（新高考）2020高考数学二轮复习 专题六 函数与导数 第一讲 小题考法（一）——函数的图象与性质课

专题六函数与导数把握考情诊断学情考查内容主要考查函数的概念及性质、函数图象的识辨、指、对、幂函数及函数图象的应用、导数的概念与运算及求导法则、导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、极值、最值及导数与不等式的综合问题考查题型对函数图象和性质的考查主要是以选择题或填空题的形式，而对导数的考查主要是以解答题的形式，有时也会在选择题的压轴题上呈现，分值为20～27分存在问题(1)判断函数奇偶性时忽视定义域而致误；(2)求复合函数单调区间时忽视定义域而致误；(3)研究函数的导数时忽略定义域而致误；(4)含参数问题不讨论或讨论不彻底而致误；(5)恒成立和存在性问题中求最大或最小值混淆；(6)不等式证明不能转化为函数最值把握考情诊断学情考查素养(1)通过求函数的定义域、分段函数求值、导数的几何意义，考查数学运算的核心素养；(2)借助函数图象的识别与判断考查直观想象和逻辑推理的核心素养；(3)利用函数的零点个数的判断或根据零点个数求参数范围，考查直观想象和数学运算的核心素养；(4)借助导数研究函数的单调性和最值及综合应用问题，考查逻辑推理和数学运算、直观想象的核心素养解决方法(1)研究问题定义域优先；(2)分类讨论界点的确定，往往是分类讨论成败的关键，分类讨论时应重点关注：①二次函数的系数；②二次函数的判别式；③定义域或给定区间；④函数的值域；⑤导函数的零点；(3)对参数的讨论是从正负、大小等多角度讨论；(4)a≤f(x)恒成立是指a≤f(x)min；存在x使得a≤f(x)，是指a≤f(x)max第一讲小题考法(一)——函数的图象与性质一、高考真题集中研究——明规律题组(一)函数的概念及其表示1．(2015·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝1＋log22－x，x1，2x－1，x≥1，则f(－2)＋f(log212)＝()A．3B．6C．9D．12解析：∵－21，∴f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋log24＝1＋2＝3.∵log2121，∴f(log212)＝2log212－1＝122＝6.∴f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.故选C.答案：C2．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝x＋1，x≤0，2x，x0，则满足f(x)＋fx－121的x的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x≤0,0x≤12，x12讨论．当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋121，解得x－14，∴－14x≤0.当0x≤12时，原不等式为2x＋x＋121，显然成立．当x12时，原不等式为2x＋2x－121，显然成立．综上可知，所求x的取值范围是－14，＋∞.答案：－14，＋∞[怎么考]主要考查分段函数求值或解不等式问题，搞清不同定义区间上函数关系式的意义是解决此类问题的关键．题组(二)函数的图象1．(2019·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝sinx＋xcosx＋x2在[－π，π]的图象大致为()解析：∵f(－x)＝sin－x－xcos－x＋－x2＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，排除A.当x＝π时，f(π)＝π－1＋π20，排除B、C，故选D.答案：D2．(2018·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ex－e－xx2的图象大致为()解析：∵y＝ex－e－x是奇函数，y＝x2是偶函数，∴f(x)＝ex－e－xx2是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项．当x＝1时，f(1)＝e－1e0，排除D选项．又e2，∴1e12，∴e－1e1，排除C选项．故选B.答案：B3．(2016·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝x＋1x与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则i＝1m(xi＋yi)＝()A．0B．mC．2mD．4m解析：因为f(－x)＝2－f(x)，所以f(－x)＋f(x)＝2.因为－x＋x2＝0，f－x＋fx2＝1，所以函数y＝f(x)的图象关于点(0,1)对称．函数y＝x＋1x＝1＋1x，故其图象也关于点(0,1)对称．所以函数y＝x＋1x与y＝f(x)图象的交点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)成对出现，且每一对均关于点(0,1)对称，所以i＝1mxi＝0，i＝1myi＝2×m2＝m，所以i＝1m(xi＋yi)＝m.答案：B4．(2015·全国卷Ⅱ)如图，长方形ABCD的边AB＝2，BC＝1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP＝x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则y＝f(x)的图象大致为()解析：当x∈0，π4时，f(x)＝tanx＋4＋tan2x，图象不会是直线段，从而排除A、C.当x∈π4，3π4时，fπ4＝f3π4＝1＋5，fπ2＝22.∵221＋5，∴fπ2fπ4＝f3π4，从而排除D，故选B.答案：B[怎么考]根据函数解析式辨析函数图象是高考对此考点的经典考法，解决此类问题要重点关注函数的定义域、单调性、奇偶性等在函数图象中的呈现，要牢记基本初等函数图象特征，函数图象的识别无非就是基本初等函数图象的复合．题组(三)函数的性质1．(2019·全国卷Ⅲ)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则()A．flog314f2－32f2－23B．flog314f2－23f2－32C．f2－32f2－23flog314D．f2－23f2－32flog314解析：因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以flog314＝f(－log34)＝f(log34)．又因为log3412－232－320且函数f(x)在(0，＋∞)单调递减，所以f(2－32)f(2－23)flog314.故选C.答案：C2．(2019·全国卷Ⅱ)设函数f(x)的定义域为R，满足f(x＋1)＝2f(x)，且当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－89，则m的取值范围是()A.－∞，94B．－∞，73C.－∞，52D．－∞，83解析：∵当x∈(0,1]时，f(x)＝x(x－1)，∴当x∈(0,1]时，f(x)∈－14，0.∵f(x＋1)＝2f(x)，∴当x∈(－1,0]时，x＋1∈(0,1]，f(x)＝12f(x＋1)＝12(x＋1)x，f(x)∈－18，0；当x∈(－2，－1]时，x＋1∈(－1,0]，f(x)＝12f(x＋1)＝14f(x＋2)＝14(x＋2)(x＋1)，f(x)∈－116，0；…；当x∈(1,2]时，x－1∈(0,1]，f(x)＝2f(x－1)＝2(x－1)(x－2)，f(x)∈－12，0；当x∈(2,3]时，x－1∈(1,2]，f(x)＝2f(x－1)＝4f(x－2)＝4(x－2)(x－3)，f(x)∈[－1,0]；….作出函数f(x)的图象如图所示，由图可知，当2x≤3时，令4(x－2)(x－3)＝－89，整理，得(3x－7)(3x－8)＝0，解得x＝73或x＝83，将这两个值标注在图中．要使对任意x∈(－∞，m]都有f(x)≥－89，必有m≤73，即实数m的取值范围是－∞，73.故选B.[答案]B3．(2017·全国卷Ⅰ)函数f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[－2,2]B．[－1,1]C．[0,4]D．[1,3]解析：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∵f(1)＝－1，∴f(－1)＝－f(1)＝1.故由－1≤f(x－2)≤1，得f(1)≤f(x－2)≤f(－1)．又f(x)在(－∞，＋∞)单调递减，∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.答案：D4．(2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝()A．－50B．0C．2D．50解析：法一：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(1－x)＝－f(x－1)．由f(1－x)＝f(1＋x)，得－f(x－1)＝f(x＋1)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴函数f(x)是周期为4的周期函数．由f(x)为奇函数，得f(0)＝0.又∵f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于直线x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，∴f(－2)＝0.又f(1)＝2，∴f(－1)＝－2，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝f(1)＋f(2)＋f(－1)＋f(0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋…＋f(49)＋f(50)＝0×12＋f(49)＋f(50)＝f(1)＋f(2)＝2＋0＝2.法二：由题意可设f(x)＝2sinπ2x，作出f(x)的部分图象如图所示．由图可知，f(x)的一个周期为4，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(49)＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.[答案]C5．(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x0时，f(x)＝－eax.若f(ln2)＝8，则a＝________.解析：设x0，则－x0.∵当x0时，f(x)＝－eax，∴f(－x)＝－e－ax.∵f(x)是奇函数，∴当x0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，∴f(ln2)＝e－aln2＝(eln2)－a＝2－a.又∵f(ln2)＝8，∴2－a＝8，∴a＝－3.答案：－3[怎么考]函数的单调性、奇偶性、周期性、图象的对称性在高考中占有很重要的位置，高考中主要涉及函数的单调性、求参数的取值范围、比较大小、解不等式、利用奇偶性求值等．有时与导数相综合且难度较大，通过函数的单调性、奇偶性、周期性的应用，考查数形结合思想，分类讨论思想以及考生的逻辑推理、数学运算的核心素养．二、高频考点逐一精析——扫盲点考点(一)函数的概念及其表示[大稳定——常规角度考“四基”]1．[求函数的定义域]函数y＝log2(2x－4)＋1x－3的定义域是()A．(2,3)B．(2，＋∞)C．(3，＋∞)D．(2,3)∪(3，＋∞)解析：由题意得2x－4＞0，x－3≠0，解得x＞2且x≠3，所以函数y＝log2(2x－4)＋1x－3的定义域为(2,3)∪(3，＋∞)，故选D.答案：D2．[分段函数求值]已知函数f(x)＝4912＋log42－x，x≤1，3x－8，x1，则f(f(log36))＝()A．1B．53C.52D．－2解析：因为log361，所以f(log36)＝3log36－8＝－2，所以f(f(log36))＝f(－2)＝4912＋log4(2＋2)＝23＋1＝53.故选B.答案：B3．[分段函数与不等式]已知函数f(x)＝13x3－12x2，x0，ex，x≥0，则f(3－x2)f(2x)的解集为()A．(－∞，－3)∪(1，＋∞)B．(－3,1)C．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D．(－1,3)解析：易知，当x0时，f′(x)＝x2－x0，f(x)为增函数，当x≥0时，f(x)＝ex也为增函数，且x0时，f(x)0，x≥0时，f(x)≥1，故f(x)在R上为单调递增函数．故f(3－x2)f(2x)等价于3－x22x，解得－3x1，故选B.答案：B4．[分段函数求参数值