（新课标）2021版高考数学一轮总复习 第二章 函数 第9讲 指数与指数函数课件 新人教A版

第9讲指数与指数函数【课程要求】1．了解指数幂的含义、掌握幂的运算．2．理解指数函数的概念、理解指数函数的单调性与其图象特征并能灵活应用．3．知道指数函数是一类重要的函数模型．【基础检测】概念辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)nan＝(na)n＝a(n∈N*)．()(2)分数指数幂amn可以理解为mn个a相乘．()(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．()(4)若am＜an(a＞0，且a≠1)，则m＜n.()(5)函数y＝2－x在R上为单调减函数．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×(5)√教材改编2．[必修1p59A组T4]化简416x8y4(x＜0，y＜0)＝________．[答案]－2x2y[解析]∵y＝35x是减函数，∴35－1335－14350，即ab1，又c＝32－34320＝1，∴cba.3．[必修1p59A组T7]已知a＝35－13，b＝35－14，c＝32－34，则a，b，c的大小关系是____________．[答案]cba易错提醒4．已知函数f(x)＝ax－1＋4的图象恒过定点P，则点P的坐标是()A．(1，5)B．(1，4)C．(0，4)D．(4，0)[解析]函数f(x)＝ax－1＋4的图象恒过定点P.即这个点的坐标不随a的改变而改变，只需要让a不起作用即可，令x－1＝0⇒x＝1，此时y＝5，故图象恒过(1，5)．[答案]A5．计算：32－13×－760＋814×42－－2323＝____________．[解析]原式＝2313×1＋234×214－2313＝2.[答案]26．已知函数f(x)＝ax(a0，a≠1)在[1，2]上的最大值比最小值大a2，则a的值为____________．[解析]当0a1时，a－a2＝a2，∴a＝12或a＝0(舍去)．当a1时，a2－a＝a2，∴a＝32或a＝0(舍去)．综上所述，a＝12或32.[答案]12或32【知识要点】1．分数指数幂(1)我们规定正数的正分数指数幂的意义是mna＝nam(a0，m，n∈N*，且n1)．于是，在条件a0，m，n∈N*，且n1下，根式都可以写成分数指数幂的形式．正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿，我们规定mna＝1mna(a0，m，n∈N*，且n1).0的正分数指数幂等于____；0的负分数指数幂____________．0没有意义(2)根式的性质：①a的n(n1，n∈N*)次方根，当n为奇数时，有一个n次方根为______；当n为偶数时，若a0，有两个互为相反数的n次方根为_______，若a＝0，其n次方根为______，若a0，则无实数根．②当n为奇数时，nan＝_____；当n为偶数时，nan＝|a|＝______________．(3)有理数指数幂的运算性质：aras＝_______，(ar)s＝_____，(ab)r＝_______，其中a0，b0，r，s∈Q.na±na0aa（a≥0）－a（a0）ar＋sarsarbr2．指数函数图象与性质y＝axa10a1图象定义域(1)R值域(2)__________性质(3)过定点_______(4)当x0时，______；当x0时，________(5)当x0时，________；当x0时，_______(6)在(－∞，＋∞)上是___________(7)在(－∞，＋∞)上是_________(0，＋∞)(0，1)y10y10y1y1增函数减函数3．基本结论(1)指数函数图象的画法画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，－1，1a.(2)指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为cd1ab0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a0，a≠1)的图象越高，底数越大．(3)指数函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a＞1与0＜a＜1来研究．[解析](1)原式＝2111153262362634aba；(2)原式＝32－2＋1－23－3×－23＋4－π＋π－2＝49＋1－49＋2＝3.指数幂的运算例1求值与化简：(1)211511336622263ababab；(2)(1.5)－2＋(－9.6)0－338－23＋（π－4）2＋3（π－2）3.[小结]指数幂运算的一般原则：(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算．(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数．(4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又有负指数．1．(多选)若实数a0，则下列等式成立的是()A．(－2)－2＝4B．2a－3＝12a3C．(－2)0＝1D.144()a＝1a[解析]对于A，(－2)－2＝14，故A错误；对于B，2a－3＝2a3，故B错误；对于C，(－2)0＝1，故C正确；对于D，144()a＝1a，故D正确．[答案]CD2．化简：21111332256()ababab＝__________．[解析]1111111115332232623615661abababaab原式.[答案]1a指数函数的图象及应用例2(1)若函数y＝ax－b(a＞0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则ab的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(0，＋∞)C．(0，1)D．无法确定[解析]因为函数经过第二、三、四象限，所以函数单调递减且图象与y轴的交点在y轴负半轴上．令x＝0，则y＝a0－b＝1－b，由题意得0＜a＜1，1－b＜0.解得0＜a＜1，b＞1.故ab∈(0，1)，故选C.[答案]C(2)当x∈[1，2]时，函数y＝12x2与y＝ax(a0)的图象有交点，则a的取值范围是()A.12，2B.12，2C.14，2D.14，2[解析]当a1时，如图①所示，使得两个函数图象在[1，2]上有交点，需满足12·22≥a2，即1a≤2；当0a1时，如图②所示，需满足12·12≤a1，即12≤a1；当a＝1时，y＝12x2与y＝1在[1，2]上有交点(2，1)，满足条件．综上可知，a∈12，2.[答案]B(3)(多选)已知函数f(x)＝|2x－1|，abc且f(a)f(c)f(b)，则下列结论中，一定成立的是()A．b0B．a0，c0C．2－a2cD．2a＋2c2[解析]作出函数f(x)＝|2x－1|的图象如图中实线所示，∵abc，且f(a)f(c)f(b)，结合图象知0f(a)1，a0，0c1，∴f(a)＝|2a－1|＝1－2a，且12c2，∴f(c)＝|2c－1|＝2c－1，又f(a)f(c)，即1－2a2c－1，∴2a＋2c2.[答案]BD[小结](1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象可从指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(4)判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．3．函数f(x)＝2|x－1|的图象是()[解析]由题意知f(x)＝2x－1，x≥1，12x－1，x＜1，结合图象知选B.[答案]B4．如图，过原点O的直线与函数y＝2x的图象交于A，B两点，过B作y轴的垂线交函数y＝4x的图象于点C，若AC平行于y轴，则点A的坐标为__________．[解析]设A(n，2n)，B(m，2m)，则Cm2，2m，因为AC平行于y轴，所以n＝m2，所以Am2，2n，B(m，2m)，又因为A，B，O三点共线，所以kOA＝kOB，所以2nm2＝2mm，即n＝m－1，又由n＝m2，解得n＝1，所以点A的坐标为(1，2)．[答案](1，2)5．若函数f(x)＝2|x＋a|(a∈R)满足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x)在区间[m，n]上的最大值记为f(x)max，最小值记为f(x)min，若f(x)max－f(x)min＝3，则n－m的取值范围是__________．[解析]因为函数f(x)＝2|x＋a|(a∈R)满足f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以a＝－1，所以f(x)＝2|x－1|.作出函数y＝f(x)的图象如图所示．当m＜n≤1或1≤m＜n时，离对称轴越远，n－m差越小，由y＝2x－1与y＝21－x的性质知极限值为0.当m＜1＜n时，函数f(x)在区间[m，n]上的最大值与最小值的差为f(x)max－f(x)min＝2|±2|－20＝3，则n－m取得最大值是2－(－2)＝4，所以n－m的取值范围是(0，4]．[答案](0，4]指数函数的性质及应用例3(1)已知a，b∈(0，1)∪(1，＋∞)，当x＞0时，1＜bx＜ax，则()A．0＜b＜a＜1B．0＜a＜b＜1C．1＜b＜aD．1＜a＜b[解析]∵x＞0时，1＜bx，∴b＞1.∵x＞0时，bx＜ax，∴x＞0时，abx＞1.∴ab＞1，∴a＞b，∴1＜b＜a，故选C.[答案]C(2)已知函数f(x)＝－12x，a≤x＜0，－x2＋2x，0≤x≤4的值域是[－8，1]，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3]B．[－3，0)C．[－3，－1]D．{－3}[解析]当0≤x≤4时，f(x)∈[－8，1]，当a≤x＜0时，f(x)∈－12a，－1，∴－12a，－1⊆[－8，1]，即－8≤－12a＜－1，即－3≤a＜0，∴实数a的取值范围是[－3，0)．[答案]B(3)已知函数y＝b＋22xxa(a，b为常数，且a0，a≠1)在区间－32，0上有最大值3，最小值52，则a，b的值为__________．[解析]令t＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，∵x∈－32，0，∴t∈[－1，0]．①若a1，函数f(t)＝at在[－1，0]上为增函数，∴at∈1a，1，b＋22xxa∈b＋1a，b＋1，依题意得b＋1a＝52，b＋1＝3，解得a＝2，b＝2.②若0a1，函数f(t)＝at在[－1，0]上为减函数，∴at∈1，1a，b＋22xxa∈b＋1，b＋1a，依题意得b＋1a＝3，b＋1＝52，解得a＝23，b＝32.综上知，a＝2，b＝2或a＝23，b＝32.[答案]a＝2，b＝2或a＝23，b＝32[小结](1)利用指数函数的函数性质比较大小或解不等式，最重要的是“同底”原则．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．6．已知a＝3525，b＝2535，c＝2525，则()A．abcB．cbaC．cabD．bca[解析]∵y＝