（浙江专版）2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的

1．3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质一、预习教材·问题导入预习课本P32～36，思考并完成以下问题1．杨辉三角具有哪些特点？2．二项式系数的性质有哪些？1．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的，即Crn＋1＝.2．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“”的两个二项式系数相等(即Cmn＝Cn－mn)．相等和Cr－1n＋Crn等距离二、归纳总结·核心必记(2)增减性与最大值：当k时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n是偶数时，中间一项取得最大值；当n是奇数时，中间两项，相等，同时取得最大值．(3)各二项式系数的和：①C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝___，②C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝.n＋122n－12n1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．()(2)二项式展开式的二项式系数和为C1n＋C2n＋…＋Cnn.()(3)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．()×√×三、基本技能·素养培优答案：A3．(1＋x)2n(n∈N*)的展开式中，系数最大的项是()A．第n2＋1项B．第n项C．第n＋1项D．第n项与第n＋1项答案：C2．已知(ax＋1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于()A．5B．6C．7D．84．x－1x10展开式的各项系数的和为()A．－1B．0C．1D．210答案：B[典例](1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是()A．第6行B．第7行C．第8行D．第9行考点一与杨辉三角有关的问题(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于()A．144B．146C．164D．461[解析](1)由题意，第6行为1615201561，第7行为172135352171，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除．(2)由题干图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第15项是C29，第16项是C19.所以S(16)＝C12＋C22＋C13＋C23＋…＋C19＋C29＝(C12＋C13＋…＋C19)＋(C22＋C23＋…＋C29)＝(C22＋C12＋C13＋…＋C19－C22)＋(C33＋C23＋…＋C29)＝C210＋C310－1＝164.[答案](1)B(2)C[类题通法]解决与杨辉三角有关的问题的一般思路(1)观察：对题目进行多角度观察，找出每一行的数与数之间，行与行之间的数的规律．(2)表达：将发现的规律用数学式子表达．(3)结论：由数学表达式得出结论．将杨辉三角中的每一个数Crn都换成分数1n＋1Crn，就得到如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，根据莱布尼茨三角形求解．(1)若1n＋1Crn＋1n＋1Cxn＝1nCrn－1，求x；(2)令an＝13＋112＋130＋160＋…＋1nC2n－1＋1n＋1C2n，求an.[针对训练]解：(1)从莱布尼茨三角形可以看出，下一行两分数之和等于肩上的上一行的分数，所以x＝r＋1.(2)因为an＝12＋1C22＋13＋1C23＋…＋1nC2n－1＋1n＋1C2n＋1n＋1C1n－1nn＋1＝12＋1C22＋13＋1C23＋…＋1nC2n－1＋1nC1n－1－1nn＋1＝…＝12＋1C22＋12＋1C12－1nn＋1＝12－1nn＋1，所以an＝12－1nn＋1.[典例]设(1－2x)2020＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2020·x2020(x∈R)．(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2020的值．(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2019的值．(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2020|的值．[解](1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a2020＝(－1)2020＝1.①考点二求展开式的系数和(2)令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a2020＝32020.②①－②得2(a1＋a3＋…＋a2019)＝1－32020，∴a1＋a3＋a5＋…＋a2019＝1－320202.(3)∵Tr＋1＝Cr2020(－2x)r＝(－1)r·Cr2020·(2x)r，∴a2k－1＜0(k∈N*)，a2k＞0(k∈N*)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2020|＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2020＝32020.[类题通法]二项展开式中系数和的求法(1)对形如(ax＋b)n,(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R，m，n∈N*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对(ax＋by)n(a，b∈R，n∈N*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(2)一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f1＋f－12，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f1－f－12.[针对训练]解：令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝－1.①令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6－a7＝37.②已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：(1)a1＋a2＋…＋a7；(2)a1＋a3＋a5＋a7；(3)a0＋a2＋a4＋a6；(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.(1)∵a0＝C07＝1，∴a1＋a2＋a3＋…＋a7＝－2.(2)(①－②)÷2，得a1＋a3＋a5＋a7＝－1－372＝－1094.(3)(①＋②)÷2，得a0＋a2＋a4＋a6＝－1＋372＝1093.(4)∵(1－2x)7展开式中a0，a2，a4，a6大于零，而a1，a3，a5，a7小于零，∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|＝(a0＋a2＋a4＋a6)－(a1＋a3＋a5＋a7)＝1093－(－1094)＝2187.[典例]在x－2x28的展开式中，(1)求二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项是第几项？[解]Tr＋1＝Cr8·(x)8－r·－2x2r＝(－1)r·Cr8·2r·x.(1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项，故T5＝C48·24·x＝1120x－6.考点三求展开式中系数或二项式系数的最大项(2)设第r＋1项系数的绝对值最大，则Cr8·2r≥Cr＋18·2r＋1，Cr8·2r≥Cr－18·2r－1，即18－r≥2r＋1，2r≥19－r.整理得r≥5，r≤6.所以r＝5或r＝6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项．[类题通法]二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(a＋b)n中的n进行讨论．(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大．(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．[针对训练]1．在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项．解：由本例(2)知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，第6项的系数为负，第7项的系数为正．故系数最大的项为T7＝C68·26·x－11＝1792x－11.系数最小的项为T6＝(－1)5C58·25x＝－1792x.2．在x2－13xn的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，求展开式中常数项．解：由题意知n＝8，通项为Tk＋1＝(－1)k·Ck8·128－k·x，令8－43k＝0，得k＝6，故常数项为第7项，且T7＝(－1)6·122·C68＝7.