（新高考）2020高考数学二轮复习 方法篇 技法（十）借用估算 快找“唯一”课件

技法(十)借用估算·快找“唯一”方法概述若有些问题不易(有时也没有必要)进行精确的运算和判断，则可以进行估算．估算是一种数学意识，它通过合理的观察比较、猜想推理或验证，做出正确的选择．当选项差距较大且没有合适的解题思路时，我们可以通过适当的放大或者缩小部分数据估算出答案的大概范围或者近似值，然后选取与估算值最接近的选项应用题型运用于选择题．该方法主要适用于比较大小，最值估计等问题[例1](2019·全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5－125－12≈0.618，称为黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm，头顶至脖子下端的长度为26cm，则其身高可能是()A．165cmB．175cmC．185cmD．190cm[常规解法]设某人身高为mcm，脖子下端至肚脐的长度为ncm，则由腿长为105cm，可得m－1051055－12≈0.618，解得m169.890.由头顶至脖子下端的长度为26cm，可得26n5－12≈0.618，解得n42.071.由已知可得26＋nm－n＋26＝5－12≈0.618，解得m178.218.综上可知，此人身高m满足169.890m178.218，所以其身高可能为175cm.故选B.[利用生活常识估算]买裤子时，需要知道自己的腿长．由生活经验可知，量腿长一般从脚底量到胯骨．估算裤子的上边缘到肚脐的距离约为5cm.设身高为hcm，头顶至肚脐的长度为xcm，肚脐至足底的长度为ycm，如图，则x＝5－12y，h＝1＋5－12y≈1.618y，由y105得h169.89，对照四个选项，结合生活经验，此时可猜答案为B.[答案]B[例2]已知球O的直径FC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝3，∠AFC＝∠BFC＝30°，则棱锥F­ABC的体积为()A．33B．23C.3D．1[常规解法]根据题意画出图象如图所示，因为FC为球的直径，所以∠FAC＝∠FBC＝90°.又∠AFC＝∠BFC＝30°，所以AC＝BC＝2，FA＝FB＝23.设D为AB中点，连接FD，则FD⊥AB，由FD2＝FA2－AD2得FD＝352，所以S△FAB＝12AB×FD＝3154.连接球心O与底面三角形FAB的外接圆圆心O1，可知OO1⊥底面FAB，则棱锥C­FAB的高h与OO1平行，又O为FC的中点，易知h＝2OO1，经计算可得OO1＝255，所以棱锥C­FAB的高h＝2OO1＝455，所以V棱锥F­ABC＝V棱锥C­FAB＝13S△FAB×h＝13×3154×455＝3.故选C.[估算法]观察此题选项，发现大小差距较大，我们可以直接采用估算法，算出棱锥F­ABC的体积的近似值，然后直接选取与近似值最接近的选项．计算完S△FAB＝12AB×FD＝3154后，我们将棱锥C­FAB的高h近似认为是AC，则V棱锥F­ABC＝V棱锥C­FAB≈13S△FAB×AC＝13×3154×2＝152，再与选项比较，可以发现与选项C接近，所以直接选C.[答案]C[例3]设a＝223，b＝log35，c＝log45，则a，b，c的大小关系是()A．abcB．acbC．bcaD．cba[解析]因为a＝2－231，b＝log35c＝log451，所以acb，故选B.[答案]B[应用体验]1．函数f(x)＝2sinx(sinx＋cosx)的最大值为()A．1＋2B．2－1C.2D．2解析：取x＝π3，则有fπ3＝332＋12＝32＋322，故所求函数的最大值应大于2，排除选项B、C、D，选A.答案：A2.如图，在多面体ABCDEF中，已知平面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF＝32，EF与平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为()A.92B．5C．6D．152解析：多面体ABCDEF是一个不规则的多面体，我们无法直接利用公式求出体积，观察图形，挖掘题目的隐含条件，连接BE，CE，四棱锥E­ABCD的体积容易求出来，根据多面体的体积大于四棱锥的体积，结合选项，易得多面体的体积．连接BE，CE，四棱锥E­ABCD的体积为VE­ABCD＝13×3×3×2＝6，多面体ABCDEF的体积大于四棱锥E­ABCD的体积，即所求几何体的体积VVE­ABCD＝6，而四个选项里面大于6的只有152，故选D.答案：D