（浙江专版）2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用（部分） 1.3.3 函数的最大（小

预习课本P29～31，思考并完成下列问题1．3.3函数的最大(小)值与导数(1)什么是函数的最值？函数在闭区间上取得最值的条件是什么？(2)函数的最值与极值有什么关系？(3)求函数最值的方法和步骤是什么？一、预习教材·问题导入1．函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上取得最值的条件如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是的曲线，那么它必有最大值和最小值．一条连续不断[提醒]对函数最值的三点说明(1)闭区间上的连续函数一定有最值，开区间内的连续函数不一定有最值．若有唯一的极值，则此极值必是函数的最值．(2)函数的最大值和最小值是一个整体性概念．(3)函数y＝f(x)在[a，b]上连续，是函数y＝f(x)在[a，b]上有最大值或最小值的充分而非必要条件．二、归纳总结·核心必记2．求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤(1)求函数y＝f(x)在内的极值．(2)将函数y＝f(x)的与端点处的函数值比较，其中的一个是最大值，的一个是最小值．(a,b)各极值f(a)，f(b)最大最小[规律总结]函数极值与最值的关系(1)函数的极值是函数在某一点附近的局部概念，函数的最大值和最小值是一个整体性概念．(2)函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近的函数值得出的，函数的极值可以有多个，但最值只能有一个．(3)极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得．有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值不在端点处取得时必定是极值．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值．()(2)开区间上的单调连续函数无最值．()(3)函数f(x)在区间[a，b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得．()××√三、基本技能·素养培优2．函数f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是()A．－2B．0C．2D．4答案：C3．函数f(x)＝3x＋sinx在x∈[0，π]上的最小值为________．答案：14．已知f(x)＝－x2＋mx＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f(x)的极大值，则m的取值范围是________．答案：(－4，－2)考点一求函数的最值[典例]求下列函数的最值．(1)f(x)＝4x3＋3x2－36x＋5，x∈[－2，＋∞)；(2)f(x)＝sin2x－x，x∈－π2，π2.[解](1)f′(x)＝12x2＋6x－36，令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝32.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－2－2，323232，＋∞f′(x)0－0＋f(x)57－1154所以f(x)在－2，32上为减函数，在32，＋∞上为增函数．因此，函数f(x)在[－2，＋∞)上只有最小值－1154，无最大值．(2)f′(x)＝2cos2x－1.令f′(x)＝2cos2x－1＝0，解得x＝π6或x＝－π6.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x－π2－π2，－π6－π6－π6，π6π6π6，π2π2f′(x)－0＋0－f(x)π2π－33633－π6－π2由上表可知f(x)的最大值是π2，最小值是－π2.求函数最值的4个步骤[注意]求函数最值时不要忽视将所求极值与区间端点的函数值比较．[类题通法][针对训练]已知函数f(x)＝1－xx＋lnx，求f(x)在12，2上的最大值和最小值．解：易知f(x)的定义域为(0，＋∞)，∵f(x)＝1－xx＋lnx＝1x－1＋lnx，∴f′(x)＝－1x2＋1x＝x－1x2.令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)与f(x)在12，2上的变化情况如下表：x1212，11(1,2)2f′(x)－0＋f(x)1－ln20－12＋ln2∴在12，2上，当x＝1时，f(x)取得极小值，也是最小值，且f(1)＝0.又f12＝1－ln2，f(2)＝－12＋ln2，∴f12－f(2)＝32－2ln2＝12×(3－4ln2)＝12lne3160，∴f12f(2)，∴f(x)在12，2上的最大值为f12＝1－ln2，最小值为f(1)＝0.考点二由函数的最值求参数的取值范围[典例]已知函数f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，求a，b的值．[解]由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常数函数，与题设矛盾．f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4(舍去)．(1)当a0，则x变化时，f′(x)，f(x)在[－1,2]上的变化情况如下表：x－1(－1,0)0(0,2)2f′(x)＋0－f(x)－7a＋bb－16a＋b由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值b，也就是函数在[－1,2]上的最大值，∴f(0)＝b＝3.又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3f(－1)，∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.(2)当a0，则x变化时，f′(x)，f(x)在[－1,2]上的变化情况如下表：x－1(－1,0)0(0,2)2f′(x)－0＋f(x)－7a＋bb－16a＋b当x＝0时，f(x)取得极小值b，也就是函数在[－1,2]上的最小值，∴f(0)＝b＝－29，又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29f(－1)，∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.已知函数最值求参数的步骤(1)求出函数在给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数值；(2)通过比较它们的大小，判断出哪个是最大值，哪个是最小值；(3)结合已知求出参数，进而使问题得以解决．[类题通法][针对训练]已知函数f(x)＝4x＋ax(x0，a0)在x＝3时取得最小值，求a的值．解：由题意知f′(x)＝4－ax2＝4x2－ax2.又x0，a0，令f′(x)＝0，得x＝a2，当0xa2时，f′(x)0；当xa2时，f′(x)0.故f(x)在0，a2上单调递减，在a2，＋∞上单调递增，即当x＝a2时，f(x)取得最小值，则a2＝3，解得a＝36.考点三与最值有关的恒成立问题[典例]已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－23与x＝1处都取得极值．(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间．(2)若对x∈[－1,2]，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范围．[解](1)由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，得f′(x)＝3x2＋2ax＋b，因为f′(1)＝3＋2a＋b＝0，f′－23＝43－43a＋b＝0，解得a＝－12，b＝－2，所以f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－∞，－23－23－23，11(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以函数f(x)的单调递增区间为－∞，－23和(1，＋∞)；单调递减区间为－23，1.(2)由(1)知，f(x)＝x3－12x2－2x＋c，x∈[－1,2]，当x＝－23时，f－23＝2227＋c为极大值，因为f(2)＝2＋c，所以f(2)＝2＋c为最大值．要使f(x)c2(x∈[－1,2])恒成立，只需c2f(2)＝2＋c，解得c－1或c2.故c的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．恒成立问题向最值转化的方法(1)要使不等式f(x)h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数的最大值f(x)max，只要hf(x)max，则上面的不等式恒成立．(2)要使不等式f(x)h在区间[m，n]上恒成立，可先在区间[m，n]上求出函数f(x)的最小值f(x)min，只要f(x)minh，则不等式f(x)h恒成立．[类题通法][针对训练]1．若本例中条件不变，“把(2)中对x∈[－1,2]，不等式f(x)c2恒成立”改为“若存在x∈[－1,2]，不等式f(x)c2成立”，结果如何？解：由典例解析知当x＝1时，f(1)＝c－32为极小值，又f(－1)＝12＋cc－32，所以f(1)＝c－32为最小值．因为存在x∈[－1,2]，不等式f(x)c2成立，所以只需c2f(1)＝c－32，即2c2－2c＋3＞0，解得c∈R.2．已知函数f(x)＝13x3＋ax＋b(a，b∈R)在x＝2处取得极小值－43.(1)求f(x)的单调递增区间．(2)若f(x)≤m2＋m＋103在[－4,3]上恒成立，求实数m的取值范围．解：(1)f′(x)＝x2＋a，由f′(2)＝0，得a＝－4；再由f(2)＝－43，得b＝4.所以f(x)＝13x3－4x＋4，f′(x)＝x2－4.令f′(x)＝x2－40，得x2或x－2.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．(2)因为f(－4)＝－43，f(－2)＝283，f(2)＝－43，f(3)＝1，所以函数f(x)在[－4,3]上的最大值为283.要使f(x)≤m2＋m＋103在[－4,3]上恒成立，只需m2＋m＋103≥283，解得m≥2或m≤－3.所以实数m的取值范围是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．