（新课标）2020版高考数学二轮复习 专题一 三角函数与解三角形 第1讲 三角函数的图象与性质课件

数学第二部分高考热点分层突破专题一三角函数与解三角形第1讲三角函数的图象与性质01做高考真题明命题趋向02研考点考向破重点难点03练典型习题提数学素养[做真题]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若x1＝π4，x2＝3π4是函数f(x)＝sinωx(ω＞0)两个相邻的极值点，则ω＝()A．2B.32C．1D.12解析：选A.依题意得函数f(x)的最小正周期T＝2πω＝2×3π4－π4＝π，解得ω＝2，选A.2．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知sinα－cosα＝43，则sin2α＝()A．－79B．－29C.29D.79解析：选A.将sinα－cosα＝43的两边进行平方，得sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝169，即sin2α＝－79，故选A.3．(2016·高考全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为()A．y＝2sin2x＋π4B．y＝2sin2x＋π3C．y＝2sin2x－π4D．y＝2sin2x－π3解析：选D.函数y＝2sin2x＋π6的周期为π，所以将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移π4个单位长度后，得到函数图象对应的解析式为y＝2sin2x－π4＋π6＝2sin2x－π3.故选D.4．(一题多解)(2018·高考全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D．π解析：选C.法一：f(x)＝cosx－sinx＝2cosx＋π4.当x∈[0，a]时，x＋π4∈π4，a＋π4，所以结合题意可知，a＋π4≤π，即a≤3π4，故所求a的最大值是3π4.故选C.法二：f′(x)＝－sinx－cosx＝－2sinx＋π4.于是，由题设得f′(x)≤0，即sinx＋π4≥0在区间[0，a]上恒成立．当x∈[0，a]时，x＋π4∈π4，a＋π4，所以a＋π4≤π，即a≤3π4，故所求a的最大值是3π4.故选C.5．(2019·高考全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx的最小值为________．解析：f(x)＝sin2x＋3π2－3cosx＝－cos2x－3cosx＝1－2cos2x－3cosx＝－2cosx＋342＋178，因为cosx∈[－1，1]，所以当cosx＝1时，f(x)取得最小值，f(x)min＝－4.答案：－4[明考情]1．高考对此部分内容的命题主要集中在三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题．2．主要以选择、填空题的形式考查，难度为中等偏下．[知识整合]三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．三角函数的基本问题(基础型)同角三角函数基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sinαcosα＝tanα.诱导公式：在kπ2＋α，k∈Z的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．[考法全练]1．若sinπ2＋α＝－35，且α∈π2，π，则tan(π－α)＝()A.43B.23C．－23D．－43解析：选A.由sinπ2＋α＝cosα＝－35，且α∈π2，π，得sinα＝1－cos2α＝45，所以tan(π－α)＝－tanα＝－sinαcosα＝－45－35＝43.2．已知sin(5π－α)＝3sin3π2＋α，则cosα＋π4sinα＋2cosα＝()A.225B.－25C．－22D．－2解析：选C.由sin(5π－α)＝3sin3π2＋α，得sinα＝－3cosα，所以tanα＝－3，则cosα＋π4sinα＋2cosα＝22（cosα－sinα）sinα＋2cosα＝22（1－tanα）tanα＋2＝22×4－1＝－22.故选C.3．(2019·福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边交单位圆O于点P(a，b)，且a＋b＝75，则cos2α＋π2的值是________．解析：由三角函数的定义知cosα＝a，sinα＝b，所以cosα＋sinα＝a＋b＝75，所以(cosα＋sinα)2＝1＋sin2α＝4925，所以sin2α＝4925－1＝2425，所以cos2α＋π2＝－sin2α＝－2425.答案：－2425[知识整合]函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(1)“五点法”作图设z＝ωx＋φ，令z＝0，π2，π，3π2，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．三角函数的图象与解析式(综合型)(2)图象变换y＝sinx――→向左（φ0）或向右（φ0）平移|φ|个单位y＝sin(x＋φ)――→纵坐标变为原来的A（A0）倍横坐标不变y＝Asin(ωx＋φ)．[典型例题](1)(2019·高考天津卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)是奇函数，且f(x)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若gπ4＝2，则f3π8＝()A．－2B．－2C.2D．2(2)(2019·蓉城名校第一次联考)已知函数f(x)＝Asin(2x＋θ)A＞0，|θ|＜π2的部分图象如图所示，f(a)＝f(b)＝0，f(a＋b)＝3，则f(x)＝________．【解析】(1)因为函数f(x)为奇函数，且|φ|＜π，所以φ＝0.又f(x)的最小正周期为π，所以2πω＝π，解得ω＝2.所以f(x)＝Asin2x.由题意可得g(x)＝Asinx，gπ4＝2，即Asinπ4＝2，解得A＝2.故f(x)＝2sin2x.所以f3π8＝2sin3π4＝2.故选C.(2)由题图可知A＝2，则f(x)＝2sin(2x＋θ)．因为f(a)＝f(b)＝0，所以fa＋b2＝2，则sin(a＋b＋θ)＝1，a＋b＋θ＝π2＋2kπ，k∈Z.由f(a＋b)＝3得sin[2(a＋b)＋θ]＝32，2(a＋b)＋θ＝π3＋2kπ，k∈Z，或2(a＋b)＋θ＝2π3＋2kπ，k∈Z，所以θ＝2π3＋2kπ或θ＝π3＋2kπ，k∈Z，又|θ|＜π2，所以θ＝π3，f(x)＝2sin2x＋π3.【答案】(1)C(2)2sin2x＋π3(1)函数表达式y＝Asin(ωx＋φ)＋B的确定方法字母确定途径说明A由最值确定A＝最大值－最小值2B由最值确定B＝最大值＋最小值2ω由函数的周期确定利用图象中最高、最低点或图象与x轴交点的横坐标确定周期φ由图象上的特殊点确定代入图象上某一个已知点的坐标，表示出φ后，利用已知范围求φ(2)三角函数图象平移问题的处理策略①看平移要求：首先要看题目要求由哪个函数平移得到哪个函数，这是判断移动方向的关键点．②看移动方向：移动的方向一般记为“正向左，负向右”，看y＝Asin(ωx＋φ)中φ的正负和它的平移要求．③看移动单位：在函数y＝Asin(ωx＋φ)中，周期变换和相位变换都是沿x轴方向的，所以ω和φ之间有一定的关系，φ是初相，再经过ω的压缩，最后移动的单位是φω.[对点训练]1．(2019·广州市调研测试)将函数y＝f(x)的图象向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin3x－16π的图象，则f(x)＝()A．sin32x＋16πB．sin6x－16πC．sin32x＋13πD．sin6x＋13π解析：选B.由题设知，先将函数y＝sin3x－16π的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，再将所得图象向右平移π3个单位长度即得函数f(x)的图象，故f(x)＝sin3×2x－π3－16π＝sin6x－16π.故选B.2．函数y＝sinωx(ω0)的部分图象如图所示，点A、B是最高点，点C是最低点，若△ABC是直角三角形，则ω的值为()A.π2B.π4C.π3D．π解析：选A.由已知得△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°，所以12|AB|＝ymax－ymin＝1－(－1)＝2，即|AB|＝4，而T＝|AB|＝2πω＝4，解得ω＝π2，故选A.3．(2019·蓉城名校第一次联考)若将函数g(x)图象上所有的点向左平移π6个单位长度得到函数f(x)的图象，已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则()A．g(x)＝sin2x＋π3B．g(x)＝sin2x＋2π3C．g(x)＝sin2xD．g(x)＝sin2x＋π6解析：选C.根据题图有A＝1，34T＝5π6－π12＝3π4⇒T＝π＝2πω⇒ω＝2(T为f(x)的最小正周期)，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，由fπ12＝sin2×π12＋φ＝1⇒sinπ6＋φ＝1⇒π6＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z⇒φ＝π3＋2kπ，k∈Z.因为|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以f(x)＝sin2x＋π3，将f(x)＝sin2x＋π3的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)＝fx－π6＝sin2x－π6＋π3＝sin2x.故选C.[知识整合]三角函数的单调区间(1)y＝sinx的单调递增区间是2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)，单调递减区间是2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)．三角函数的性质(综合型)(2)y＝cosx的单调递增区间是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，单调递减区间是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)．(3)y＝tanx的单调递增区间是kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)．三角函数的奇偶性、对称轴方程(1)y＝Asin(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)求得．(2)y＝Acos(ωx＋φ)，当φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为奇函数；当φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数；对称轴方程可由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)求得．(3)y＝Atan(ωx＋φ)，当φ＝kπ(k∈Z)时为奇函数．[典型例题](1)(2019·高考全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间π4，π2单调递增的是()A．f(x)＝|cos2x|B．f(x)＝|sin2x|C．f(x)＝cos|x|D．f(x)＝sin|x|(2)(一题多解)(2019·洛阳尖子生第二次联考)已知函数f(x)＝sinωx＋π6(ω＞0)在区间－π4，2π3上单调递增，则ω的取值范围为()A.0，83B.0，12C.12，83D.38，2【解析】(1)A中，函数f(x)＝|cos2x|的周期为π2，当x∈π4，π2时，2x∈π2，π，函数f(x)单调递增，故A正确；B中，函数f(x)＝|sin2x|的周期