（新高考）2020版高考数学二轮复习 主攻40个必考点 三角函数与解三角形、平面向量（二）课件 理

主攻40个必考点(二)三角函数的性质1．(2018·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝tanx1＋tan2x的最小正周期为()A.π4B.π2C．πD．2π解析：选C由已知得f(x)＝tanx1＋tan2x＝sinxcosx1＋sinxcosx2＝sinxcosxcos2x＋sin2xcos2x＝sinx·cosx＝12sin2x，所以f(x)的最小正周期为T＝2π2＝π.2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝2cos2x－sin2x＋2，则()A．f(x)的最小正周期为π，最大值为3B．f(x)的最小正周期为π，最大值为4C．f(x)的最小正周期为2π，最大值为3D．f(x)的最小正周期为2π，最大值为4解析：选B∵f(x)＝2cos2x－sin2x＋2＝1＋cos2x－1－cos2x2＋2＝32cos2x＋52，∴f(x)的最小正周期为π，最大值为4.故选B.3．(2019·全国卷Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论：①f(x)是偶函数；②f(x)在区间π2，π上单调递增；③f(x)在[－π，π]上有4个零点；④f(x)的最大值为2.其中所有正确结论的编号是()A．①②④B．②④C．①④D．①③解析：选C①中，f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，∴f(x)是偶函数，故①正确；②中，当x∈π2，π时，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx，函数单调递减，故②错误；③中，当x＝0时，f(x)＝0，当x∈(0，π]时，f(x)＝2sinx，令f(x)＝0，得x＝π.又∵f(x)是偶函数，∴函数f(x)在[－π，π]上有3个零点，故③错误；④中，∵sin|x|≤|sinx|，∴f(x)≤2|sinx|≤2，当x＝π2＋2kπ(k∈Z)或x＝－π2＋2kπ(k∈Z)时，f(x)能取得最大值2，故④正确．综上，①④正确．故选C.4．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω0，|φ|≤π2，x＝－π4为f(x)的零点，x＝π4为y＝f(x)图象的对称轴，且f(x)在π18，5π36上单调，则ω的最大值为()A．11B．9C．7D．5解析：选B由题意得－π4ω＋φ＝k1π，k1∈Z，π4ω＋φ＝k2π＋π2，k2∈Z，则ω＝2k＋1，k∈Z，φ＝π4或φ＝－π4.若ω＝11，则φ＝－π4，此时f(x)＝sin11x－π4，f(x)在区间π18，3π44上单调递增，在区间3π44，5π36上单调递减，不满足f(x)在区间π18，5π36上单调；若ω＝9，则φ＝π4，此时f(x)＝sin9x＋π4，满足f(x)在区间π18，5π36上单调递减，故选B.5．(2019·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝sinωx＋π5(ω0)，已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点．下述四个结论：①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点；②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点；③f(x)在0，π10单调递增；④ω的取值范围是125，2910.其中所有正确结论的编号是()A．①④B．②③C．①②③D．①③④解析：选D已知f(x)＝sinωx＋π5(ω0)在[0,2π]有且仅有5个零点，如图，其图象的右端点的横坐标在[a，b)上，此时f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点，但f(x)在(0,2π)可能有2或3个极小值点，所以①正确，②不正确；当x∈[0,2π]时，ωx＋π5∈π5，2πω＋π5，由f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点可得5π≤2πω＋π56π，得ω的取值范围是125，2910，所以④正确；当x∈0，π10时，π5ωx＋π5πω10＋π549π100π2，所以f(x)在0，π10单调递增，所以③正确．综上可知，所有正确结论的编号是①③④.[把脉考情]考什么1.周期问题(求周期)2.单调性问题(求单调区间及参数值)3.最值问题(指定区间的最值问题)4.对称性问题(对称中心、对称轴)考多深多以选择题或填空题的形式进行考查，难度中等，有时会以压轴题的形式考查最值问题，分值约5分考多宽常与三角恒等变换、解三角形相结合，出现在第一个解答题中．考查逻辑推理、数学运算的核心素养，注意转化与化归、整体代换思想的应用周期问题[典例1](2020届高三·衡水联考)已知函数f(x)＝sinωx－3cosωx(ω0)，若f(x1)＝2，f(x2)＝0，且|x1－x2|的最小值为2π，则f2π3＝()A.32B.12C．－1D．－12[解析]f(x)＝sinωx－3cosωx＝2sinωx－π3，易知该函数的最大值为2，又f(x1)＝2，f(x2)＝0，且|x1－x2|的最小值为2π，所以函数f(x)的最小正周期T＝4×2π＝8π.所以2πω＝8π，即ω＝14，f(x)＝2sinx4－π3，所以f2π3＝2sinπ6－π3＝－1，故选C.[答案]C增分方略求三角函数周期的基本方法公式法函数y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝2π|ω|，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期T＝π|ω|图象法求含有绝对值符号的三角函数的周期时可画出函数的图象，通过观察图象得出周期转化法对于较为复杂的三角函数，可通过三角恒等变换将其转化为y＝Asin(ωx＋φ)＋b(或y＝Acos(ωx＋φ)＋b或y＝Atan(ωx＋φ)＋b)的类型，再利用公式法求得周期求三角函数的单调区间[典例2](2019·金华适应性考试)已知函数f(x)＝3cos2x－2sin2(x－α)，其中0απ2，且fπ2＝－3－1.(1)求α的值；(2)求f(x)的最小正周期和单调递减区间．[解](1)由已知得fπ2＝－3－2sin2π2－α＝－3－2cos2α＝－3－1，整理得cos2α＝12.因为0απ2，所以cosα＝22，α＝π4.(2)由(1)知，f(x)＝3cos2x－2sin2x－π4＝3cos2x－1＋cos2x－π2＝3cos2x＋sin2x－1＝2sin2x＋π3－1.易知函数f(x)的最小正周期T＝π.令t＝2x＋π3，则函数f(x)可转化为y＝2sint－1.显然函数y＝2sint－1与y＝sint的单调性相同，当函数y＝sint单调递减时，2kπ＋π2≤t≤2kπ＋3π2(k∈Z)，即2kπ＋π2≤2x＋π3≤2kπ＋3π2(k∈Z)，解得kπ＋π12≤x≤kπ＋7π12(k∈Z)．所以函数f(x)的单调递减区间为kπ＋π12，kπ＋7π12(k∈Z)．增分方略求三角函数的单调区间的2种方法(1)换元法，实质就是利用换元法将函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的单调性转化为两个简单函数t＝ωx＋φ与y＝Asint的单调性进行求解，应注意ω的符号对复合函数单调性判断的影响，牢记基本法则——同增异减，准确记忆以下基本结论：函数名称单调递增区间单调递减区间y＝sinx2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)2kπ＋π2，2kπ＋3π2(k∈Z)y＝cosx[2kπ－π，2kπ](k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)y＝tanxkπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)无(2)导数法，利用导数与函数单调性之间的关系，将三角函数单调区间的求解转化为解三角不等式．已知在指定区间上的单调性求参数[典例3](2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]上是减函数，则a的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D．π[一题多解](在发散思维中整合知识)法一：直接法——一角一函数模型f(x)＝cosx－sinx＝－2sinx－π4，当x∈－π4，3π4，即x－π4∈－π2，π2时，y＝sinx－π4单调递增，则f(x)＝－2sinx－π4单调递减．因为函数f(x)在[－a，a]是减函数，所以[－a，a]⊆－π4，3π4，所以0a≤π4，所以a的最大值为π4.法二：导数法——转化为不等式恒成立函数模型因为f(x)＝cosx－sinx，所以f′(x)＝－sinx－cosx，则由题意，知f′(x)＝－sinx－cosx≤0在[－a，a]上恒成立，即sinx＋cosx＝2sinx＋π4≥0在[－a，a]上恒成立，结合函数y＝2sinx＋π4的图象可知－a＋π4≥0，a＋π4≤π，解得a≤π4，所以0a≤π4，所以a的最大值为π4.[答案]A增分方略已知函数单调性求参数：明确一个不同，抓住两种方法(1)明确一个不同，“函数f(x)在区间M上单调递增(递减)”与“函数f(x)的单调递增(递减)区间为N”的含义不同，显然M是N的子集．(2)抓住两种方法，已知函数单调性求解参数问题，主要有两种方法：①利用已知区间与单调区间的子集关系建立参数所满足的关系式求解；②利用导数转化为三角不等式求解．求指定区间上的最值问题[典例4]已知函数f(x)＝sin2x＋π3＋cos2x＋π6＋2sinxcosx，x∈R.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x∈0，π2时，求函数f(x)的最大值和最小值．[解](1)因为f(x)＝sin2x＋π3＋cos2x＋π6＋2sinxcosx＝12sin2x＋32cos2x＋32cos2x－12sin2x＋sin2x＝3cos2x＋sin2x＝2sin2x＋π3，所以函数f(x)的最小正周期T＝π.(2)法一：直接法因为0≤x≤π2，所以π3≤2x＋π3≤4π3，所以－32≤sin2x＋π3≤1，所以－3≤2sin2x＋π3≤2，所以f(x)min＝－3，f(x)max＝2.法二：换元法记t＝2x＋π3，则函数f(x)可转化为y＝2sint.因为0≤x≤π2，所以t＝2x＋π3∈π3，4π3.显然，当t∈π3，π2时，y＝2sint单调递增；当t∈π2，4π3时，y＝2sint单调递减．故当t＝π2，即x＝π12时，y取得最大值，最大值为2.又t＝π3时，y＝2sinπ3＝3；t＝4π3时，y＝2sin4π3＝－3，显然，当t＝4π3，即x＝π2时，y取得最小值，最小值为－3.综上，函数f(x)的最大值为fπ12＝2，最小值为fπ2＝－3.增分方略解三角函数最值与值域问题的策略通过三角恒等变换将问题转化为函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(或y＝Acos(ωx＋φ)＋B)的最值或值域问题，再利用换元(令t＝ωx＋φ)，并借助基本的三角函数y＝sint(或y＝cost)的最值或值域问题求解．三角函数的奇偶性、对称性的综合[典例5]已知f(x)＝cosxsin2x，下列结论中正确的是()A．f(x)既是偶函数又是周期函数B．f(x)的最大值小于1C．f(x)的图象关于点π2，0对称D．f(x)的图象关于直线x＝π对称[解析]对于选项A，由f(x)＝cosxsin2x，得f(－x)＝cos(－x)sin2(－x)＝－cosxsin2x＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，又f(x＋2π)＝cos(x＋2π)sin[2(x＋2π)]＝cosxsin2x＝f(x)，所以函数f(x)是周期函数．所以f(x)既是奇函数又是周期函数，故A不正确．对于选项B，因为|cosx|≤1，|sin2x|≤1，且等号不能同时成立，所以无论x取什么值，f(x)＝cosxsin2x的函数值均小于1，故B正确．对于选项C，因为f(x)＋f(π－