（新高考）2020高考数学二轮复习 题型篇 专题五 解析几何 第一讲 小题考法（一）——直线与圆课件

专题五解析几何把握考情诊断学情考查内容小题多考查直线与圆的方程，圆锥曲线的标准方程和几何性质，解答题考查直线与圆锥曲线的位置关系、最值、范围、证明、定点、定值及探索性问题，且以椭圆、抛物线为主考查题型题型为“一小一大”或“二小一大”，难度中等及偏上存在问题(1)混淆椭圆与双曲线中a，b，c的关系；(2)抛物线上的点到焦点的距离不会进行转化；(3)忽视双曲线定义中的限制条件；(4)设直线方程时，未考虑斜率的存在性；(5)求轨迹方程时忽视隐含条件致误；(6)求解圆锥曲线的综合问题时不能合理转化已知条件把握考情诊断学情考查素养通过对曲线方程、圆锥曲线性质的研究与计算，考查学生的数学运算的核心素养；通过求直线与圆锥曲线的位置关系、定点、定值、最值(范围)等问题，考查学生的逻辑推理、直观想象、数学运算的核心素养解决方法(1)在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中a2＝c2－b2；(2)抛物线上的点到焦点的距离转化为抛物线上的点到准线的距离；(3)求双曲线方程时，满足|PF1|－|PF2|＝2a(02a|F1F2|)的曲线为双曲线的一支，应该注意合理取舍，防止产生增根第一讲小题考法(一)——直线与圆一、高考真题集中研究——明规律题组(一)圆的方程1．(2016·全国卷Ⅱ)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝()A．－43B．－34C.3D．2解析：圆的方程可化为(x－1)2＋(y－4)2＝4，则圆心坐标为(1,4)，所以圆心到直线ax＋y－1＝0的距离d＝|a＋4－1|a2＋1＝1，解得a＝－43.答案：A2．(2015·全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆x216＋y24＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．解析：由题意知a＝4，b＝2，上、下顶点的坐标分别为(0,2)，(0，－2)，右顶点的坐标为(4,0)．由圆心在x轴的正半轴上知圆过点(0,2)，(0，－2)，(4,0)三点．设圆的标准方程为(x－m)2＋y2＝r2(0m4，r0)，则m2＋4＝r2，4－m2＝r2，解得m＝32，r2＝254.所以圆的标准方程为x－322＋y2＝254.答案：x－322＋y2＝254[怎么考]圆的方程很少单独考查，通常与其他知识相结合，解决此类问题的关键是确定圆心和半径．题组(二)直线与圆、圆与圆的位置关系1．(2018·全国卷Ⅲ)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是()A．[2,6]B．[4,8]C．[2，32]D．[22，32]解析：设圆(x－2)2＋y2＝2的圆心为C，半径为r，点P到直线x＋y＋2＝0的距离为d，则圆心C(2,0)，r＝2，所以圆心C到直线x＋y＋2＝0的距离为|2＋2|2＝22，可得dmax＝22＋r＝32，dmin＝22－r＝2.由已知条件可得|AB|＝22，所以△ABP面积的最大值为12|AB|·dmax＝6，△ABP面积的最小值为12|AB|·dmin＝2.综上，△ABP面积的取值范围是[2,6]．答案：A2．(2015·全国卷Ⅱ)过三点A(1,3)，B(4,2)，C(1，－7)的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝()A．26B．8C．46D．10解析：设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，则D＋3E＋F＋10＝0，4D＋2E＋F＋20＝0，D－7E＋F＋50＝0.解得D＝－2，E＝4，F＝－20.∴圆的方程为x2＋y2－2x＋4y－20＝0.令x＝0，得y＝－2＋26或y＝－2－26，∴M(0，－2＋26)，N(0，－2－26)或M(0，－2－26)，N(0，－2＋26)，∴|MN|＝46，故选C.答案：C3．(2016·全国卷Ⅲ)已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点．若|AB|＝23，则|CD|＝________.解析：由直线l：mx＋y＋3m－3＝0知其过定点(－3，3)，圆心O到直线l的距离为d＝|3m－3|m2＋1.由|AB|＝23得3m－3m2＋12＋(3)2＝12，解得m＝－33.又直线l的斜率为－m＝33，所以直线l的倾斜角α＝π6.画出符合题意的图形如图所示，过点C作CE⊥BD，则∠DCE＝π6.在Rt△CDE中，可得|CD|＝|AB|cosπ6＝23×23＝4.答案：4[怎么考]直线与圆的位置关系、直线被圆截得的弦长以及直线与圆有关的三角形面积等问题是高考考查直线与圆的经典题型，圆与圆锥曲线也常结合考查．掌握4种求圆中弦长问题的技巧：(1)垂直于弦的直径平分这条弦；(2)圆心与弦的中点的连线垂直于这条弦；(3)d2＋l22＝r2，其中r为圆的半径，d为弦心距，l为弦长；(4)在研究与弦的中点有关的问题时，注意运用“平方差法”．二、高频考点逐一精析——扫盲点考点(一)直线的方程[大稳定——常规角度考“四基”]1．[两直线平行]已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与直线l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是()A．1或3B．1或5C．3或5D．1或2解析：当k＝4时，直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率存在，所以两直线不平行；当k≠4时，两直线平行的一个必要条件是3－k4－k＝k－3，解得k＝3或k＝5，但必须满足1k－4≠32(截距不等)才是充要条件，经检验知满足这个条件．答案：C2．[两直线垂直]已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足为P(1，p)，则m－n＋p的值是()A．24B．20C．0D．－4解析：∵直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，∴m－4×25＝－1，∴m＝10.直线mx＋4y－2＝0，即5x＋2y－1＝0，将垂足(1，p)代入，得5＋2p－1＝0，∴p＝－2.把P(1，－2)代入2x－5y＋n＝0，得n＝－12，∴m－n＋p＝20，故选B.答案：B3．[对称问题]坐标原点(0,0)关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是()A.－45，85B．－45，－85C.45，－85D．45，85解析：直线x－2y＋2＝0的斜率k＝12，设坐标原点(0,0)关于直线x－2y＋2＝0对称的点的坐标是(x0，y0)，依题意可得x02－2×y02＋2＝0，y0＝－2x0，解得x0＝－45，y0＝85，即所求点的坐标是－45，85.答案：A4．[两直线的交点与距离]已知直线l过直线l1：x－2y＋3＝0与直线l2：2x＋3y－8＝0的交点，且点P(0,4)到直线l的距离为2，则直线l的方程为_________________．解析：由x－2y＋3＝0，2x＋3y－8＝0，得x＝1，y＝2，所以直线l1与l2的交点为(1,2)．显然直线x＝1不符合，即所求直线的斜率存在，设所求直线的方程为y－2＝k(x－1)，即kx－y＋2－k＝0，因为P(0,4)到直线l的距离为2，所以|－4＋2－k|1＋k2＝2，所以k＝0或k＝43.所以直线l的方程为y＝2或4x－3y＋2＝0.答案：y＝2或4x－3y＋2＝0[解题方略]1．两直线的位置关系问题的解题策略求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即斜率相等且纵截距不相等或斜率互为负倒数．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式方程判断．2．轴对称问题的两种类型及求解方法点关于直线的对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，则线段P1P2的中点在对称轴l上，而且连接P1，P2的直线垂直于对称轴l.由方程组A·x1＋x22＋B·y1＋y22＋C＝0，y2－y1x2－x1·－AB＝－1，可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)直线关于直线的对称有两种情况，一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．一般转化为点关于直线的对称来解决[小创新——变换角度考“迁移”]1．[与函数问题交汇]已知函数f(x)＝asinx－bcosx(a≠0，b≠0)，若fπ4－x＝fπ4＋x，则直线ax－by＋c＝0的倾斜角为()A.π4B．π3C.2π3D．3π4解析：由fπ4－x＝fπ4＋x知函数f(x)的图象关于x＝π4对称，所以f(0)＝fπ2，所以a＝－b，由直线ax－by＋c＝0知其斜率k＝ab＝－1，所以直线的倾斜角为3π4，故选D.答案：D2．[与平移问题交汇]在平面直角坐标系xOy中，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1.再将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，又与直线l重合．若直线l与直线l1关于点(2,3)对称，则直线l的方程是________．解析：由题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝kx＋b，将直线l沿x轴正方向平移3个单位，沿y轴正方向平移5个单位，得到直线l1：y＝k(x－3)＋5＋b，将直线l1沿x轴正方向平移1个单位，沿y轴负方向平移2个单位，则平移后的直线方程为y＝k(x－3－1)＋b＋5－2，即y＝kx＋3－4k＋b.∴b＝3－4k＋b，解得k＝34.∴直线l的方程为y＝34x＋b，直线l1的方程为y＝34x＋114＋b，取直线l上的一点Pm，b＋3m4，则点P关于点(2,3)的对称点为4－m，6－b－34m，∴6－b－34m＝34(4－m)＋b＋114，解得b＝18.∴直线l的方程是y＝34x＋18，即6x－8y＋1＝0.答案：6x－8y＋1＝0考点(二)圆的方程[大稳定——常规角度考“四基”]1．[圆的一般方程与标准方程的转化]若a∈－2，0，1，34，则方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示的圆的个数为()A．0B．1C．2D．3解析：方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆的条件为a2＋4a2－4(2a2＋a－1)0，即3a2＋4a－40，解得－2a23.又a∈－2，0，1，34，∴仅当a＝0时，方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，故选B.答案：B2．[求圆的方程]圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为()A．x2＋y2－2x－3＝0B．x2＋y2＋4x＝0C．x2＋y2－4x＝0D．x2＋y2＋2x－3＝0解析：由题意设所求圆的方程为(x－m)2＋y2＝4(m0)，则|3m＋4|32＋42＝2，解得m＝2或m＝－143(舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故选C.答案：C[解题方略]求圆的方程的两种方法几何法通过已知条件，利用相应的几何知识求圆的圆心，半径代数法用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数[小创新——变换角度考“迁移”]1．[与基本不等式交汇]圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a0，b0)对称，则1a＋3b的最小值是()A．23B．203C．4D．163解析：由圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0知其标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝9，∵圆x2＋y2＋2x－6y＋1＝0关于直线ax－by＋3＝0(a0，b0)对称，∴该直线经过圆心(－1,3)，即－a－3b＋3＝0，∴a＋3b＝3(a0，b0)．∴1a＋3b＝13(a＋3b)1a＋3b＝131＋3ab＋3ba＋9≥1310＋23ab·3ba＝163，当且仅当3ba＝3ab，即a＝b时取等号，故选D.答案：D