（新课标）2020版高考数学二轮复习 专题三 立体几何 第2讲 空间点、线、面的位置关系课件 理 新

数学第二部分高考热点分层突破专题三立体几何第2讲空间点、线、面的位置关系01做高考真题明命题趋向02研考点考向破重点难点03练典型习题提数学素养[做真题]1．(2019·高考全国卷Ⅱ)设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是()A．α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面解析：选B．对于A，α内有无数条直线与β平行，当这无数条直线互相平行时，α与β可能相交，所以A不正确；对于B，根据两平面平行的判定定理与性质知，B正确；对于C，平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，所以C不正确；对于D，垂直于同一平面的两个平面可能相交，也可能平行，如长方体的相邻两个侧面都垂直于底面，但它们是相交的，所以D不正确．综上可知选B．2．(2019·高考全国卷Ⅲ)如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则()A．BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线解析：选B．取CD的中点O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO＝3，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP＝32，CP＝32，所以BM2＝MP2＋BP2＝(32)2＋(32)2＋22＝7，得BM＝7，所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线，选B．3．(2018·高考全国卷Ⅱ)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A．15B．56C．55D．22解析：选C．如图，连接BD1，交DB1于O，取AB的中点M，连接DM，OM，易知O为BD1的中点，所以AD1∥OM，则∠MOD为异面直线AD1与DB1所成角．因为在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝3，AD1＝AD2＋DD21＝2，DM＝AD2＋12AB2＝52，DB1＝AB2＋AD2＋DD21＝5，所以OM＝12AD1＝1，OD＝12DB1＝52，于是在△DMO中，由余弦定理，得cos∠MOD＝12＋522－5222×1×52＝55，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为55，故选C．[明考情]1．高考对此部分的命题较为稳定，一般为“一小一大”或“一大”，即一道选择或填空题和一道解答题或仅一道解答题．2．选择题一般在第10～11题的位置，填空题一般在第14题的位置，多考查线面位置关系的判断，难度较小．3．解答题多出现在第18或19题的第一问的位置，考查空间中平行或垂直关系的证明，难度中等．[考法全练]1．(2019·江西七校第一次联考)设m，n是空间中两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是()A．若m∥n，n⊂α，则m∥αB．若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥nC．若α∥β，m⊥α，则m⊥βD．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β空间线面位置关系的判定解析：选C．若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂α，所以选项A不正确；若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n或m与n异面，所以选项B不正确；由面面平行的性质、线面垂直的性质及判定知选项C是正确的；若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β或α与β相交，所以选项D不正确．故选C．2．(2019·武汉市调研测试)已知两个平面相互垂直，下列命题中，①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线；②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确命题个数是()A．3B．2C．1D．0解析：选C．构造正方体ABCD­A1B1C1D1，如图，①，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，BD⊂平面ABCD，但A1D与BD不垂直，故①错；②，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，l是平面ADD1A1内的任意一条直线，l与平面ABCD内同AB平行的所有直线垂直，故②正确；③，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，A1D⊂平面ADD1A1，但A1D与平面ABCD不垂直，故③错；④，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面ADD1A1⊥平面ABCD，且平面ADD1A1∩平面ABCD＝AD，过交线AD上的点作交线的垂线l，则l可能与另一平面垂直，也可能与另一平面不垂直，故④错．故选C．3.(2019·福建省质量检查)如图，AB是圆锥SO的底面圆O的直径，D是圆O上异于A，B的任意一点，以AO为直径的圆与AD的另一个交点为C，P为SD的中点．现给出以下结论：①△SAC为直角三角形；②平面SAD⊥平面SBD；③平面PAB必与圆锥SO的某条母线平行．其中正确结论的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选C．如图，连接OC，因为AO为圆的直径，所以AC⊥OC，因为SO垂直于底面圆O，AC⊂底面圆O，所以AC⊥SO，因为SO∩OC＝O，所以AC⊥平面SOC.又SC⊂平面SOC，所以AC⊥SC，所以△SAC为直角三角形，故①正确．由于点D是圆O上的动点，所以平面SAD不能总垂直于平面SBD，故②错误，连接DO并延长交圆O于E，连接SE，PO，因为P为SD的中点，O为DE的中点，所以OP∥SE.又OP⊂平面PAB，SE⊄平面PAB，所以SE∥平面PAB，故③正确，故选C．4．(2019·福建五校第二次联考)已知正方体ABCD­A1B1C1D1的体积为1，点M在线段BC上(点M异于B，C两点)，点N为线段CC1的中点．若平面AMN截正方体ABCD­A1B1C1D1所得的截面为四边形，则线段BM的取值范围为()A．0，13B．0，12C．23，1D．12，1解析：选B．易知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为1.若M为BC的中点，则MN∥AD1，所以此时截面为四边形AMND1，所以BM＝12符合题意．若0BM12，如图1，作BP∥MN交CC1于点P，再作PQ∥C1D1交DD1于点Q，连接AQ，易知MN∥AQ，所以此时截面为四边形AMNQ，所以0BM12符合题意．若12BM1，如图2，作BP∥MN交B1C1于点P，再作PQ∥C1D1交A1D1于点Q，连接AQ，易知MN∥AQ，所以点Q在平面AMN内，设平面AMN与直线C1D1交于点E，连接QE，NE，则此时截面为五边形AQENM，显然不符合题意，综上可知，BM∈0，12.故选B．5．(2019·河北省九校第二次联考)已知两条不同的直线m，n，两个不重合的平面α，β，给出下面五个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α；②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n；③m∥n，m∥α⇒n∥α；④m⊥α，m∥β⇒α⊥β；⑤α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β.其中正确命题的序号是________．解析：命题①，显然正确；命题②，m，n可能异面，故②为假命题；命题③，可能n⊂α，故③为假命题；命题④，由线面垂直、线面平行的性质以及面面垂直的判定知④为真命题；命题⑤，由m∥n，m⊥α，得n⊥α，又α∥β，所以n⊥β，故⑤为真命题．综上，正确的命题为①④⑤.答案：①④⑤判断与空间位置关系有关的命题真假的3种方法(1)借助空间线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定定理和性质定理进行判断．(2)借助于反证法，当从正面入手较难时，可利用反证法，推出与题设或公认的结论相矛盾的命题，进而作出判断．(3)借助空间几何模型，如从长方体模型、四面体模型等模型中观察线面位置关系，结合有关定理，进行肯定或否定．[典型例题]由四棱柱ABCD­A1B1C1D1截去三棱锥C1­B1CD1后得到的几何体如图所示．四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD.(1)证明：A1O∥平面B1CD1；(2)设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1.空间中平行、垂直关系的证明【证明】(1)取B1D1的中点O1，连接CO1，A1O1，由于ABCD­A1B1C1D1为四棱柱，所以A1O1∥OC，A1O1＝OC，因此四边形A1OCO1为平行四边形，所以A1O∥O1C.又O1C⊂平面B1CD1，A1O⊄平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD，E，M分别为AD和OD的中点，所以EM⊥BD.又A1E⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以A1E⊥BD.因为B1D1∥BD，所以EM⊥B1D1，A1E⊥B1D1.又A1E，EM⊂平面A1EM，A1E∩EM＝E，所以B1D1⊥平面A1EM.又B1D1⊂平面B1CD1，所以平面A1EM⊥平面B1CD1.平行关系及垂直关系的转化空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化，即通过判定、性质定理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化．[对点训练]1.如图，在四棱锥P­ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，PA⊥AB，CD⊥AD，BC＝CD＝12AD，E为AD的中点．(1)求证：PA⊥CD.(2)求证：平面PBD⊥平面PAB.证明：(1)因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，又因为PA⊥AB，所以PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.(2)由已知，BC∥ED，且BC＝ED，所以四边形BCDE是平行四边形，又CD⊥AD，BC＝CD，所以四边形BCDE是正方形，连接CE(图略)，所以BD⊥CE，又因为BC∥AE，BC＝AE，所以四边形ABCE是平行四边形，所以CE∥AB，则BD⊥AB.由(1)知PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，又因为PA∩AB＝A，则BD⊥平面PAB，且BD⊂平面PBD，所以平面PBD⊥平面PAB.2．如图，已知斜三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，D1分别为AC，A1C1上的点．(1)当A1D1D1C1等于何值时，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求ADDC的值．解：(1)如图，取D1为线段A1C1的中点，此时A1D1D1C1＝1，连接A1B交AB1于点O，连接OD1.由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1.又因为OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1.所以当A1D1D1C1＝1时，BC1∥平面AB1D1.(2)由已知，平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BDC1＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O.因此BC1∥D1O，同理AD1∥DC1.因为A1D1D1C1＝A1OOB，A1D1D1C1＝DCAD.又因为A1OOB＝1，所以DCAD＝1，即ADDC＝1.[典型例题]如图①，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC＝90°，AB＝BC.把△BAC沿AC折起到△PAC的位置，使得P点在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，如图②所示，点E，F分别为棱PC，CD的中点．(1)求证：平面OEF∥平面PAD；(2)求证：CD⊥平面POF；(3)若AD＝3，CD＝4，AB＝5，求三棱锥E­CFO的体积．平面图形的折叠问题【解】(1)证明：因为点P在平面ADC上的正投影O恰好落在线段AC上，所以PO⊥平面ADC，所以PO⊥AC.由题意知O是AC的中点，又点E是PC的中点，所以OE∥PA，又OE⊄平面P