直线l：2x－3y＋1＝0，点A(－1，－2)．求：(1)点A关于直线l的对称点A′的坐标；(2)直线m：3x－2y－6＝0关于直线l的对称直线m′的方程；(3)直线l关于点A(－1，－2)对称的直线l′的方程．对称问题【解】(1)设A′(x，y)，由已知y＋2x＋1×23＝－1，2×x－12－3×y－22＋1＝0，解得x＝－3313，y＝413.所以A′－3313，413.(2)在直线m上取一点，如M(2，0)，则M(2，0)关于直线l的对称点M′必在直线m′上．设M′(a，b)，则2×a＋22－3×b＋02＋1＝0，b－0a－2×23＝－1.解得M′613，3013.设直线m与直线l的交点为N，则由2x－3y＋1＝0，3x－2y－6＝0.得N(4，3)．又因为m′经过点N(4，3)，所以由两点式得直线m′的方程为9x－46y＋102＝0.(3)设P(x，y)为l′上任意一点，则P(x，y)关于点A(－1，－2)的对称点为P′(－2－x，－4－y)，因为P′在直线l上，所以2(－2－x)－3(－4－y)＋1＝0，即2x－3y－9＝0.1．与直线Ax＋By＋C＝0(A，B≠0)关于y轴对称的直线的方程为()A．Ax－By－C＝0B．Ax＋By－C＝0C．Ax－By＋C＝0D．Bx＋Ay＋C＝0解析：选A.因为点(x，y)关于y轴的对称点为(－x，y)，将直线Ax＋By＋C＝0(A，B≠0)中的x用－x代换得－Ax＋By＋C＝0，即Ax－By－C＝0，故选A.2．如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到点P，则光线所经过的路程是________．解析：直线AB的方程为x＋y＝4，点P(2，0)关于直线AB的对称点为D(4，2)，关于y轴的对称点为C(－2，0)，则光线经过的路程为|CD|＝62＋22＝210.答案：210求两直线交点坐标及过交点的直线的设法(1)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设方程组A1x＋B1y＋C1＝0A2x＋B2y＋C2＝0有唯一一组解(x0，y0)，即为两直线l1与l2的交点坐标．(2)过直线l1与l2交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(注：该直线系不包含直线l2)．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：Bx－Ay＋m＝0(m∈R)；(2)平行：Ax＋By＋n＝0(n∈R，且n≠C)．解决对称问题应抓住以下两点(1)已知点与对称点的连