（浙江专版）2019-2020学年高中数学 第一章 计数原理 1.2.2 组合 第一课时 组合与组合

1．2.2组合第一课时组合与组合数公式一、预习教材·问题导入预习课本P21～24，思考并完成以下问题1．组合的概念是什么？2．什么是组合数？组合数公式是怎样的？3．组合数有怎样的性质？二、归纳总结·核心必记1．组合的概念从n个不同的元素中取出m(m≤n)个元素，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．合成一组2．组合数的概念、公式、性质组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数表示法乘积式Cmn＝＝组合数公式阶乘式Cmn＝性质Cmn＝，Cmn＋1＝备注①n，m∈N*且m≤n，②规定：C0n＝1所有不同组合CmnAmnAmmnn－1n－2…n－m＋1m！n！m！n－m！Cn－mnCmn＋Cm－1n[规律总结]排列与组合的联系与区别联系：二者都是从n个不同的元素中取m(n≥m)个元素．区别：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关，只有元素相同且顺序也相同的两个排列才是相同的排列．只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)从a，b，c三个不同的元素中任取两个元素的一个组合是C23.()(2)从1,3,5,7中任取两个数相乘可得C24个积．()(3)1,2,3与3,2,1是同一个组合．()(4)C35＝5×4×3＝60.()√××√三、基本技能·素养培优2．若C2n＝10，则n的值为()A．10B．5C．3D．4答案：B3．从9名学生中选出3名参加“希望英语”口语比赛，不同选法有()A．504种B．729种C．84种D．27种答案：C4．计算C37＋C47＋C58＋C69＝________.答案：210[典例]判断下列问题是排列问题，还是组合问题．(1)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？(2)从1,2,3，…，9九个数字中任取3个，然后把这三个数字相加得到一个和，这样的和共有多少个？(3)从a，b，c，d四名学生中选两名去完成同一份工作，有多少种不同的选法？考点一组合的概念[解](1)当取出3个数字后，如果改变3个数字的顺序，会得到不同的三位数，此问题不但与取出元素有关，而且与元素的安排顺序有关，是排列问题．(2)取出3个数字之后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其和均不变，此问题只与取出元素有关，而与元素的安排顺序无关，是组合问题．(3)两名学生完成的是同一份工作，没有顺序，是组合问题．[类题通法]区分排列与组合的方法区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序，而区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．[针对训练]解：(1)由于书不同，每人每次拿到的也不同，有顺序之分，故它是排列问题．判断下列问题是组合问题还是排列问题：(1)把5本不同的书分给5个学生，每人一本；(2)从7本不同的书中取出5本给某个同学；(3)10个人相互写一封信，共写了几封信；(4)10个人互相通一次电话，共通了几次电话．(2)从7本不同的书中，取出5本给某个同学，在每种取法中取出的5本并不考虑书的顺序，故它是组合问题．(3)因为两人互写一封信与写信人与收信人的顺序有关，故它是排列问题．(4)因为互通电话一次没有顺序之分，故它是组合问题.[典例](1)求值：C33＋C34＋C35＋…＋C320；(2)解方程：1Cm5－1Cm6＝710Cm7；(3)解不等式：2Cx－2x＋13Cx－1x＋1.[解](1)C33＋C34＋C35＋…＋C320＝C44＋C34＋C35＋…＋C320＝C45＋C35＋C36＋…＋C320＝C46＋C36＋…＋C320＝C421＝21×20×19×184×3×2×1＝5985.考点二有关组合数的计算与证明(2)由题意知0≤m≤5且m∈N*，故m！5－m！5！－m！6－m！6！＝7×7－m！m！10×7！，即60－10(6－m)＝(7－m)·(6－m)．所以m2－23m＋42＝0，解得m＝2或m＝21.又因为m∈[0,5]，所以m＝2.(3)因为2Cx－2x＋13Cx－1x＋1，所以2C3x＋13C2x＋1，所以2×x＋1xx－13×2×13×x＋1x2×1，又因为x＋1≥3，x＋1≥2，所以x≥2，所以x－1332，所以2≤x112，且x∈N*，所以x＝2,3,4,5.所以不等式的解集为{2,3,4,5}．关于组合数公式的选取技巧(1)涉及具体数字的可以直接用nn－mCmn－1＝nn－m·n－1！m！n－1－m！＝n！m！n－m！＝Cmn进行计算．(2)涉及字母的可以用阶乘式Cmn＝n！m！n－m！计算．(3)计算时应注意利用组合数的性质Cmn＝Cn－mn简化运算．[类题通法][针对训练]解：∵38－n≤3n，3n≤21＋n，∴9.5≤n≤10.5.∵n∈N*，∴n＝10.∴C38－n3n＋C3n21＋n＝C2830＋C3031＝C230＋C131＝30×292×1＋31＝466.1．计算：C38－n3n＋C3nn＋21的值．解：根据排列数和组合数公式，原方程可化为3·x－3！x－7！4！＝5·x－4！x－6！，即3x－34！＝5x－6，即为(x－3)(x－6)＝40.∴x2－9x－22＝0，解得x＝11或x＝－2.又∵x∈N*，∴x＝11.2．求使3Cx－7x－3＝5A2x－4成立的x值．证明：(1)右边＝m＋1n＋1·n＋1！m＋1！[n＋1－m＋1]！＝m＋1n＋1·n＋1！m＋1！n－m！＝n！m！n－m！＝Cmn＝左边，∴原式成立．3．证明下列各等式．(1)Cmn＝m＋1n＋1Cm＋1n＋1；(2)C0n＋C1n＋1＋C2n＋2…＋Cm－1n＋m－1＝Cm－1n＋m.(2)左边＝(C0n＋1＋C1n＋1)＋C2n＋2＋C3n＋3＋…＋Cm－1n＋m－1＝(C1n＋2＋C2n＋2)＋C3n＋3＋…＋Cm－1n＋m－1＝(C2n＋3＋C3n＋3)＋…＋Cm－1n＋m－1＝(C3n＋4＋C4n＋4)＋…＋Cm－1n＋m－1＝…＝Cm－2n＋m－1＋Cm－1n＋m－1＝Cm－1n＋m＝右边，∴原式成立.[典例]现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名．(1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法？(2)选出2名男教师或2名女教师参加会议，有多少种不同的选法？(3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法？[解](1)从10名教师中选2名去参加会议的选法种数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即C210＝10×92×1＝45.考点三简单的组合问题(2)可把问题分两类情况：第1类，选出的2名是男教师有C26种方法；第2类，选出的2名是女教师有C24种方法．根据分类加法计数原理，共有C26＋C24＝15＋6＝21种不同选法．(3)从6名男教师中选2名的选法有C26种，从4名女教师中选2名的选法有C24种，根据分步乘法计数原理，共有不同的选法C26×C24＝15×6＝90(种)．解答简单的组合问题的思考方法(1)弄清要做的这件事是什么事；(2)选出的元素是否与顺序有关，也就是看看是不是组合问题；(3)结合两计数原理利用组合数公式求出结果．[类题通法]解：至少有1名男教师可分两类：1男1女有C16C14种，2男0女有C26种．由分类加法计数原理知有C16C14＋C26＝39(种)．最多有1名男教师包括两类：1男1女有C16C14种，0男2女有C24种．由分类加法计数原理知有C16C14＋C24＝30(种)．本例已知条件不变，若改为：现从中选2名教师参加会议，至少有1名男教师的选法是多少？最多有1名男教师的选法又是多少？[针对训练]