（新课改地区）2021版高考数学一轮复习 第八章 立体几何初步 8.6 利用空间向量证明空间中的位置

第六节利用空间向量证明空间中的位置关系内容索引必备知识·自主学习核心考点·精准研析核心素养测评【教材·知识梳理】1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l_____或_____，则称此向量a为直线l的方向向量.(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的_____向量a，则向量a叫做平面α的法向量.平行重合方向2.空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔_______l1⊥l2n1⊥n2⇔________直线l的方向向量为n，平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔_______l⊥αn∥m⇔______平面α，β的法向量分别为n，mα∥βn∥m⇔______α⊥βn⊥m⇔_______n1=λn2n1·n2=0n·m=0n=λmn=λmn·m=0【常用结论】1.确定平面的法向量(1)直接法：观察是否有垂直于平面的法向量，若有可直接确定.(2)待定系数法：取平面的两条相交向量a，b，设平面的法向量为n=(x，y，z)，由解方程组求得.2.方向向量和法向量均不为零向量且不唯一.00，nanb【知识点辨析】(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)一个平面的法向量是唯一确定的.()(2)每一条直线都有两个方向向量.()(3)若两平面的法向量垂直，则两平面平行.()(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.()(5)若直线的一个方向向量与平面的一个法向量垂直，则此直线与该平面平行.()提示：(1)×.一个平面有无数个法向量，它们都是共线向量.(2)×.每一条直线都有无数个方向向量.(3)×.若两平面的法向量平行，则两平面平行.(4)√.(5)×.此直线也可能在该平面内.【易错点索引】序号易错警示典题索引1忽略方向向量与法向量的任意性致误考点一、T1,22忽略线面、面面垂直判定定理的向量表示法的应用考点二、角度1,2【教材·基础自测】1.(选修2-1P92练习AT5改编)若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,能使l∥α的是()A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0)B.a=(1,3,5),n=(1,0,1)C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1)D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1)【解析】选D.若l∥α,则a·n=0,经验证知D满足条件.2.(选修2-1P93练习BT3改编)设u=(-2,2,t),v=(6,-4,4)分别是平面α,β的法向量.若α⊥β,则t=()A.3B.4C.5D.6【解析】选C.因为α⊥β,则u·v=-2×6+2×(-4)+4t=0,所以t=5.3.(选修2-1P94习题3-1AT9改编)已知平面α,β的法向量分别为n1=(2,3,5),n2=(-3,1,-4),则()A.α∥βB.α⊥βC.α,β相交但不垂直D.以上均不对【解析】选C.因为n1≠λn2,且n1·n2=2×(-3)+3×1+5×(-4)=-23≠0,所以α,β既不平行,也不垂直.4.(选修2-1P105练习AT4改编)设u,v分别是平面α,β的法向量,u=(-2,2,5),当v=(3,-2,2)时,α与β的位置关系为________;当v=(4,-4,-10)时,α与β的位置关系为________.【解析】当v=(3,-2,2)时,u·v=(-2,2,5)·(3,-2,2)=0⇒α⊥β.当v=(4,-4,-10)时,v=-2u⇒α∥β.答案:α⊥βα∥β