（新课标）2020版高考数学二轮复习 专题一 三角函数与解三角形 第2讲 三角恒等变换与解三角形课件

数学第二部分高考热点分层突破专题一三角函数与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形01做高考真题明命题趋向02研考点考向破重点难点03练典型习题提数学素养[做真题]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知α∈0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝()A.15B.55C.33D.255解析：选B.由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝1－2sin2α＋1，即2sinαcosα＝1－sin2α.因为α∈0，π2，所以cosα＝1－sin2α，所以2sinα1－sin2α＝1－sin2α，解得sinα＝55，故选B.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－14，则bc＝()A．6B．5C．4D．3解析：选A.由题意及正弦定理得，b2－a2＝－4c2，所以由余弦定理得，cosA＝b2＋c2－a22bc＝－3c22bc＝－14，得bc＝6.故选A.3．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅱ)已知tanα－5π4＝15，则tanα＝________．解析：法一：因为tanα－5π4＝15，所以tanα－tan5π41＋tanαtan5π4＝15，即tanα－11＋tanα＝15，解得tanα＝32.法二：因为tanα－5π4＝15，所以tanα＝tanα－5π4＋5π4＝tanα－5π4＋tan5π41－tanα－5π4tan5π4＝15＋11－15×1＝32.答案：324．(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinA＋C2＝bsinA.(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．解：(1)由题设及正弦定理得sinAsinA＋C2＝sinBsinA.因为sinA≠0，所以sinA＋C2＝sinB.由A＋B＋C＝180°，可得sinA＋C2＝cosB2，故cosB2＝2sinB2cosB2.因为cosB2≠0，故sinB2＝12，因此B＝60°.(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC＝34a.由正弦定理得a＝csinAsinC＝sin（120°－C）sinC＝32tanC＋12.由于△ABC为锐角三角形，故0°A90°，0°C90°.由(1)知A＋C＝120°，所以30°C90°，故12a2，从而38S△ABC32.因此，△ABC面积的取值范围是38，32.[明考情]1．高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现．2．若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般．3．若以解答题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17、18题位置上，难度中等．[知识整合]两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ.(2)cos(α±β)＝cosαcosβ∓sinαsinβ.(3)tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.三角恒等变换及求值(综合型)二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α＝2sinαcosα.(2)cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.(3)tan2α＝2tanα1－tan2α.[典型例题](1)若2cos2θcosθ＋π4＝3sin2θ，则sin2θ＝()A.13B.23C．－23D．－13(2)若α，β∈0，π2，sinα＝55，cosπ2－β＝31010，则β－α＝()A.π6B.π4C.π3D.π12【解析】(1)因为2cos2θcosθ＋π4＝3sin2θ，所以2（cos2θ－sin2θ）cosθcosπ4－sinθsinπ4＝3sin2θ，即2(cosθ＋sinθ)＝3sin2θ，两边平方得：4(1＋sin2θ)＝3sin22θ，即3sin22θ－4sin2θ－4＝0.解得：sin2θ＝2(舍去)或sin2θ＝－23.(2)由sinα＝55，及α∈0，π2，得cosα＝255，由cosπ2－β＝sinβ＝31010，及β∈0，π2，得cosβ＝1010，所以sin(β－α)＝sinβcosα－cosβsinα＝31010×255－1010×55＝22，又因为β－α∈(－π2，π2)，所以β－α＝π4.【答案】(1)C(2)B三角函数恒等变换的“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1＝sin2θ＋cos2θ＝tan45°等．(2)项的分拆与角的配凑：如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α，α＝(α－β)＋β等．(3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次．(4)弦、切互化：一般是切化弦．[对点训练]1.3cos15°－4sin215°cos15°＝()A.12B.22C．1D.2解析：选D.3cos15°－4sin215°cos15°＝3cos15°－2sin15°×2sin15°cos15°＝3cos15°－2sin15°sin30°＝3cos15°－sin15°＝2cos(15°＋30°)＝2.2．已知tanα＋π4＝34，则cos2π4－α＝()A.725B.925C.1625D.2425解析：选B.tanα＋π4＝1＋tanα1－tanα＝34，解得tanα＝－17，故cos2π4－α＝1＋cosπ2－2α2＝1＋sin2α2＝12＋sinαcosα，其中sinαcosα＝sinαcosαsin2α＋cos2α＝tanαtan2α＋1＝－750，故12＋sinαcosα＝925.3．(一题多解)(2019·福州市质量检测)已知sinθ－π6＝12，且θ∈0，π2，则cosθ－π3＝()A．0B.12C．1D.32解析：选C.法一：由sinθ－π6＝12，且θ∈0，π2得，θ＝π3，所以cosθ－π3＝cos0＝1，故选C.法二：由sinθ－π6＝12，且θ∈0，π2得，cosθ－π6＝32，所以cosθ－π3＝cosθ－π6－π6＝cosθ－π6cosπ6＋sinθ－π6sinπ6＝1，故选C.[知识整合]正弦定理及其变形在△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC＝2R(R为△ABC的外接圆半径)．变形：a＝2RsinA，sinA＝a2R，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC等．正弦定理与余弦定理的应用(综合型)余弦定理及其变形在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA；变形：b2＋c2－a2＝2bccosA，cosA＝b2＋c2－a22bc.三角形面积公式S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB.[典型例题](2019·高考全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设(sinB－sinC)2＝sin2A－sinBsinC.(1)求A；(2)若2a＋b＝2c，求sinC.【解】(1)由已知得sin2B＋sin2C－sin2A＝sinBsinC，故由正弦定理得b2＋c2－a2＝bc.由余弦定理得cosA＝b2＋c2－a22bc＝12.因为0°＜A＜180°，所以A＝60°.(2)由(1)知B＝120°－C，由题设及正弦定理得2sinA＋sin(120°－C)＝2sinC，即62＋32cosC＋12sinC＝2sinC，可得cos(C＋60°)＝－22.由于0°＜C＜120°，所以sin(C＋60°)＝22，故sinC＝sin(C＋60°－60°)＝sin(C＋60°)cos60°－cos(C＋60°)sin60°＝6＋24.正、余弦定理的适用条件(1)“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理．(2)“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理．[对点训练]1．(2019·济南市模拟考试)在△ABC中，AC＝5，BC＝10，cosA＝255，则△ABC的面积为()A.52B．5C．10D.102解析：选A.由AC＝5，BC＝10，BC2＝AB2＋AC2－2AC·ABcosA，得AB2－4AB－5＝0，解得AB＝5，而sinA＝1－cos2A＝55，故S△ABC＝12×5×5×55＝52.选A.2．(2019·贵阳市第一学期监测)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝1，2acosC＋c＝2b，则角A＝________．解析：由题意，2acosC＋c＝2b，利用正弦定理，得2sinAcosC＋sinC＝2sinB，(1)，将sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC代入(1)式得sinC＝2cosAsinC，又sinC≠0，故cosA＝12，所以A＝π3.答案：π33．(2019·洛阳市统考)如图，四边形ABCD中，AC＝3BC，AB＝4，∠ABC＝π3.(1)求∠ACB；(2)若∠ADC＝2π3，四边形ABCD的周长为10，求四边形ABCD的面积．解：(1)设BC＝a，则AC＝3a，由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，得3a2＝42＋a2－2×4·a·12，所以a2＋2a－8＝0，所以a＝2或a＝－4(舍去)，所以AB2＝AC2＋BC2，所以∠ACB＝π2.(2)因为四边形ABCD的周长为10，AB＝4，BC＝2，所以AD＋CD＝4.又AC2＝AD2＋DC2－2AD·DC·cos∠ADC，即12＝AD2＋DC2＋AD·DC＝(AD＋DC)2－AD·DC，所以AD·DC＝4.所以S△ADC＝12AD·DC·sin23π＝3.所以S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC＝23＋3＝33.[典型例题]已知函数f(x)＝sin2x－cos2x＋23sinxcosx(x∈R)．(1)求f(x)的最小正周期；(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(∠BAC)＝2，c＝5，cosB＝17，求中线AD的长．与解三角形有关的交汇问题(交汇型)【解】(1)f(x)＝－cos2x＋3sin2x＝2sin2x－π6，所以最小正周期T＝2π2＝π，所以函数f(x)的最小正周期为π.(2)由(1)知f(x)＝2sin2x－π6.因为f(∠BAC)＝2，所以sin2∠BAC－π6＝1，所以2∠BAC－π6＝π2，所以∠BAC＝π3，又cosB＝17，所以sinB＝437，所以sinC＝sin(∠BAC＋B)＝32×17＋12×437＝5314.在△ABC中，由正弦定理csinC＝asin∠BAC，得55314＝a32，所以a＝7，所以BD＝72.在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cosB＝52＋722－2×5×72×17＝1294.所以AD＝1292.(1)该题是解三角形与三角函数的综合型问题，三角函数在该题中的作用就是利用函数值给出三角形的内角∠BAC，此时的条件类型就是两角一边，利用正、余弦定理求解即可．(2)中线的求解，也可以利用向量法，显然AD→＝12(AB→＋AC→)，然后利用向量数量积运算即可求得结果．(3)求解三角函数与解三角形的综合问题，关键是准确找出题中的条件，并在三角形中准确标出数据，如本题，根据已知将问题转化为三角形中相关数据的求解，然后根据