（浙江专用）2020版高考数学大二轮复习 专题一 小题考法课三 三角恒等变换与解三角形课件

小题考法课三三角恒等变换与解三角形考点(一)三角恒等变换与求值[考查趋向]主要考查利用三角恒等变换解决化简求值或求角问题.多涉及两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式.[试典题——考点悟通][典例](1)(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝()A.15B.55C.33D.255(2)若0απ2，－π2β0，cosπ4＋α＝13，cosπ4－β2＝33，则cosα＋β2＝()A.33B．－33C.539D．－69(3)(2019·江苏高考)已知tanαtanα＋π4＝－23，则sin2α＋π4的值是________．[解析](1)由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝2cos2α.又∵α∈0，π2，∴2sinα＝cosα，又∵sin2α＋cos2α＝1，∴sinα＝55.(2)∵0απ2，∴π4α＋π43π4.∵cosπ4＋α＝13，∴sinπ4＋α＝223.∵－π2β0，∴π4π4－β2π2.∵cosπ4－β2＝33，∴sinπ4－β2＝63.∴cosα＋β2＝cosπ4＋α－π4－β2＝cosπ4＋αcosπ4－β2＋sinπ4＋αsinπ4－β2＝13×33＋223×63＝539.(3)法一：由tanαtanα＋π4＝tanαtanα＋11－tanα＝tanα1－tanαtanα＋1＝－23，解得tanα＝2或－13.sin2α＋π4＝22(sin2α＋cos2α)＝22(2sinαcosα＋2cos2α－1)＝2(sinαcosα＋cos2α)－22＝2·sinαcosα＋cos2αsin2α＋cos2α－22＝2·tanα＋1tan2α＋1－22，将tanα＝2和－13分别代入得sin2α＋π4＝210.法二：∵tanαtanα＋π4＝sinαcosα＋π4cosαsinα＋π4＝－23，∴sinαcosα＋π4＝－23cosαsinα＋π4.①又sinπ4＝sinα＋π4－α＝sinα＋π4cosα－cosα＋π4sinα＝22，②由①②，解得sinαcosα＋π4＝－25，cosαsinα＋π4＝3210.∴sin2α＋π4＝sinα＋α＋π4＝sinαcosα＋π4＋cosαsinα＋π4＝210.[答案](1)B(2)C(3)210[学技法——融会贯通]1．三角恒等变换的策略(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．(2)项的拆分与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．(4)弦、切互化：一般是切化弦．2．解决条件求值问题的关注点(1)分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角．(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示．(3)求解三角函数中的给值求角问题时，要根据已知求这个角的某个三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小．[对点练——触类旁通]1．若sin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝45，且α为第二象限角，则tanα＋π4＝()A．7B.17C．－7D．－17解析：选Bsin(α－β)sinβ－cos(α－β)cosβ＝－[cos(α－β)cosβ－sin(α－β)sinβ]＝－cos(α－β＋β)＝－cosα＝45，即cosα＝－45.又α为第二象限角，∴tanα＝－34，∴tanα＋π4＝1＋tanα1－tanα＝17.2．(2019·绍兴调研)已知角θ的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边经过点P－45，35，则tan(π－θ)＝________，若角α满足tan(α－θ)＝12，则tanα＝________.解析：由题意得tan(π－θ)＝－tanθ＝－35－45＝34，tan(α－θ)＝tanα－tanθ1＋tanαtanθ＝tanα＋341－34tanα＝12，解得tanα＝－211.答案：34－2113．(2019·台州中学模拟)已知α，β为锐角，tanα＝43，cos(α＋β)＝－55，则cos2α＝________，tan(α－β)＝_______.解析：cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α＝1－1691＋169＝－725.因为2α∈(0，π)，所以sin2α＝2425.由α＋β∈(0，π)且cos(α＋β)＝－55，得sin(α＋β)＝255，所以cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝－725×－55＋2425×255＝11525，sin(α－β)＝sin[2α－(α＋β)]＝sin2αcos(α＋β)－cos2αsin(α＋β)＝2425×－55＋725×255＝－2525，所以tan(α－β)＝sinα－βcosα－β＝－211.答案：－725－211考点(二)利用正、余弦定理解三角形[考查趋向]主要考查利用正弦定理、余弦定理及三角形面积公式求解三角形的边长、角以及面积，有时也与三角恒等变换相结合考查.[试典题——考点悟通][典例](1)(2018·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝7，b＝2，A＝60°，则sinB＝_______，c＝________.(2)(2019·浙江高考)在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D在线段AC上．若∠BDC＝45°，则BD＝________，cos∠ABD＝________.(3)已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosA＝3bsinB，△ABC的面积S＝3，则A＝________；a的最小值为________．[解析](1)由正弦定理asinA＝bsinB，得sinB＝ba·sinA＝27×32＝217.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得7＝4＋c2－4c×cos60°，即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1(舍去)．(2)如图，易知sinC＝45，sinA＝35，cosA＝45.在△BDC中，由正弦定理可得BDsinC＝BCsin∠BDC，∴BD＝BC·sinCsin∠BDC＝3×4522＝1225.∴cos∠ABD＝cos(45°－A)＝cos45°cosA＋sin45°sinA＝22×45＋22×35＝7210.(3)因为acosA＝3bsinB，所以由正弦定理可得3cosA＝sinA，即tanA＝3.因为0＜A＜π，所以A＝π3.因为△ABC的面积为S＝3＝12bcsinA＝34bc，所以bc＝4.由余弦定理可得a2＝b2＋c2－bc≥bc＝4，所以a≥2，当且仅当b＝c＝2时，a取最小值2.[答案](1)2173(2)12257210(3)π32[学技法——融会贯通]解三角形问题的求解策略已知条件解题思路两角A，B与一边a由A＋B＋C＝π及asinA＝bsinB＝csinC，可先求出角C及b，再求出c两边b，c及其夹角A由a2＝b2＋c2－2bccosA，先求出a，再求出角B，C三边a，b，c由余弦定理可求出角A，B，C两边a，b及其中一边的对角A由正弦定理asinA＝bsinB可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)可求出角C，再由asinA＝csinC可求出c，而通过asinA＝bsinB求角B时，可能有一解或两解或无解的情况[对点练——触类旁通]1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA＝45，cosC＝513，a＝1，则b＝()A.2113B.75C.1213D.2312解析：选A因为A，C为△ABC的内角，且cosA＝45，cosC＝513，所以sinA＝35，sinC＝1213，所以sinB＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝35×513＋45×1213＝6365.又a＝1，所以由正弦定理得b＝asinBsinA＝6365×53＝2113.2．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2，△ABC面积的最大值为3，则角B的值为()A.2π3B.π3C.π6D.π4解析：选B由余弦定理得4＝a2＋c2－2accosB≥2ac－2accosB＝2ac(1－cosB)，当且仅当a＝c时取等号，所以ac≤21－cosB，S△ABC＝12acsinB≤12×2sinB1－cosB＝1tanB2，即1tanB2＝3，所以B为π3.3．(2019·七彩阳光联盟联考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a2＋c2－b2＝ac，b＝2acosA，c＝2，则a＝________，△ABC的面积为________．解析：因为a2＋c2－b2＝ac，所以由余弦定理可得B＝π3.因为b＝2acosA，所以由正弦定理可得sinB＝2sinAcosA＝sin2A＝32，所以2A＝π3或2A＝2π3，解得A＝π6或A＝π3.当A＝π3时，可知三角形是等边三角形，所以a＝2，此时三角形的面积为S＝12a2sinπ3＝3；当A＝π6时，可知三角形是直角三角形，因为c＝2，所以a＝12c＝1，b＝3.所以此时三角形的面积为S＝12ab＝32.答案：1或232或3考点(三)正、余弦定理的实际应用[考查趋向]主要是以实际生活为背景所命制的与测量和几何计算有关的问题，考查正弦、余弦定理等知识和方法的运用.[试典题——考点悟通][典例](1)如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100m，汽车从B点到C点历时14s，则这辆汽车的速度约为________m/s(精确到0.1，2≈1.414，5≈2.236)．(2)已知在海岛A上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P，上午11时，测得一轮船在岛北偏东30°，俯角为30°的B处，到11时10分又测得该船在岛北偏西60°，俯角为60°的C处．轮船沿BC行驶一段时间后，到达海岛的正西方向的D处，此时轮船距岛A有________千米．[解析](1)因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，所以∠BAD＝60°，∠CAD＝45°.设这辆汽车的速度为vm/s，则BC＝14v.在Rt△ADB中，AB＝ADcos∠BAD＝100cos60°＝200.在Rt△ADC中，AC＝ADcos∠CAD＝100cos45°＝1002.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·cos∠BAC，即(14v)2＝(1002)2＋2002－2×1002×200×cos135°，所以v＝50107≈22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6m/s.(2)由已知可求得AB＝3，AC＝33，BC＝303，∴sin∠ACB＝31010，cos∠ACB＝1010，则∠ACB为锐角，∠ACD为钝角，且sin∠ACD＝31010，cos∠ACD＝－1010.在△ACD中，sin∠ADC＝sin(∠ACD＋∠DAC)＝sin∠ACDcos∠DAC＋sin∠DACcos∠ACD＝330－1020，由正弦定理可求得AD＝ACsin