（新高考）2020高考数学二轮复习 专题六 函数与导数 第三讲 小题考法（三）——导数的简单应用课件

第三讲小题考法(三)——导数的简单应用一、高考真题集中研究——明规律题组(一)导数的几何意义1．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线y＝aex＋xlnx在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则()A．a＝e，b＝－1B．a＝e，b＝1C．a＝e－1，b＝1D．a＝e－1，b＝－1解析：∵y′＝aex＋lnx＋1，∴切线的斜率k＝y′|x＝1＝ae＋1，∴切线方程为y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1.又∵切线方程为y＝2x＋b，∴ae＋1＝2，b＝－1，即a＝e－1，b＝－1.答案：D2．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x解析：法一：∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.又∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.法二：易知f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax＝x[x2＋(a－1)x＋a]，因为f(x)为奇函数，所以函数g(x)＝x2＋(a－1)x＋a为偶函数，所以a－1＝0，解得a＝1，所以f(x)＝x3＋x，所以f′(x)＝3x2＋1，所以f′(0)＝1，所以曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D.答案：D3．(2018·全国卷Ⅱ)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为________．解析：∵y＝2ln(x＋1)，∴y′＝2x＋1.令x＝0，得y′＝2，由切线的几何意义得切线斜率为2，又切线过点(0,0)，∴切线方程为y＝2x.答案：y＝2x4．(2018·全国卷Ⅲ)曲线y＝(ax＋1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为－2，则a＝________.解析：∵y′＝(ax＋a＋1)ex，∴当x＝0时，y′＝a＋1，∴a＋1＝－2，解得a＝－3.答案：－35．(2016·全国卷Ⅱ)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝________.解析：y＝lnx＋2的切线方程为：y＝1x1·x＋lnx1＋1(设切点横坐标为x1)，y＝ln(x＋1)的切线方程为：y＝1x2＋1x＋ln(x2＋1)－x2x2＋1(设切点的横坐标为x2)，∴1x1＝1x2＋1，lnx1＋1＝lnx2＋1－x2x2＋1，解得x1＝12，x2＝－12，∴b＝lnx1＋1＝1－ln2.答案：1－ln2[怎么考]对导数几何意义的考查主要有两个方面：(1)给出具体解析式求切线方程；(2)给出切线方程求切点坐标、切线或函数解析式中的参数，无论从哪个角度命题，均考查切线方程的求法，关键是正确求出所涉及函数解析式的导数．题组(二)函数的极值与最值1．(2017·全国卷Ⅱ)若x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，则f(x)的极小值为()A．－1B．－2e－3C．5e－3D．1解析：因为f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，所以f′(x)＝(2x＋a)ex－1＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.因为x＝－2是函数f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1的极值点，所以－2是x2＋(a＋2)x＋a－1＝0的根，所以a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1.令f′(x)0，解得x－2或x1，令f′(x)0，解得－2x1，所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以当x＝1时，f(x)取得极小值，且f(x)极小值＝f(1)＝－1.答案：A2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2sinx＋sin2x，则f(x)的最小值是________．解析：f′(x)＝2cosx＋2cos2x＝2cosx＋2(2cos2x－1)＝2(2cos2x＋cosx－1)＝2(2cosx－1)(cosx＋1)．∵cosx＋1≥0，∴当cosx12时，f′(x)0，f(x)单调递减；当cosx12时，f′(x)0，f(x)单调递增．∴当cosx＝12，f(x)有最小值．又f(x)＝2sinx＋sin2x＝2sinx(1＋cosx)，∴当sinx＝－32时，f(x)有最小值，即f(x)min＝2×－32×1＋12＝－332.答案：－332[怎么考]此类题目很少在选择、填空题中单独考查，主要考查函数极值、最值的通性、通法以及数学运算的核心素养．二、高频考点逐一精析——扫盲点考点(一)导数的几何意义[大稳定——常规角度考“四基”]1．[已知切点求切线方程](2019·全国卷Ⅱ)曲线y＝2sinx＋cosx在点(π，－1)处的切线方程为()A．x－y－π－1＝0B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0D．x＋y－π＋1＝0解析：设y＝f(x)＝2sinx＋cosx，则f′(x)＝2cosx－sinx，∴f′(π)＝－2，∴曲线在点(π，－1)处的切线方程为y－(－1)＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0.答案：C2．[已知切线方程求切点坐标]若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________．解析：令f(x)＝e－x，则f′(x)＝－e－x.设P(x0，y0)，则f′(x0)＝－e－x0＝－2，解得x0＝－ln2，所以y0＝e－x0＝eln2＝2，所以点P的坐标为(－ln2,2)．答案：(－ln2,2)3．[已知切线方程求参数]已知函数f(x)＝lnx－ax(a∈R)的图象与直线x－y＋1＝0相切，则实数a的值为________．解析：设直线x－y＋1＝0与函数f(x)＝lnx－ax的图象的切点为P(x0，y0)，因为f′(x)＝1x－a，所以由题意，得x0－y0＋1＝0，1x0－a＝1，lnx0－ax0＝y0，解得a＝1e2－1.答案：1e2－14．[已知切线条数求参数取值范围]若过点A(a,0)作曲线C：y＝xex的切线有且仅有两条，则实数a的取值范围是________．解析：设切点坐标为(x0，x0ex0)，y′＝(x＋1)ex，y′|x＝x0＝(x0＋1)ex0，所以切线方程为y－x0ex0＝(x0＋1)ex0(x－x0)，将点A(a,0)代入可得－x0ex0＝(x0＋1)ex0(a－x0)，化简，得x20－ax0－a＝0，因为过点A(a,0)作曲线C的切线有且仅有两条，所以方程x20－ax0－a＝0有两个解，则有Δ＝a2＋4a0，解得a0或a－4，故实数a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)．答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞)[解题方略]1．求曲线y＝f(x)的切线方程的3种类型及方法类型方法已知切点P(x0，y0)，求切线方程求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程已知切线的斜率k，求切线方程设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程已知切线上一点(非切点)，求切线方程设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程2．利用导数的几何意义求参数的基本方法利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围．[提醒]注意曲线上点的横坐标的取值范围．[小创新——变换角度考“迁移”]1．[与三角函数交汇]若点P是函数y＝2sinxsinx＋cosx图象上任意一点，直线l为点P处的切线，则直线l倾斜角的取值范围是()A.0，π4B．π4，π3C.π4，π2D．π2，3π4解析：因为sinx＋cosx＝2sinx＋π4，由x＋π4≠kπ，k∈Z，知函数f(x)的定义域为xx≠kπ－π4，k∈Z.设直线l的倾斜角为θ，则y′＝2[cosxsinx＋cosx－sinxcosx－sinx]sinx＋cosx2＝22sinx＋π42＝1sin2x＋π4.因为0sin2x＋π4≤1，所以y′≥1，即tanθ≥1.又0≤θπ，所以π4≤θπ2，故选C.答案：C2．[与数列交汇]已知函数f(x)＝x2－ax的图象在点A(1，f(1))处的切线l与直线x＋3y－1＝0垂直，记数列1fn的前n项和为Sn，则S2019的值为()A.20172018B．20182019C.20162017D．20192020解析：由题意知f(x)＝x2－ax的图象在点A(1，f(1))处的切线斜率k＝f′(1)＝2－a＝3⇒a＝－1，故f(x)＝x2＋x.则1fn＝1nn＋1＝1n－1n＋1，S2019＝1－12＋12－13＋…[phone]＝1－12020＝20192020.答案：D3．[与圆交汇]曲线f(x)＝－x3＋3x2在点(1，f(1))处的切线截圆x2＋(y＋1)2＝4所得的弦长为()A．4B．22C．2D．2解析：因为f′(x)＝－3x2＋6x，所以f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率k＝－3＋6＝3，又f(1)＝2，故切线方程为y－2＝3(x－1)，即3x－y－1＝0.因为圆心C(0，－1)到直线3x－y－1＝0的距离d＝0，所以直线3x－y－1＝0截圆x2＋(y＋1)2＝4所得的弦长就是该圆的直径，故为4.答案：A考点(二)利用导数研究函数的单调性[典例](1)已知函数f(x)＝－lnx＋x22＋3，则函数f(x)的单调递减区间是()A．(－∞，0)B．(0,1)C．(0，＋∞)D．(1，＋∞)[解析]已知函数f(x)＝－lnx＋x22＋3，定义域为(0，＋∞)，则f′(x)＝－1x＋x.由f′x0，x0，得0x1.所以函数f(x)的单调递减区间为(0,1)．故选B.[答案]B(2)若函数f(x)＝2x3－3mx2＋6x在区间(1，＋∞)上为增函数，则实数m的取值范围是()A．(－∞，1]B．(－∞，1)C．(－∞，2]D．(－∞，2)[解析]因为f′(x)＝6(x2－mx＋1)，且函数f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数，所以f′(x)＝6(x2－mx＋1)≥0在(1，＋∞)上恒成立，即x2－mx＋1≥0在(1，＋∞)上恒成立，所以m≤x2＋1x＝x＋1x在(1，＋∞)上恒成立，即m≤x＋1xmin(x∈(1，＋∞))，因为当x∈(1，＋∞)时，x＋1x2，所以m≤2.故选C.[答案]C[解题方略]1．利用导数比较大小或解不等式的策略利用导数比较大小或解不等式，常常要构造新函数，把比较大小或求解不等式的问题转化为利用导数研究函数单调性的问题，再由单调性比较大小或解不等式．常见构造的辅助函数有：g(x)＝xf(x)，g(x)＝fxx，g(x)＝exf(x)，g(x)＝fxex，g(x)＝f(x)lnx，g(x)＝fxlnx等．2．由函数的单调性求参数取值范围的策略(1)可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，得到关于参数的不等式，从而转化为求函数的最值问题，求参数的取值范围；(2)可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)＞0(或f′(x)＜0)在该区间上存在解集，即f′(x)max＞0(或f′(x)min＜0)在该区间上有解，从而转化为不等式问题，求参数的取值范围．[集训冲关]1．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的可导函数，f′(x)为其导函数，若