（浙江专版）2019-2020学年高中数学 第一章 导数及其应用（部分） 1.3.2 函数的极值与导

预习课本P26～29，思考并完成下列问题1．3.2函数的极值与导数(1)函数极值点、极值的定义是什么？(2)函数取得极值的必要条件是什么？(3)求可导函数极值的步骤有哪些？一、预习教材·问题导入1．函数极值的概念(1)函数的极大值一般地，设函数y＝f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)，x0是极大值点．(2)函数的极小值一般地，设函数y＝f(x)在点x0及附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有，就说f(x0)是函数y＝f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)，x0是极小值点．极大值与极小值统称为．f(x)＜f(x0)f(x)＞f(x0)极值二、归纳总结·核心必记[规律总结]如何理解函数极值的概念(1)极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值，与它附近点的函数值比较它是最大值或最小值，但并不意味着它在函数的整个定义域内是最大值或最小值．(2)一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个．(3)函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系．(4)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．(5)单调函数一定没有极值．2．求函数y＝f(x)极值的方法一般地，求函数y＝f(x)的极值的方法是：解方程f′(x)＝0.当f′(x0)＝0时：(1)如果在x0附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，那么f(x0)是；(2)如果在x0附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，那么f(x0)是．极大值极小值[提醒]一般来说，“f′(x0)＝0”是“函数y＝f(x)在点x0处取得极值”的必要不充分条件．若可导函数y＝f(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极值，那么f′(x0)＝0；反之，若f′(x0)＝0，则点x0不一定是函数y＝f(x)的极值点．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数f(x)＝x3＋ax2－x＋1必有2个极值．()(2)在可导函数的极值点处，切线与x轴平行或重合．()(3)函数f(x)＝1x有极值．()×√√三、基本技能·素养培优2．下列四个函数：①y＝x3；②y＝x2＋1；③y＝|x|；④y＝2x，其中在x＝0处取得极小值的是()A．①②B．②③C．③④D．①③答案：B3．函数y＝x3－6x的极大值为()A．42B．32C．－32D．－42答案：A4.函数f(x)＝x＋2cosx在0，π2上的极大值点为()A.0B.π6C.π3D.π2答案：B[典例]求函数f(x)＝x2e－x的极值．考点一利用导数求函数的极值[解]函数的定义域为R，f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，解得x＝0或x＝2.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)0(0,2)2(2，＋∞)f′(x)－0＋0－f(x)04e－2因此当x＝0时，f(x)有极小值，并且极小值为f(0)＝0；当x＝2时，f(x)有极大值，并且极大值为f(2)＝4e－2＝4e2.求函数极值的步骤(1)确定函数的定义域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用方程f′(x)＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格；(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况．[类题通法][针对训练]求下列函数的极值点和极值．(1)f(x)＝13x3－x2－3x＋3；(2)f(x)＝3x＋3lnx.解：(1)f′(x)＝x2－2x－3.令f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：x(－∞，－1)－1(－1,3)3(3，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)143－6所以x＝－1是函数的极大值点，且f(x)极大值＝143，x＝3是函数的极小值点，且f(x)极小值＝－6.(2)函数f(x)＝3x＋3lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－3x2＋3x＝3x－3x2，令f′(x)＝0，得x＝1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：x(0,1)1(1，＋∞)f′(x)－0＋f(x)3所以x＝1是函数f(x)的极小值点，且f(x)极小值＝3，无极大值点及无极大值.考点二已知函数的极值求参数[典例]已知f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.(1)试求常数a，b，c的值；(2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由．[解](1)f′(x)＝3ax2＋2bx＋c(a≠0)，∵x＝±1是函数的极值点．∴x＝±1是方程3ax2＋2bx＋c＝0的两根．由根与系数的关系，得－2b3a＝0，①c3a＝－1.②又∵f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1.③由①②③解得a＝12，b＝0，c＝－32.(2)由(1)得f(x)＝12x3－32x，∴f′(x)＝32x2－32＝32(x－1)(x＋1)．令f′(x)0，得x－1或x1；令f′(x)0，得－1x1.∴函数f(x)在区间(－∞，－1)和(1，＋∞)上是增函数，在区间(－1,1)上是减函数．因此，x＝－1是函数的极大值点；x＝1是函数的极小值点．已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：因为某点处的导数值等于0不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．[类题通法][针对训练]已知函数f(x)＝13x3－x2＋ax－1.(1)若函数的极大值点是－1，求a的值；(2)若函数f(x)有一正一负两个极值点，求a的取值范围．解：(1)f′(x)＝x2－2x＋a，由题意f′(－1)＝1＋2＋a＝0，解得a＝－3，则f′(x)＝x2－2x－3，经验证可知，f(x)在x＝－1处取得极大值，故a＝－3.(2)由题意，方程x2－2x＋a＝0有一正一负两个根，设为x1，x2，则x1x2＝a0，故a的取值范围是(－∞，0).考点三函数极值的综合应用[典例]已知函数f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函数f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，求m的取值范围．[解]因为f(x)在x＝－1处取得极值且f′(x)＝3x2－3a，所以f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，所以a＝1.所以f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＝0，解得x＝－1或x＝1.当x－1时，f′(x)0；当－1x1时，f′(x)0；当x1时，f′(x)0.所以由f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.作出f(x)的大致图象及直线y＝m如图所示：因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，结合图象可知，m的取值范围是(－3,1)．(1)研究方程根的问题可以转化为研究相应函数的图象问题，一般地，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)的图象的交点的横坐标．(2)事实上利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与x轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．[类题通法][针对训练]1．若本例中条件改为“已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4”在x＝43处取得极值，其他条件不变，求m的取值范围．解：由题意可得f′(x)＝－3x2＋2ax，由f′43＝0，可得a＝2，所以f(x)＝－x3＋2x2－4，则f′(x)＝－3x2＋4x.令f′(x)＝0，得x＝0或x＝43，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x(－∞，0)00，434343，＋∞f′(x)－0＋0－f(x)－4－7627作出函数f(x)的大致图象如图所示：因为直线y＝m与函数y＝f(x)的图象有三个不同的交点，所以m的取值范围是－4，－7627.2．若本例“三个不同的交点”改为“两个不同的交点”结果如何？改为“一个交点”呢？解：由例题解析可知：当m＝－3或m＝1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象有两个不同的交点；当m－3或m1时，直线y＝m与y＝f(x)的图象只有一个交点．