您好,欢迎访问三七文档
预习课本P48~50,思考并完成以下问题(1)等比数列的定义是什么?如何判断一个数列是否为等比数列?(2)等比数列的通项公式是什么?(3)等比中项的定义是什么?第一课时等比数列的概念及通项公式2.4等比数列一、预习教材·问题导入1.等比数列的定义如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于________,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的,通常用字母q表示(q≠0).同一常数公比二、归纳总结·核心必记[规律总结](1)“从第2项起”,也就是说等比数列中至少含有三项;(2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”;(3)“同一常数q”,q是等比数列的公比,即q=anan-1(n≥2)或q=an+1an.特别注意,q不可以为零,当q=1时,等比数列为常数列,非零的常数列是特殊的等比数列.2.等比中项如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成,那么G叫做a与b的等比中项,这三个数满足关系式G=±ab.等比数列[提醒](1)G是a与b的等比中项,则a与b的符号相同,符号相反的两个实数不存在等比中项.G=±ab,即等比中项有两个,且互为相反数.(2)当G2=ab时,G不一定是a与b的等比中项.例如02=5×0,但0,0,5不是等比数列.3.等比数列的通项公式等比数列{an}的首项为a1,公比为q(q≠0),则通项公式为:an=.a1qn-11.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数,则该数列为等比数列()(2)等比数列的首项不能为零,但公比可以为零()(3)常数列一定为等比数列()(4)任何两个数都有等比中项()解析:(1)错误,根据等比数列的定义,只有比值为同一个常数时,该数列才是等比数列.(2)错误,当公比为零时,根据等比数列的定义,数列中的项也为零.(3)错误,当常数列不为零时,该数列才是等比数列.(4)错误.当两数同号时才有等比中项,异号时不存在等比中项.××××三、基本技能·素养培优2.下列数列为等比数列的是()A.2,22,3×22,…B.1a,1a2,1a3,…C.s-1,(s-1)2,(s-1)3,…D.0,0,0,…解析:选BA、C、D不是等比数列,A中不满足定义,C、D中项可为0,不符合定义.3.等比数列的首项为98,末项为13,公比为23,则这个数列的项数为()A.3B.4C.5D.6解析:选B∵13=98·23n-1,∴827=23n-1,即233=23n-1,∴n-1=3,∴n=4.4.已知等比数列{an}为递增数列,a1=-2,且3(an+an+2)=10an+1,则公比q=________.解析:设公比为q,则3(an+anq2)=10anq,即3q2-10q+3=0,解得q=3或q=13,又因为a1=-2且数列{an}为等比递增数列,所以q=13.答案:13[典例](1)在等比数列{an}中,a1=12,q=12,an=132,则项数n为()A.3B.4C.5D.6(2)已知等比数列{an}为递增数列,且a25=a10,2(an+an+2)=5an+1,则数列{an}的通项公式an=________.考点一等比数列的通项公式[解析](1)因为an=a1qn-1,所以12×12n-1=132,即12n=125,解得n=5.(2)由2(an+an+2)=5an+1⇒2q2-5q+2=0⇒q=2或12,由a25=a10=a1q90⇒a10,又数列{an}递增,所以q=2.a25=a10⇒(a1q4)2=a1q9⇒a1=q=2,所以数列{an}的通项公式为an=2n.[答案](1)C(2)2n等比数列通项公式的求法(1)根据已知条件,建立关于a1,q的方程组,求出a1,q后再求an,这是常规方法.(2)充分利用各项之间的关系,直接求出q后,再求a1,最后求an,这种方法带有一定的技巧性,能简化运算.[类题通法]在等比数列{an}中,(1)a4=2,a7=8,求an;(2)a2+a5=18,a3+a6=9,an=1,求n.解:(1)因为a4=a1q3,a7=a1q6,所以a1q3=2,①a1q6=8,②由②①得q3=4,从而q=34,而a1q3=2,于是a1=2q3=12,所以an=a1qn-1=2253n.[针对训练](2)法一:因为a2+a5=a1q+a1q4=18,③a3+a6=a1q2+a1q5=9,④由④③得q=12,从而a1=32.又an=1,所以32×12n-1=1,即26-n=20,所以n=6.法二:因为a3+a6=q(a2+a5),所以q=12.由a1q+a1q4=18,得a1=32.由an=a1qn-1=1,得n=6.[典例](1)在等比数列{an}中,a1=18,q=2,则a4与a8的等比中项是()A.±4B.4C.±14D.14(2)已知b是a,c的等比中项,求证:ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项.考点二等比中项[解析](1)由an=18×2n-1=2n-4知,a4=1,a8=24,所以a4与a8的等比中项为±4.答案:A(2)证明:因为b是a,c的等比中项,所以b2=ac,且a,b,c均不为零,又(a2+b2)(b2+c2)=a2b2+a2c2+b4+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2,(ab+bc)2=a2b2+2ab2c+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2,所以(ab+bc)2=(a2+b2)(b2+c2),即ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项.(1)由等比中项的定义可知Ga=bG⇒G2=ab⇒G=±ab,所以只有a,b同号时,a,b的等比中项有两个,异号时,没有等比中项.(2)在一个等比数列中,从第二项起,每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项.(3)a,G,b成等比数列等价于G2=ab(ab0).[类题通法]1.如果-1,a,b,c,-9成等比数列,那么()A.b=3,ac=9B.b=-3,ac=9C.b=3,ac=-9D.b=-3,ac=-9解析:选B因为b2=(-1)×(-9)=9,且b与首项-1同号,所以b=-3,且a,c必同号.所以ac=b2=9.[针对训练]2.已知等比数列{an}的前三项依次为a-1,a+1,a+4,则an=________.解析:由已知可得(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5,所以a1=4,a2=6,所以q=a2a1=64=32,所以an=4×32n-1.答案:4×32n-1[典例]在数列{an}中,若an0,且an+1=2an+3(n∈N*).证明:数列{an+3}是等比数列.证明:[法一定义法]∵an0,∴an+30.又∵an+1=2an+3,∴an+1+3an+3=2an+3+3an+3=2an+3an+3=2.∴数列{an+3}是首项为a1+3,公比为2的等比数列.考点三等比数列的判定与证明[法二等比中项法]∵an0,∴an+30.又∵an+1=2an+3,∴an+2=4an+9.∴(an+2+3)(an+3)=(4an+12)(an+3)=(2an+6)2=(an+1+3)2.即an+3,an+1+3,an+2+3成等比数列,∴数列{an+3}是等比数列.证明数列是等比数列常用的方法(1)定义法:an+1an=q(q为常数且q≠0)或anan-1=q(q为常数且q≠0,n≥2)⇔{an}为等比数列.(2)等比中项法:a2n+1=an·an+2(an≠0,n∈N*)⇔{an}为等比数列.[类题通法](1)已知各项均不为0的数列{an}中,a1,a2,a3成等差数列,a2,a3,a4成等比数列,a3,a4,a5的倒数成等差数列,证明:a1,a3,a5成等比数列.(2)已知数列{an}是首项为2,公差为-1的等差数列,令bn=12an,求证数列{bn}是等比数列,并求其通项公式.[针对训练]证明:(1)由已知,有2a2=a1+a3,①a23=a2·a4,②2a4=1a3+1a5.③由③得2a4=a3+a5a3·a5,所以a4=2a3·a5a3+a5.④由①得a2=a1+a32.⑤将④⑤代入②,得a23=a1+a32·2a3·a5a3+a5.∴a3=a1+a3a5a3+a5,即a3(a3+a5)=a5(a1+a3).化简,得a23=a1·a5.又a1,a3,a5均不为0,所以a1,a3,a5成等比数列.(2)依题意an=2+(n-1)×(-1)=3-n,于是bn=123-n.而bnbn-1=123-n124-n=12-1=2.∴数列{bn}是公比为2的等比数列,通项公式为bn=2n-3.
本文标题:(浙江专用)2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.4 等比数列 第一课时 等比数列的概念
链接地址:https://www.777doc.com/doc-8322784 .html