（浙江专用）2019-2020学年高中数学 第一章 解三角形 1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.2

预习课本P5～6，思考并完成以下问题(1)余弦定理的内容是什么？(2)已知三角形的两边及其夹角如何解三角形？(3)已知三角形的三边如何解三角形？1．1.2余弦定理一、预习教材·问题导入余弦定理余弦定理公式表达a2＝________________，b2＝_______________，c2＝_______________语言叙述三角形中任何一边的平方等于__________________________________________________________余弦定理推论cosA＝_________cosB＝________，cosC＝__________b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍b2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab二、归纳总结·核心必记[点睛]余弦定理的特点(1)适用范围：余弦定理对任意的三角形都成立．(2)揭示的规律：余弦定理指的是三角形中三条边与其中一个角的余弦之间的关系，它含有四个不同的量，知道其中的三个量，就可求得第四个量．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的关系，因此，它适应于任何三角形()(2)在△ABC中，若a2b2＋c2，则△ABC一定为钝角三角形()(3)在△ABC中，已知两边和其夹角时，△ABC不唯一()解析：(1)正确．余弦定理反映了任意三角形的边角关系，它适合于任何三角形．(2)正确．当a2b2＋c2时，cosA＝b2＋c2－a22bc0.因为0Aπ，故A一定为钝角，△ABC为钝角三角形．(3)错误．当△ABC已知两边及其夹角时可利用余弦定理求得第三边长且唯一，因此△ABC唯一确定．√√×三、基本技能·素养培优2．在△ABC中，已知a＝9，b＝23，C＝150°，则c等于()A．39B．83C．102D．73解析：选D由余弦定理得：c＝92＋232－2×9×23×cos150°＝147＝73.3．在△ABC中，已知a2＝b2＋c2＋bc，则角A等于()A．60°B．45°C．120°D．30°解析：选C由cosA＝b2＋c2－a22bc＝－12，∴A＝120°.4．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，则cosB等于()A．14B．34C．24D．23解析：选B由b2＝ac且c＝2a得cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋4a2－2a22a·2a＝34.故选B.[典例](1)在△ABC中，已知b＝60cm，c＝603cm，A＝π6，则a＝________cm；(2)在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cosC＝910，则BC＝________.[解析](1)由余弦定理得：a＝602＋6032－2×60×603×cosπ6＝4×602－3×602＝60(cm)．考点一已知两边与一角解三角形(2)由余弦定理得：(5)2＝52＋BC2－2×5×BC×910，所以BC2－9BC＋20＝0，解得BC＝4或BC＝5.[答案](1)60(2)4或5已知三角形的两边及一角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三边，其余角的求解有两种思路：一是利用余弦定理的推论求出其余角；二是利用正弦定理(已知两边和一边的对角)求解．若用正弦定理求解，需对角的取值进行取舍，而用余弦定理就不存在这些问题(在(0，π)上，余弦值所对角的值是唯一的)，故用余弦定理求解较好．[类题通法]在△ABC中，a＝23，c＝6＋2，B＝45°，解这个三角形．解：根据余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accosB＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos45°＝8，∴b＝22.又∵cosA＝b2＋c2－a22bc＝8＋6＋22－2322×22×6＋2＝12，∴A＝60°，C＝180°－(A＋B)＝75°.[针对训练][典例]在△ABC中，已知a＝23，b＝6，c＝3＋3，解此三角形．[解]法一：由余弦定理的推论得cosA＝b2＋c2－a22bc＝62＋3＋32－2322×6×3＋3＝22，∴A＝45°.同理可求B＝30°，故C＝180°－A－B＝180°－45°－30°＝105°.考点二已知三角形的三边解三角形法二：由余弦定理的推论得cosA＝b2＋c2－a22bc＝62＋3＋32－2322×6×3＋3＝22，∴A＝45°.由正弦定理asinA＝bsinB知23sin45°＝6sinB，得sinB＝6·sin45°23＝12.由ab知AB，∴B＝30°.故C＝180°－A－B＝180°－45°－30°＝105°.(1)已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一．(2)若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．[类题通法]已知三边解三角形的策略已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式(a＋b－c)·(a＋b＋c)＝ab，则C的大小为()A．60°B．90°C．120°D．150°解析：选C∵(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，∴c2＝a2＋b2＋ab，由余弦定理可得，cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋b2－a2＋b2＋ab2ab＝－ab2ab＝－12，∵0°C180°，∴C＝120°，故选C.[针对训练][典例]在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，试判断△ABC的形状．解：[法一化角为边]将已知等式变形为b2(1－cos2C)＋c2(1－cos2B)＝2bccosBcosC.由余弦定理并整理，得b2＋c2－b2a2＋b2－c22ab2－c2a2＋c2－b22ac2＝2bc×a2＋c2－b22ac×a2＋b2－c22ab，∴b2＋c2＝[a2＋b2－c2＋a2＋c2－b2]24a2＝4a44a2＝a2.∴A＝90°.∴△ABC是直角三角形．考点三利用余弦定理判断三角形形状[法二化边为角]由正弦定理，已知条件可化为sin2Csin2B＋sin2Csin2B＝2sinBsinCcosBcosC.又sinBsinC≠0，∴sinBsinC＝cosBcosC，即cos(B＋C)＝0.又∵0°B＋C180°，∴B＋C＝90°，∴A＝90°.∴△ABC是直角三角形．[类题通法]判断三角形形状的两条途径(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系；(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在△ABC中，acosA＋bcosB＝ccosC，试判断△ABC的形状．解：由余弦定理知cosA＝b2＋c2－a22bc，cosB＝c2＋a2－b22ca，cosC＝a2＋b2－c22ab，代入已知条件得a·b2＋c2－a22bc＋b·c2＋a2－b22ca＋c·c2－a2－b22ab＝0，通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，展开整理得(a2－b2)2＝c4.∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.根据勾股定理知△ABC是直角三角形.[针对训练]考点四正、余弦定理的综合应用[典例]在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知bsinA＝acosB－π6.(1)求角B的大小；(2)设a＝2，c＝3，求b和sin(2A－B)的值．[解](1)在△ABC中，由正弦定理asinA＝bsinB，可得bsinA＝asinB.又因为bsinA＝acosB－π6，所以asinB＝acosB－π6，即sinB＝32cosB＋12sinB，所以tanB＝3.因为B∈(0，π)，所以B＝π3.(2)在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝π3，得b2＝a2＋c2－2accosB＝7，故b＝7.由bsinA＝acosB－π6，可得sinA＝37.因为a＜c，所以cosA＝27.所以sin2A＝2sinAcosA＝437，cos2A＝2cos2A－1＝17.所以sin(2A－B)＝sin2AcosB－cos2AsinB＝437×12－17×32＝3314.[类题通法](1)正、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具，这类题目往往结合基本的三角恒等变换，同时注意三角形中的一些重要性质，如内角和为180°、大边对大角等．(2)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，则要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则要考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．[针对训练]1．在△ABC中，求证a2sin2B＋b2sin2A＝2absinC.证明：法一：(化为角的关系式)a2sin2B＋b2sin2A＝(2R·sinA)2·2sinB·cosB＋(2R·sinB)2·2sinA·cosA＝8R2sinA·sinB(sinA·cosB＋cosAsinB)＝8R2sinAsinBsinC＝2·2RsinA·2RsinB·sinC＝2absinC.∴原式得证．法二：(化为边的关系式)左边＝a2·2sinBcosB＋b2·2sinAcosA＝a2·2b2R·a2＋c2－b22ac＋b2·2a2R·b2＋c2－a22bc＝ab2Rc(a2＋c2－b2＋b2＋c2－a2)＝ab2Rc·2c2＝2ab·c2R＝2absinC＝右边，∴原式得证．2．已知△ABC的周长为4(2＋1)，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有sinB＋sinC＝2sinA.(1)求边长a的值；(2)若△ABC的面积为S＝3sinA，求AB―→·AC―→的值．解：(1)由正弦定理，得b＋c＝2a.①又a＋b＋c＝4(2＋1)，②联立①②，解得a＝4.(2)∵S△ABC＝3sinA，∴12bcsinA＝3sinA，即bc＝6.又∵b＋c＝2a＝42，∴由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝b＋c2－2bc－a22bc＝13.∴AB―→·AC―→＝bccosA＝2.