（浙江专版）2019-2020学年高中数学 第二章 概率（部分） 2.4.2 事件的相互独立性课件

2．4.2事件的相互独立性1．事件的相互独立性的定义是什么？性质是什么？2．相互独立事件与互斥事件的区别？事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝，则称事件A与事件B相互独立．(2)性质：A与B是相互独立事件，则也相互独立．P(A)P(B)二、归纳总结·核心必记[规律总结]相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件互斥事件条件事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响不可能同时发生的两个事件符号相互独立事件A，B同时发生，记作：AB互斥事件A，B中有一个发生，记作：A∪B(或A＋B)计算公式P(AB)＝P(A)P(B)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)三、基本技能·素养培优1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．()(2)必然事件与任何一个事件相互独立．()(3)如果事件A与事件B相互独立，则P(B|A)＝P(B)．()(4)“P(AB)＝P(A)·P(B)”是“事件A，B相互独立”的充要条件．()√√√√2．甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为．答案：0.563．一件产品要经过两道独立的工序，第一道工序的次品率为a,第二道工序的次品率为b,则该产品的正品率为．答案：(1－a)(1－b)4．已知A，B是相互独立事件，且P(A)＝12，P(B)＝23，则P(AB)＝，P(AB)＝.答案：1616[典例]判断下列事件是否为相互独立事件．(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”．(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”．考点一事件独立性的判断[解](1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件是否发生没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．[类题通法]两个事件是否相互独立的判断(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．(2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．(3)条件概率法：当P(A)0时，可用P(B|A)＝P(B)判断．[针对训练]把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，判断下列各组事件是否是独立事件？(1)A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出奇数点}；(2)A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出3的倍数点}；(3)A＝{掷出偶数点}，B＝{掷出的点数小于4}．解：(1)∵P(A)＝12，P(B)＝12，P(AB)＝0，∴A与B不是相互独立事件．(2)∵P(A)＝12，P(B)＝13，P(AB)＝16，∴P(AB)＝P(A)·P(B)，∴A与B是相互独立事件．(3)∵P(A)＝12，P(B)＝12，P(AB)＝16，∴P(AB)≠P(A)·P(B)，∴A与B不是相互独立事件.[典例]根据资料统计，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险的概率为0.6,购买甲、乙保险相互独立，各车主间相互独立．(1)求一位车主同时购买甲、乙两种保险的概率；(2)求一位车主购买乙种保险但不购买甲种保险的概率．考点二相互独立事件概率的计算[解]记A表示事件“购买甲种保险”，B表示事件“购买乙种保险”，则由题意得A与B，A与B，A与B，B与A都是相互独立事件，且P(A)＝0.5，P(B)＝0.6.(1)记C表示事件“同时购买甲、乙两种保险”，则C＝AB，所以P(C)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝0.5×0.6＝0.3.(2)记D表示事件“购买乙种保险但不购买甲种保险”，则D＝AB，所以P(D)＝P(AB)＝P(A)·P(B)＝(1－0.5)×0.6＝0.3.[类题通法](1)求相互独立事件同时发生的概率的步骤是：①首先确定各事件之间是相互独立的；②确定这些事件可以同时发生；③求出每个事件的概率，再求积．(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．[针对训练]1．本例中车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率是多少？解：法一：记E表示事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”，则事件E包括AB，AB，AB，且它们彼此为互斥事件．所以P(E)＝P(AB＋AB＋AB)＝P(AB)＋P(AB)＋P(AB)＝0.5×0.6＋0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.8.法二：事件“至少购买甲、乙两种保险中的一种”与事件“甲、乙两种保险都不购买”为对立事件．所以P(E)＝1－P(AB)＝1－(1－0.5)×(1－0.6)＝0.8.2．某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题．竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率；(2)求这名同学至少得300分的概率．解：记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6.(1)这名同学得300分的概率P1＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(A2)P(A3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228.(2)这名同学至少得300分的概率P2＝P1＋P(A1A2A3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.[典例]三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为12，34，34，将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．考点三相互独立事件概率的实际应用[解]记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)＝12，P(A2)＝34，P(A3)＝34.不发生故障的事件为(A2∪A3)A1，∴不发生故障的概率为P＝P[(A2∪A3)A1]＝P(A2∪A3)·P(A1)＝[1－P(A2)·P(A3)]·P(A1)＝1－14×14×12＝1532.[类题通法]求较为复杂事件的概率的方法(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立．或者是相互独立)，列出关系式；(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．[针对训练]某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计，甲、乙、丙三人100m跑(互不影响)的成绩在13s内(称为合格)的概率分别是25，34，13，如果对这三名短跑运动员的100m跑成绩进行一次检测．(1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？(2)出现恰有几人合格的概率最大？解：设“甲、乙、丙三人100m跑合格”分别为事件A，B，C，显然A，B，C相互独立，P(A)＝25，P(B)＝34，P(C)＝13，所以P(A)＝1－25＝35，P(B)＝1－34＝14，P(C)＝1－13＝23.设恰有k人合格的概率为Pk(k＝0,1,2,3)．(1)三人都合格的概率为P3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝25×34×13＝110.三人都不合格的概率为P0＝P(A－B－C－)＝P(A)P(B)P(C)＝35×14×23＝110.所以三人都合格的概率与三人都不合格的概率都是110.(2)因为ABC，ABC，ABC两两互斥，所以恰有两人合格的概率为：P2＝P(ABC＋ABC＋ABC)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＋P(A)P(B)P(C)＝25×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360.恰有一人合格的概率为P1＝1－P0－P2－P3＝1－110－2360－110＝2560＝512.由(1)(2)知P0，P1，P2，P3中P1最大，所以出现恰有一人合格的概率最大．