（浙江专用）2020版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 第5讲 直线、平面垂直的判定及

第八章立体几何与空间向量第5讲直线、平面垂直的判定及其性质1．直线与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一条直线与一个平面内的_____________都垂直，则该直线与此平面垂直a，b⊂αa∩b＝Ol⊥al⊥b⇒l⊥α两条相交直线文字语言图形语言符号语言性质定理垂直于同一个平面的两条直线_____a⊥αb⊥α⇒a∥b平行2.平面与平面垂直的判定定理与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面过另一个平面的_____，则这两个平面互相垂直l⊂βl⊥α⇒α⊥β性质定理两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于_____的直线垂直于另一个平面α⊥βl⊂βα∩β＝al⊥a⇒l⊥α垂线交线3.空间角(1)直线与平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的_____，叫做这条直线和这个平面所成的角，如图，______就是斜线AP与平面α所成的角．②线面角θ的范围：θ∈_________．锐角∠PAO0，π2(2)二面角①定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．两个半平面叫做___________．如图的二面角，可记作：二面角________或二面角_________．二面角的面α­l­βP­AB­Q②二面角的平面角如图，过二面角α­l­β的棱l上一点O在两个半平面内分别作BO⊥l，AO⊥l，则________就叫做二面角α­l­β的平面角．③二面角的范围设二面角的平面角为θ，则θ∈_________．④当θ＝___时，二面角叫做直二面角．∠AOB[0，π]π2判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)已知直线a，b，c，若a⊥b，b⊥c，则a∥c.()(2)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.()(3)设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，若m∥n，m⊥α，则n⊥α.()(4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．()(5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.()××√××已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n解析：选C.因为α∩β＝l，所以l⊂β，又n⊥β，所以n⊥l.(2019·浙江省高中学科基础测试)已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β且m⊥αB．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥βD．m⊥n且n∥β解析：选C.依题意，对于A，注意到直线m可能位于平面β内，因此选项A不正确；对于B，注意到直线m可能位于平面β内且与它们的交线平行，因此选项B不正确；对于C，由定理“若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”得知，C正确；对于D，注意到直线m可能位于平面β内，因此选项D不正确．综上所述，选C.(教材习题改编)线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为________．解析：如图，AC⊥α，AB∩α＝B，则BC是AB在平面α内的射影，则BC＝12AB，所以∠ABC＝60°，它是AB与平面α所成的角．答案：60°(教材习题改编)P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC，其中正确的个数是________．解析：如图所示．因为PA⊥PC，PA⊥PB，PC∩PB＝P，所以PA⊥平面PBC.又因为BC⊂平面PBC，所以PA⊥BC.同理，PB⊥AC，PC⊥AB.但AB不垂直于BC.答案：3(1)在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：①CD⊥AE；②PD⊥平面ABE.线面垂直的判定与性质(2)(2019·嘉兴调研)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，BC＝2，∠CBA＝π3，ABEF为直角梯形，BE∥AF，∠BAF＝π2，BE＝2，AF＝3，平面ABCD⊥平面ABEF.①求证：AC⊥平面ABEF；②求三棱锥D­AEF的体积．【解】(1)证明：①在四棱锥P­ABCD中，因为PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD，因为AC⊥CD，且PA∩AC＝A，所以CD⊥平面PAC，而AE⊂平面PAC，所以CD⊥AE.②由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.因为E是PC的中点，所以AE⊥PC.由①知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，所以AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，所以AE⊥PD.因为PA⊥底面ABCD，所以PA⊥AB.又因为AB⊥AD且PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.又因为AB∩AE＝A，所以PD⊥平面ABE.(2)①证明：在△ABC中，AB＝1，∠CBA＝π3，BC＝2，所以AC2＝BA2＋BC2－2BA×BCcos∠CBA＝3，所以AC2＋BA2＝BC2，所以AB⊥AC.又因为平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF＝AB，AC⊂平面ABCD，所以AC⊥平面ABEF.②连接CF.因为CD∥AB，所以CD∥平面ABEF，所以点D到平面ABEF的距离等于点C到平面ABEF的距离，又AC＝3，所以VD­AEF＝VC­AEF＝13×12×3×1×3＝32.判定线面垂直的四种方法[提醒]证明线面垂直问题一般常见两种题型；①推理证明型；②计算证明型(即利用夹角、边等计算后判断垂直关系)．1．(2017·高考全国卷Ⅲ)在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则()A．A1E⊥DC1B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1D．A1E⊥AC解析：选C.由正方体的性质，得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1，所以BC1⊥平面A1B1CD，又A1E⊂平面A1B1CD，所以A1E⊥BC1，故选C.2．S是Rt△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC，D为斜边AC的中点．(1)求证：SD⊥平面ABC；(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.证明：(1)如图所示，取AB的中点E，连接SE，DE，在Rt△ABC中，D、E分别为AC、AB的中点，所以DE∥BC，所以DE⊥AB，因为SA＝SB，所以△SAB为等腰三角形，所以SE⊥AB.又SE∩DE＝E，所以AB⊥平面SDE.又SD⊂平面SDE，所以AB⊥SD.在△SAC中，SA＝SC，D为AC的中点，所以SD⊥AC.又AC∩AB＝A，所以SD⊥平面ABC.(2)由于AB＝BC，则BD⊥AC，由(1)可知，SD⊥平面ABC，又BD⊂平面ABC，所以SD⊥BD，又SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC.(2019·浙江省名校协作体高三联考)如图，将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折，连接AC，FD，形成如图所示的多面体，且AC＝6.证明：平面ABEF⊥平面BCDE.面面垂直的判定与性质【证明】在正六边形ABCDEF中，连接AC，BE，交点为G，易知AC⊥BE，且AG＝CG＝3，在多面体中，由AC＝6，知AG2＋CG2＝AC2，故AG⊥GC，又GC∩BE＝G，GC，BE⊂平面BCDE，故AG⊥平面BCDE，又AG⊂平面ABEF，所以平面ABEF⊥平面BCDE.(1)判定面面垂直的方法①面面垂直的定义；②面面垂直的判定定理(a⊥β，a⊂α⇒α⊥β)．(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．(2017·高考山东卷)由四棱柱ABCD­A1B1C1D1截去三棱锥C1­B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.(1)证明：A1O∥平面B1CD1;(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.证明：(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，由于ABCD­A1B1C1D1是四棱柱，所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C，又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点，所以EM⊥BD，又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A1E⊥BD，因为B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1，又A1E，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E，所以B1D1⊥平面A1EM，又B1D1⊂平面B1CD1，所以平面A1EM⊥平面B1CD1.(高频考点)证明空间平行、垂直与求空间角是浙江省高考必考题型，本题型可直接证明求解，也可利用空间向量法证明求解．主要命题角度有：(1)空间位置关系的证明及求线面角；(2)空间位置关系的证明及求二面角．证明空间平行、垂直，求空间角的综合问题角度一空间位置关系的证明及求线面角(2017·高考浙江卷)如图，已知四棱锥P­ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点．(1)证明：CE∥平面PAB；(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．【解】(1)证明：如图，设PA中点为F，连接EF，FB.因为E，F分别为PD，PA中点，所以EF∥AD且EF＝12AD，又因为BC∥AD，BC＝12AD，所以EF∥BC且EF＝BC，即四边形BCEF为平行四边形，所以CE∥BF，因此CE∥平面PAB.(2)分别取BC，AD的中点为M，N.连接PN交EF于点Q，连接MQ.因为E，F，N分别是PD，PA，AD的中点，所以Q为EF中点，在平行四边形BCEF中，MQ∥CE.由△PAD为等腰直角三角形得PN⊥AD.由DC⊥AD，N是AD的中点得BN⊥AD.所以AD⊥平面PBN，由BC∥AD得BC⊥平面PBN，那么平面PBC⊥平面PBN.过点Q作PB的垂线，垂足为H，连接MH.MH是MQ在平面PBC上的射影，所以∠QMH是直线CE与平面PBC所成的角．设CD＝1.在△PCD中，由PC＝2，CD＝1，PD＝2得CE＝2，在△PBN中，由PN＝BN＝1，PB＝3得QH＝14，在Rt△MQH中，QH＝14，MQ＝2，所以sin∠QMH＝28，所以，直线CE与平面PBC所成角的正弦值是28.角度二空间位置关系的证明及求二面角(2019·绍兴诸暨高考模拟)如图，四棱锥P­ABCD的一个侧面PAD为等边三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，AD＝2，AB＝4，BD＝23.(1)求证：PA⊥BD；(2)求二面角D­BC­P的余弦值．【解】(1)证明：在△ABD中，因为AB2＝AD2＋BD2，所以AD⊥DB，由平面PAD⊥平面ABCD，所以BD⊥平面PAD，所以DB⊥PA.(2)二面角D­BC­P的余弦值即二面角A­BC­P的余弦值，作PO⊥AD于O，则PO⊥平面ABCD.过O作OE⊥BC于E，连接PE，则∠PEO为二面角A­BC­P的平面角．又△PEO中，PO＝3，OE＝DB＝23，故PE＝15，cos∠PEO＝2315＝255，所以二面角D­BC­P的余弦值为255.(1)平行关系及垂直关系的转化空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．(2)求空间角的三个步骤①一作：根据定义作平行线或垂线，用作图法作出要求的角．②二证：证明所作的角就是要求的角．③三求：把空间角问题转化为(三角形)平面问题，解三角形，求出该角，注意角的范围，判断所求角是此角还是它的补角．1．(2018·高考浙江卷)已知四棱锥S­ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点(不含端点)．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S­AB­C的平面角为θ3，则()A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ